二阶常微分方程解

法

在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。

§7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法

设给定一常系数二阶线性齐次方程为

d2ydy 2＋p＋qy＝0 (7.1)

dxdx 其中p、q是常数，由上节定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y1,y２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。

我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解，从方程

d2ydy的形式上来看，它的特点是2，，y各乘以常数因子后

dxdxd2ydy相加等于零，如果能找到一个函数y，其2，，y之间

dxdx只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(7.1)的特解，在初等函数中，指数函数e，符合上述要求，于是我们

rx

令

(其中r为待定常数)来试解

y＝erx

2dydyrxrx

将y＝e，＝re，2＝r2erx代入方程(7.1)

dxdx2rxrxrx

得 re＋pre＋qe＝0

或 e（r＋pr＋q）＝0因为erx≠0，故得 r2＋pr＋q＝0

rx2

由此可见，若r是二次方程

r2＋pr＋q＝0 (7.2)

的根，那么erx就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1)的特征方程。

特征方程(7.2)是一个以r为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r１，r2，称为特征根，由代数知识，特征根r1，r2有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。

(1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根r１，r2，此时e

１x

r

，e是方程(7.1)的两个特解。

er1x因为 r2x＝e(r1r2)x≠常数

er1x

r2x

r2x

所以e，e为线性无关函数，由解的结构定理知，方程

(7.1)的通解为

2

y＝C1er1x＋C2er2x4q＝0，即

(2)若特征方程(7.2)有两个相等的实根r1＝r2，此时p－

p有r1＝r2＝，这样只能得到方程(7.1)的一个特解y１＝

2y2r１x

e，因此，我们还要设法找出另一个满足≠常数，的特

y1y2y2解y2，故应是x的某个函数，设＝u，其中u＝u(x)为

y1y1待定函数，即

y2＝uy1＝uer１x

对y2求一阶，二阶导数得 dy2dur1xdur1xr1x

＝e＋r１ue＝(＋r1u)e

dxdxdxd2y2dud2ur1x2

2＝(r１u＋2r1＋2)e

dxdxdx将它们代入方程(7.1)得

2dur1xdudu2

(r1u＋２r1＋2)e＋p(＋r1u)er1x＋quer1x＝0

dxdxdx或

d2udu ［2＋(2r1＋p) ＋(r２１＋pr1＋q)u］er1x＝0

dxdx因为er1x≠0，且因r1是特征方程的根，故有r２１＋pr１＋q

p＝0，又因r1＝－故有2r1＋p＝0，于是上式成为

2d2u 2＝0

dxd2u显然满足2＝0的函数很多，我们取其中最简单的一个

dx u(x)＝x

则y2＝xerx是方程(7.1)的另一个特解，且y1，y2是两个线性无关的函数，所以方程(7.1)的通解是 y＝C1e＋C2xe＝(C1＋C2x)er2＝α－iβ

y2＝e（α－iβ）x＋C2e

（α－iβ）x

r1x

r1x

r1x

(3)若特征方程(7.2)有一对共轭复根 r1＝α＋iβ，此时方程(7.1)有两个特解 y1＝e(α＋iβ)x

则通解为 y＝C1e

（α＋iβ）x

其中C1，C2为任意常数，但是这种复数形式的解，在应用上不方便。在实际问题中，常常需要实数形式的通解，为此利用欧拉公式

ix

－ix

e＝cosx＋isinx，e＝cosx－isinx

1有 (eix＋e－ix)＝cosx

21 (eix－e－ix)＝sinx

2i

11αxiβx－iβxαx

(y1＋y２)＝e(e＋e)＝ecosβx

2211αxiβx－iβx

(y1－y2)＝e(e－e)＝eαxsinβx

2i2i11由上节定理一知， (y1＋y2)， (y1－y2)是方程(7.1)

22iαxαx

的两个特解，也即ecosβx，esinβx是方程(7.1)的两

个特解：且它们线性无关，由上节定理二知，方程(7.1)的通解为

αx

y＝C1eαxcosβx＋C2eαxsinβx

或 y＝e(C1cosβx＋C2sinβx)

其中C1，C2为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中α，β分别是特征方程(7.2)复数根的实部和虚部。

综上所述，求二阶常系数线性齐次方程(7.1)的通解，只须先求出其特征方程(7.2)的根，再根据他的三种情况确定其通解，现列表如下

d2ydy特征方程r2＋pr＋q＝0的微分方程2＋p＋qy根 dxdx＝0的通解 有二个不相等的实根r1，y＝C1er1x＋C2er2x r2 有二重根r1＝r2 y＝(C1＋C2x)er1x r1iy＝eαx(C1cosβx＋C2sin有一对共轭复根 r2iβx) 例1. 求下列二阶常系数线性齐次方程的通解

d2ydy (1) 2＋3－１０y＝0

dxdxd2ydy(2) 2－4＋4y＝0

dxdxd2ydy(3) 2＋4＋7y＝0

dxdx2

解 (1)特征方程r＋3r－10＝0有两个不相等的实根 r1＝－5，r2＝2

＋C2e2x

所求方程的通解 y＝C1e－5r r1＝r2＝2

(2)特征方程r2－4r＋4＝0，有两重根所求方程的通解y＝(C1＋C2x)e2x

(3)特征方程r2＋4r＋7＝0有一对共轭复根 r1＝－2＋3i r2＝－2－3i所求方程的通解 y＝e

－2x

(C1cos3x＋C2sin3x)

§7.2 二阶常系数线性非齐次方程的解法

由上节线性微分方程的结构定理可知，求二阶常系数线性非齐次方程

d2ydy 2＋p＋qy＝f(x) (7.3)

dxdx的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其一个特解，而后相加就得到非齐次方程的通解，而且对应的齐次方程的通解的解法，前面已经解决，因此下面要解决的

问题是求方程(7.3)的一个特解。

方程(7.3)的特解形式，与方程右边的f(x)有关，这里只就f(x)的两种常见的形式进行讨论。一、f(x)＝pn(x)eαx论当α＝0时，即当f(x)＝pn（x）时方程

，其中pn(x)是n次多项式，我们先讨

d2ydy 2＋p＋qy＝pn(x) (7.4)

dxdx的一个特解。

(1)如果q≠0，我们总可以求得一n次多项式满足此方程，事实上，可设特解

y＝Qn(x)＝a0x＋a1x

~~n

n－1

＋…＋an，其

中a0，a1，…an是待定常数，将y及其导数代入方程(7.4)，得方程左右两边都是n次多项式，比较两边x的同次幂系数，就可确定常数a0，a1，…an。

d2ydy2

例1. 求2＋＋2y＝x－3的一个特解。

dxdx解 自由项f(x)＝x2－3是一个二次多项式，又q＝2≠0，则可设方程的特解为 y＝a0x2＋a1x＋a2

求导数

~

~y'＝2a0x＋a1

~y\"＝2a0

代入方程有2a0x2＋(2a0＋2a1)x＋（2a0＋a1＋2a２）＝x2－3比较同次幂系数

2a011 2a02a10 解得 a1

22aa2a30127a24~1217所以特解y＝x－x－

224(2)如果q＝0，而p≠0，由于多项式求导一次，其次数要

1a02降低一次，此时y＝Qn(x)不能满足方程，但它可以被一个(n＋1)次多项式所满足，此时我们可设 y＝xQn(x)＝a0xn＋1＋a1xn＋…＋anx

~~

代入方程(7.4)，比较两边系数，就可确定常数a0，a1，…an。

d2ydy例2. 求方程2＋4＝3x2＋2的一个特解。

dxdx解 自由项 f(x)＝3x2＋2是一个二次多项式，又q＝0，p＝４≠0，故设特解 y＝a0x3＋a1x2＋a2x求导数

~~

y'＝3a0x2＋2a1x＋a2

~y\"＝6a0x＋2a1

代入方程得

12a0x2＋（8a1＋6a0）x＋（２a1＋4a2）＝3x2＋2，比较两边同次幂的系数

12a033 8a16a00 解得 a1

162a4a21219a232~133219所求方程的特解 y＝x－x＋x

41632d2y(3)如果p＝0，q＝0，则方程变为2＝pn(x)，此时特解

dx是一个(n＋2)次多项式，可设

y＝x2Qn(x)，代入方程求得，也可直接通过两次积分求得。

~1a04

下面讨论当α≠0时，即当f(x)＝pn(x)eαx时方程

d2ydy 2＋p＋qy＝pn(x)eαx (7.5)

dxdx的一个特解的求法，方程(7.5)与方程(7.4)相比，只是其自由项中多了一个指数函数因子e，如果能通过变量代换将因子e去掉，使得(7.5)化成(7.4)式的形式，问题即可解决，为此设y＝ueαx，其中u＝u(x)是待定函数，对y＝ue

αx

αx

αx

，求导得

dyαxduαx

＝e＋αue dxdx2d2yduαxαxdu2αx

求二阶导数 2＝e＋2αe＋αue

dxdx2dx代入方程(7.5)得

αx

d2ududu2αxαx

e［2＋2α＋αu］＋pe［＋αu］＋que

dxdxdxαx

＝pn(x)e 消去eαx得

d2udu2

2＋(2α＋p) ＋(α＋pα＋q)u＝pn（x）

dxdx(7.6)

由于(7.6)式与(7.4)形式一致，于是按(7.4)的结论有：

(1)如果α＋pα＋q≠0，即α不是特征方程r＋pr＋q＝0的根，则可设(7.6)的特解u＝Ｑn(x)，从而可设(7.5)的特解为

~2

2

y＝Qn(x)eαx

(2)如果α2＋pα＋q＝0，而２α＋p≠0，即α是特征方程r＋pr＋q＝0的单根，则可设(7.6)的特解u＝xQn(x)，从而可设(7.5)的特解为 y＝xQn(x)eαx

~2

(3)如果r2＋pα＋q＝0，且２α＋p＝0，此时α是特征方程r＋pr＋q＝0的重根，则可设(7.6)的特解u＝xQn(x)，

2

2

从而可设(7.5)的特解为 y＝x2Qn(x)eαx

~

例3. 求下列方程具有什么样形式的特解

d2ydy (1)2＋5＋6y＝e3x

dxdxd2ydy(2) 2＋5＋6y＝3xe－2x

dxdxd2ydy(3) 2＋α＋y＝－(3x2＋1)e－x

dxdx2

解 (1)因α＝3不是特征方程r＋5r＋6＝0的根，故方程具有形如

y＝a0e3x

~的特解。

2

(2)因α＝－2是特征方程r＋5r＋6＝0的单根，故方程具有形如

~

的特解。

2

y＝x(a0x＋a1)e－2x

(3)因α＝－1是特征方程r＋2r＋1＝0的二重根，所以方程具有形如

~2

2

的特解。

y＝x(a0x＋a1x＋a２)e－x

d2y例4. 求方程2＋y＝(x－2)e3x

dx解 特征方程 r２＋1＝0

的通解。

dy 特征根 r＝±i得，对应的齐次方程2＋y＝0的通解

dx2为

cos

x＋C２

sin

x

Y＝C1

由于α＝3不是特征方程的根，又pn(x)＝x－2为一次多项式，令原方程的特解为 y＝(a0x＋a1)e3x

~此时u＝a0x＋a1，α＝3，p＝0，q＝1，求u关于x的导数

d2udu＝a0，2＝0，代入

dxdxd2udu2

＋(２α＋p) ＋(α＋αp＋q)u＝(x－2)得： 2dxdx 10a0x＋10a1＋6a0＝x－2 比较两边x的同次幂的系数有

10a01113  解得 a0＝，a1＝－

105010a16a02于是，得到原方程的一个特解为

~1133x

y＝(x－)e

1050所以原方程的通解是

~

113 y＝Y＋y＝C1cosx＋C2sinx＋（x－）e3x

1050d2ydy例5. 求方程2－2－3y＝(x２＋1)e－x的通解。

dxdx解 特征方程 r2－2r－3＝0 特征根 r1＝－1，r2＝3

d2ydy所以原方程对应的齐次方程2－2－3y＝0的通解Y＝

dxdx－x3x2C1e＋C2e,由于α＝－1是特征方程的单根，又pn(x)＝x＋1为二次多项式，令原方程的特解 y＝x(a0x2＋a1x＋a2)e－x

3

2

~

此时 u＝a0x＋a1x＋a2x，α＝－1，p＝－2，q＝－3

对u关于x求导 du ＝3a0x2＋2a1x＋a2

dxd2u 2＝6a0x＋2a1

dx2dudu22

代入2＋(2α＋p) ＋(α＋pr＋q)u＝x＋1，得

dxdx－12a0x2＋(6a0－8a)x＋2a1－4a２＝x2＋1比较x的同次幂的系数有

112a1a10161 a0 解得 2a14a001296a8a0a21032

故所求的非齐次方程的一个特解为

~

xx2x9－x

y＝－ (＋＋)e

3448 二、f(x)＝pn(x)eαxcosβx或pn（x）eαxsinβx，即求形如

d2ydyαx

2＋p＋qy＝pn(x)ecosβx (7.7)

dxdx

d2ydy 2＋p＋qy＝pn(x)eαxsinβx

dxdx(7.8)

这两种方程的特解。

αx

αx

由欧拉公式知道，pn（x）ecosβx，pn(x)esin别是函数pn(x)e（α＋iβ）x的实部和虚部。我们先考虑方程

x分

d2ydy 2＋p＋qy＝pn（x）e（α＋iβ）x

dxdx 求法已在前面讨论。

(7.9)

方程(7.9)与方程(7.5)类型相同，而方程(7.5)的特解的由上节定理五知道，方程(7.9)的特解的实部就是方程(7.7)的特解，方程(7.9)的特解的虚部就是方程(7.8)的特解。因此，只要先求出方程(7.9)的一个特解，然而取其实部或虚部即可得方程(7.7)或(7.8)的一个特解。注意到方程(7.9)的指数函数e

（α＋iβ）x

中的α＋iβ(β≠

0)是复数，而特征方程是实系数的二次方程，所以α＋iβ最多只能是它的单根。因此方程(7.9)的特解形为Qn(x)e（α＋

iβ）x

或

xＱn(x)e（α＋iβ）x

。

d2yx

例6. 求方程2－y＝ecos2x的通解。

dx2

解 特征方程 r－1＝0 特征根 r1＝1，r2＝－1 Y＝C1e＋C2e

x

－x

于是原方程对应的齐次方程的通解为

~为求原方程的一个特解y。

d2y（１＋2i）x

先求方程2－y＝e的一个特解，由于1＋2i不

dx是特征方程的根，且pn(x)为零次多项式，故可设u＝a0，此时α＝(1＋2i)，p＝0，q＝－1代入方程

d2udu2

＋(2α＋p) ＋(α＋αp＋q)u＝1 2dxdx2

得［（１＋2i）－1］a0＝1 ，即(4i－4)a0＝1，得

11 a0＝＝－ (i＋1)

4(i1)8

d2y这样得到2－y＝e（１＋2i）x的一个特解

dx1（１＋2i）x

y＝－ (i＋1)e

8由欧拉公式

1y ＝－ (i＋1)e（１＋2i）x

81 ＝－ (i＋1)ex(cos２x＋isin2x)

81x

＝－e［（cos2x－sin2x）＋i(cos2x＋sin2x)］

8取其实部得原方程的一个特解

~1x

y＝－e(cos２x－sin2x)

8故原方程的通解为

~1xx－x

y＝Y＋y＝C1e＋C2e－e(cos2x－sin2x)

8d2y 例7. 求方程2＋y＝(x－2)e3x＋xsinx的通解。

dxd2y解 由上节定理三，定理四，本题的通解只要分别求2＋

dxy＝0的特解Y，

~d2y3x

2＋y＝(x－2)e的一个特解y1，

dx~d2y 2＋y＝xsinx的一个特解y2

dx然而相加即可得原方程的通解，由本节例4有

~1133x

Y＝C1cosx＋C2sinx，y1＝(x－)e

1050下面求

y2，为求

~y2先求方程

~d2yix

2＋y＝xe

dx由于i是特征方程的单根，且pn（x)＝x为一次式，故可设u＝x(a0x＋a1)＝a0x2＋a1x，此时对u求导

α＝i，p＝0，q＝1，

d2udu ＝2a0x＋a1，2＝2a0

dxdx代入方程

d2udu 2＋(2α＋p) ＋(α2＋pα＋q)u＝x

dxdx得 2a０＋2i(2a0x＋a1)＋0＝x 即 4ia0x＋2ia1＋2a0＝x比较x的同次幂的系数有：

11a04ia104i4  得

12ia12a00a14d2y即方程2＋y＝xeix的一个特解

dx~i21ix

y＝(－x＋x)e

44i21 ＝(－x＋)(cosx＋isinx)

44121121 ＝(xsinx＋xcosx)＋i(－xcosx＋xsinx)

4444~121取其虚部，得y2＝－xcosx＋xsinx

44所以，所求方程的通解y ＝Y＋y1＋y2

1113３x1２

＝C1cosx＋C2sinx＋(－)e－xcosx＋xsinx

44105综上所述，对于二阶常系数线性非齐次方程

~~

d2ydy 2＋p＋qy＝f(x)

dxdx当自由项f(x)为上述所列三种特殊形式时，其特解y可用~待定系数法求得，其特解形式列表如下：

自由项f(x)形式 特解形式 f(x)＝pn(x) 当q≠0时y~＝Qn(x) 当q＝0,p≠0时y~＝Qn(x) 当q＝0,p＝0时y~＝x2Qn(x) f(x)＝pn（x）eαx 当α不是特征方程根时 y~＝Qαxn(x)e 当α是特征方程单根时y~＝xQαxn(x)e 当α是特征方程重根时y~＝x2Qαxn(x)e f(x)＝pαxcosβx 利用欧拉公式eiβxn(x)e＝cosβ或 x＋isinβx，化为f(x)＝f(x)＝pn(x)eαxsinβx pn(x)e（α＋iβ）x的形式求特解，再分别取其实部或虚部 以上求二阶常系数线性非齐次方程的特解的方法，当然可以用于一阶，也可以推广到高阶的情况。

例8. 求y

＋3y″＋3y′＋y＝ex

的通解

解 对应的齐次方程的特征方程为

r3＋3r2＋3r＋1＝0 r1＝r2＝r3＝－1所求齐次方程的通解Y＝(C1＋C2x＋C3x2)e－x由于α＝1不是特征方程的根

~x

－x

1因此方程的特解y＝a0e代入方程可解得a0＝

8~2

1x

故所求方程的通解为y＝Y＋y＝(C1＋C2x＋C3x)e＋e。

8

§7.3 欧拉方程

下述n阶线性微分方程

nn1dydynn－1n－1dy a0xn＋a1x＋…＋ax＋any＝f(x) n1axdxdx称为欧拉方程，其中a0，a1，…an都是常数，f(x)是已知

函数。欧拉方程可通过变量替换化为常系数线性方程。下面以二阶为例说明。

对于二阶欧拉方程

2dydy2

a0x2＋a1x＋a2y＝f(x) (7.10)

dxdx作变量替换令x＝et，即t＝lnx

引入新变量t，于是有dydydt ＝＝

dxdtdxdy11dy＝ dtxxdt

d2yddydyd1dy1d1 2＝ ()＝ ()＋ ()

dxdxxdtdtdxxxdxdt1d2ydt1dy ＝－2 2xdtdxxdt1d2y1dy ＝22－2

xdtxdt代入方程(7.10)得 d2ydydy a0(2－)＋a2＋a1y＝f(et)

dtdtdt1d2ya2a0dya1即 2＋＋y＝f(et)

a0dta0a0dt它是y关于t的常系数线性微分方程。

2dydy12

例9. 求x2＋x＝6lnx－的通解。

dxdxx解 所求方程是二阶欧拉方程

作变换替换，令x＝et，则 dy1dy ＝

dxxdxd2y1d2y1dy 2＝22－2

dxxdtxdt代入原方程，可得

d2y－t

2＝6t－e

dt两次积分，可求得其通解为 y＝C1＋C2t＋t3－e－t

代回原来变量，得原方程的通解

1 y＝C1＋C2lnx＋(lnx)3－

x

第八节 常系数线性方程组

前面讨论的微分方程所含的未知函数及方程的个数都只有一个，但在实际问题中常遇到含有一个自变量的两个或多个未知函数的常微分方程组。本节只讨论常系数线性方程组，并且用代数的方法将其化为常系数线性方程的求解问题。下面以例说明。例1. 求方程组

dxtx2yedt dy4x3y0dt

(1)的通解。

(2)

解 与解二元线性代数方程组中的消元法相类似，我们设法消去一个未知函数，由(1)得

1dx y＝ (－x－et) (3)

2dt将其代入(2)得

1d2xdx3dxt

(2－－e)－4x－ (－x－et)＝0

2dt2dtdt化简得

d2xdx 2－4－5x＝－2et

dtdt它是一个二阶常系数非齐次方程

1t

它的通解为 x＝C1e＋C2e＋e

41t5t－t

代入(3)得 y＝2C1e－C2e－e

2即所求方程组的通解为

5t

－t

例2. 求解方程组

(1)dxdy2dtdtty dxdyxy2tdtdt的通解

(2)

dy解 为消去y，先消去，为此将(1)－(2)得

dtdx ＋x＋2y＋t＝0

dt1dx即有 y＝－ (＋x＋t) (3)

2dt代入(2)得

1dxdx1ddx－ (＋x＋t)－x＋ (＋x＋t)－2t＝0

2dtdt2dtdtd2xdx即 2－2＋x＝3t－1

dtdt这是一个二阶常系数线性非齐次方程，解得 x＝C１e＋C2te－3t－7

1t

代入(3)得 y＝－C1e－C２(＋t)et＋t＋５

2所以原方程组的通解为

t

t