专题知识回顾
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2．矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角； （2）矩形的对角线平分且相等。
3．矩形判定定理：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
4．矩形的面积：S 矩形=长×宽=ab
专题典型题考法及解析
【例题 1】（2019 广西桂林）将矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠，BE ，EG ，FG 为折痕，若顶点 A ，C ，
D 都落在点 O 处，且点 B ， O ， G 在同一条直线上，同时点 E ， O ， F 在另一条直线上，
则 )
AD
的值为 ( AB
6 A．
5
B． 2
3 C．
2
D． 3
【答案】B
【解析】由折叠可得， AE OE DE ， CG OG DG ，
E ， G 分别为 AD ， CD 的中点，
设 CD 2a ， AD 2b ，则 AB 2a OB ， DG OG CG a ， BG 3a ， BC AD 2b ， Q C 90，
RtBCG 中， CG 2
BC 2 BG 2 ，
即 a2
(2b)2 2a 2 ，
(3a)2 ，
b2
b
即 b 2a ， 2 ，a
AD
的值为 2
AB
【例题 2】（2019 贵州省安顺市） 如图，在 △RtABC 中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点 D 为斜边 BC 上的一个动点，过 D 分别作 DM⊥AB 于点 M，作 DN⊥AC 于点 N，连接 MN，则线段 MN 的最小值为
.
A
M
N
B
D
C
【答案】12
5
【解析】连接 AD，即可证明四边形 AMDN 是矩形；由矩形 AMDN 得出 MN＝AD，再由三角形的面积关系求出 AD 的最小值，即可得出结果．
连接 AD，如图所示：
A
M
N
B
D
C
∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠AMD＝∠AND＝90°，
又∵∠BAC＝90°，∴四边形 AMDN 是矩形；∴MN＝AD， ∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝5，
当 AD⊥BC 时，AD 最短，
此时△ABC 的面积＝ 1 2 BC•AD＝ 1
2AB•AC，
∴AD 的最小值＝AB AC 12
BC 5， 12
∴线段 MN 的最小值为
5
。
专题典型训练题
一、选择题
1.（2019•广东广州）如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 BC，AD 于点 E，F，若 BE ＝3，AF＝5，则 AC 的长为（
）
A．4
B．4 C．10 D．8
【答案】A
【解析】连接 AE，由线段垂直平分线的性质得出 OA＝OC，AE＝CE，证 △明AOF≌△COE 得出 AF＝CE
＝5，得出 AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝8，由勾股定理求出 AB＝ 即可．
＝4，再由勾股定理求出 AC
连接 AE，如图：
∵EF 是 AC 的垂直平分线，
∴OA＝OC，AE＝CE，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF 和△COE 中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE＝5，
∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8，
∴AB＝
＝
＝4，
∴AC＝
＝ ＝4 ；
故选：A．
2.（2019•贵州省铜仁市）如图为矩形 ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角
和分别为 a 和 b，则 a+b 不可能是（ ）
A．360°
B．540° C．630° D．720°
【答案】C．
【解答】一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是 180°的
倍数，都能被 180 整除，分析四个答案，
只有 630 不能被 180 整除，所以 a+b 不可能是 630°．
3．（2019•山东泰安）如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝2，E 为 AB 的中点，F 为 EC 上一动点，P 为 DF 中点，连接 PB，则 PB 的最小值是（
）
A．2
B．4 C． D．
【答案】D
【解析】根据中位线定理可得出点点 P 的运动轨迹是线段 P1P2，再根据垂线段最短可得当 BP⊥P1P2 时，PB 取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知 BP1⊥P1P2，故 BP 的最小值为 BP1 的长，由勾股定理求解 即可．
如图：
当点 F 与点 C 重合时，点 P 在 P1 处，CP1＝DP1， 当点 F 与点 E 重合时，点 P 在 P2 处，EP2＝DP2， ∴P1P2∥CE 且 P1P2＝ CE
当点 F 在 EC 上除点 C、E 的位置处时，有 DP＝FP 由中位线定理可知：P1P∥CE 且 P1P＝ CF
∴点 P 的运动轨迹是线段 P1P2，
∴当 BP⊥P1P2 时，PB 取得最小值
∵矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝2，E 为 AB 的中点，
∴△CBE △、ADE △、BCP1 为等腰直角三角形，CP1＝2
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°
∴∠DP2P1＝90°
∴∠DP1P2＝45°
∴∠P2P1B＝90°，即 BP1⊥P1P2，
∴BP 的最小值为 BP1 的长
在等腰直角 BCP1 中，CP1＝BC＝2
∴BP1＝2
∴PB 的最小值是 2
4.（2019 湖北荆州）如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B，C 分别落在∠MON 的边 OM，ON 上，若 OA＝OC，要
求只用无刻度的直尺作∠MON 的平分线．小明的作法如下：连接AC，BD 交于点 E，作射线 OE，则射线 OE
平分∠MON．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形 的“三线合一”．小明的作法依据是（
）
A．①②
B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【解析】∵四边形 ABCD 为矩形，
∴AE＝CE，
而 OA＝OC，
∴OE 为∠AOC 的平分线．
二、填空题
5．（2019 重庆）如图，在矩形 ABCD 中， AB 3 ， AD 2 ，以点 A 为圆心，AD 长为半径画弧，交 AB 于点 E，图中阴影部分的面积是___________（结果保留 ）．
D C
A
【答案】 6
E
B
【解析】 S阴
90
2 3- • • 22
360
6-
6.（2019湖南娄底）如图，要使平行四边形 ABCD 是矩形，则应添加的条件是 即可）．
（添加一个条件
【答案】∠ABC=90°或 AC=BD．
【解析】解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形； 故添加条件：∠ABC=90°或 AC=BD．
故答案为：∠ABC=90°或 AC=BD．
7.（2019 黑龙江省龙东地区）如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，点 P 是矩形 ABCD 内一动点，且 S
1 ，则 PC＋PD 的最小值是＝ S ________． △PCD 2
△PAB
A
D
P
B
C
【答案】 4 5 .
1 【解析】结合已知条件，根据S △PAB＝
2
△S可判断出点 P 在平行于 AB，与 AB 的距离为 2、与 CD 的距离
PCD
为 4 的直线上，再根据“将军饮马问题”的解法解之即可.
1 1
过点 P 作直线 l∥AB，作点 D 关于直线 l 的对称点 D ，连接 CD ，∵矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，∴CD=4,DD 1=8,
在 R△tCDD 中，由勾股定理得 CD = 4 5 ，∴PC＋PD 的最小值是 4 5 .
1
1
8．（2019 内蒙古通辽）如图，在矩形 ABCD 中，AD＝8，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE⊥BD，垂足为点 E，且 AE 平分∠BAC，则 AB 的长为
．
【答案】
．
【解答】∵四边形 ABCD 是矩形
∴AO＝CO＝BO＝DO，
∵AE 平分∠BAO
∴∠BAE＝∠EAO，且 AE＝AE，∠AEB＝∠AEO，
∴△ABE≌△AOE（ASA）
∴AO＝AB，且 AO＝OB
∴AO＝AB＝BO＝DO，
∴BD＝2AB，
2 2， ∵AD2 +AB ＝BD 2 2， ∴64+AB ＝4AB
∴AB＝
9.（2019•湖北省咸宁市）如图，先有一张矩形纸片 ABCD，AB＝4，BC＝8，点 M，N 分别在矩形的边 AD，
BC 上，将矩形纸片沿直线 MN 折叠，使点 C 落在矩形的边 AD 上，记为点 P，点 D 落在 G 处，连接 PC，交 MN 于点 Q，连接 CM．下列结论：
①CQ＝CD；
②四边形 CMPN 是菱形；
③P，A 重合时，MN＝2
；
④PQM 的面积 S 的取值范围是 3≤S≤5． △
其中正确的是 （把正确结论的序号都填上）．
【答案】②③．
【解析】先判断出四边形 CFHE 是平行四边形，再根据翻折的性质可得 CN＝NP，然后根据邻边相等的平行
四边形是菱形证明，判断出②正确；假设CQ＝CD，得 △RtCMQ≌△CMD，进而得∠DCM＝∠QCM＝∠BCP
＝30°，这个不一定成立，判断①错误；点 P 与点 A 重合时，设 BN＝x，表示出 AN＝NC＝8﹣x，利用勾股定
理列出方程求解得 x 的值，进而用勾股定理求得 MN，判断出③正确；当 MN 过 D 点时，求得四边形 CMPN 的最小面积，进而得 S 的最小值，当 P 与 A 重合时，S 的值最大，求得最大值便可．
如图 1，
∵PM∥CN，
∴∠PMN＝∠MNC，
∵∠MNC＝∠PNM，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN， ∵NC＝NP，∴PM＝CN，
∵MP∥CN，
∴四边形 CNPM 是平行四边形，
∵CN＝NP，∴四边形 CNPM 是菱形，故②正确； ∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP，
∴∠MQC＝∠D＝90°，
∵CP＝CP，
若 CQ＝CD，则 △RtCMQ≌△CMD，
∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立， 故①错误；
点 P 与点 A 重合时，如图 2，
设 BN＝x，则 AN＝NC＝8﹣x，
即 4 2+x2 ＝（8﹣x）2 ，
在 △RtABN 中，AB2+BN2＝AN2 ，
解得 x＝3，
∴CN＝8﹣3＝5，AC＝
，
∴
，
∴
，
．
∴MN＝2QN＝2
故③正确；
当 MN 过点 D 时，如图 3，
此时，CN 最短，四边形 CMPN 的面积最小，则 S 最小为 S＝
，
当 P 点与 A 点重合时，CN 最长，四边形 CMPN 的面积最大，则 S 最大为 S＝
，
∴4≤S≤5，故④错误．故答案为：②③．
10.（2019·贵州贵阳）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，∠DCA＝30°，点 F 是对角线 AC 上的一个动点，连接
DF，以 DF 为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形 DEF，使点 E 和点 A 位于 DF 两侧，点 F 从点 A 到点 C 的运 动过程中，点 E 的运动路径长是
．
【答案】
．
【解析】E 的运动路径是 EE'的长； ∵AB＝4，∠DCA＝30°，
∴BC＝
，
当 F 与 A 点重合时，
在 △RtADE'中，AD＝
，∠DAE'＝30°，∠ADE'＝60°，
∴DE'＝
，∠CDE'＝30°，
当 F 与 C 重合时，∠EDC＝60°，
∴∠EDE'＝90°，∠DEE'＝30°， 在 △RtDEE'中，EE'＝
.
11．（2019•山东潍坊）如图，在矩形 ABCD 中，AD＝2．将∠A 向内翻折，点 A 落在 BC 上，记为 A′，折痕为 DE．若将∠B 沿 EA′向内翻折，点 B 恰好落在 DE 上，记为 B′，则 AB＝
．
【答案】 ．
【解析】利用矩形的性质，证明∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°，∠C＝∠A'B'D＝90°，推出D△B△ 'A'≌△DCA'，
CD＝B'D，设 AB＝DC＝x，在 △RtADE 中，通过勾股定理可求出 AB 的长度． ∵四边形 ABCD 为矩形，
∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC，
由翻折知 △，AED≌△A△ 'ED △，A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E＝∠B＝∠A'B'D＝90°， ∴∠AED＝∠A'ED，∠A'EB＝∠A'EB'，BE＝B'E，
∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB＝ ×180°＝60°，
∴∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°，∠A'DE＝90°﹣∠A'EB＝30°，
∴∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°，
又∵∠C＝∠A'B'D＝90°，DA'＝DA'，
∴D△B△
'A'≌△DCA'（AAS），
∴DC＝DB'，
在 △RtAED 中，
∠ADE＝30°，AD＝2，
∴AE＝
＝ ，
设 AB＝DC＝x，则 BE＝B'E＝x﹣
∵AE2+AD2＝DE2 ，
∴（
）2+22＝（x+x﹣ ）2 ，
解得，x 1＝
（负值舍去），x2 ＝
12.（2019 北京市）在矩形 ABCD 中，M，N，P，Q 分别为边 AB，BC，CD，于任意矩形 ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形；
②存在无数个四边形 MNPQ 是矩形；
③存在无数个四边形 MNPQ 是菱形；
④至少存在一个四边形 MNPQ 是正方形．
所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②③
【解析】如图，O 为矩形 ABCD 对角线的交点，
DA 上的点（不与端点重合）．对
①图中任过点 O 的两条线段 PM，QN，则四边形 MNPQ 是平行四边形；显然有无数个.本结论正确.
②图中任过点 O 的两条相等的线段 PM，QN，则四边形 MNPQ 是矩形；显然有无数个.本结论正确.
③图中任过点 O 的两条垂直的线段 PM，QN，则四边形 MNPQ 是菱形；显然有无数个.本结论正确.
④图中过点 O 的两条相等且垂直的线段 PM，QN，则四边形 MNPQ 是正方形；显然有一个.本结论错误. 故填：①② ③.
13.（2019 辽宁本溪）如图，BD 是矩形 ABCD 的对角线，在 BA 和 BD 上分别截取 BE，BF，使 BE=BF；分
1
别以 E，F 为圆心，以大于 EF 的长为半径作弧，两弧在∴ABD 内交于点 G，作射线 BG 交 AD 于点 P，若
2
AP=3，则点 P 到 BD 的距离为
.
【答案】3.
【解析】过点 P 作 PQ∴BD，垂足为 Q， 根据题意可得 BP 平分∴ABD.
∴四边形 ABCD 为矩形， ∴∴A=90°，
∴PA=PQ. ∴PA=3，
∴PQ=3，
故答案为 3.
14．（2019 辽宁抚顺）在矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝3，E 是 AB 边上一点，AE＝2，F 是直线 CD 上一动点，
将△AEF 沿直线 EF 折叠，点 A 的对应点为点 A'，当点 E、A'、C 三点在一条直线上时，DF 的长度为 ．
【答案】1 或 11；
【解析】在旋转过程中 A 有两次和 E，C 在一条直线上，第一次在利用平行的性质证出 CF＝CE，即可求解；
如图 1：
将△AEF 沿直线 EF 折叠，点 A 的对应点为点 A'，
∴∠AEF＝∠EA'F，AE＝A'E，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴CF＝CE，
∵AB＝6，AD＝3，AE＝2，
∴CF＝CE＝6﹣DF，A'E＝2，BE＝4，BC＝3，
∴EC＝5，
∴6﹣DF＝5，
∴DF＝1；
如图 2：
由折叠∠FEA'＝∠FEA，
∵AB∥CD，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CF＝CE，
∴CF＝5，
∴DF＝11；
故答案为 1 或 11；
EC 线段上，第二次在 CE 线段的延长线上，
三、解答题
15．（2019 湖南怀化）已知：如图，在 ABCD 中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F 分别为垂足． （1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形 AECF 是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，
在△ABE 和△CDF 中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB＝90°，
∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴四边形 AECF 是矩形．
16．（2019 湖南郴州）如图 1，矩形 ABCD 中，点 E 为 AB 边上的动点（不与 A，B 重合），
1 延长 EA 1 直线 DC 于点 F，再把∠BEF 折叠， 把△ADE 沿 DE 翻折，点 A 的对应点为 A ，交使点 B 的对应点 B 1落在 EF 上，折痕 EH 交直线 BC 于点 H．
（1）求证：△A△ 1 DE∽△B1△ EH；
（2）如图 2，直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴，若点 A 恰1 好落在直线 MN 上，试判断△DEF 的形状，并说 明理由；
（3）如图 3，在（2）的条件下，点 G 为△DEF 内一点，且∠DGF＝150°，试探究 DG，EG，FG 的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）△DEF 是等边三角形，理由见解析；（3）DG2+GF2 ＝GE2 ．
1 1＝ 90°，∠AED＝∠ A 【解析】解：（1）证明：由折叠的性质可知：∠DAE＝∠DA E＝90°，∠EBH＝∠EB HED，∠BEH＝∠B EH，
1
1
∴∠DEA 1+ ∠HEB 1＝ 90°．
又∵∠HEB 1+＝ ∠EHB 1 90°，
∴∠DEA 1＝， ∠EHB 1
∴△A△ 1 DE∽△B1△ EH；
（2）结论：△DEF 是等边三角形；
理由如下：
∵直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴，
∴点 A 1 是 EF 的中点，即 A 1 E＝A 1F ，
∴△A△ 1 DE≌△A1△ DF（SAS），
∴DE＝DF，∠FDA 1＝， ∠EDA 1
又∵△ADE≌△A△ 1 DE，∠ADF＝90°．
∴∠ADE＝∠EDA 1＝＝ ∠FDA 1 30°，
∴∠EDF＝60°，
∴△DEF 是等边三角形；
（3）DG，EG，FG 的数量关系是 DG2+GF2＝GE2，
理由如下：由（2）可知△DEF 是等边三角形； △将DGE 逆时针旋转 60° △到DG'F 位置，如解图（1）， ∴G'F＝GE，DG'＝DG，∠GDG'＝60°，
∴△DGG'是等边三角形，
∴GG'＝DG，∠DGG'＝60°，
∵∠DGF＝150°，
∴∠G'GF＝90°，
∴G'G2+GF2＝G'F2 ， ∴DG2+GF2＝GE2 ，
17．（2019 湖南益阳）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的边 AB＝4，BC＝6．若
不改变矩形 ABCD 的形状和大小，当矩形顶点 A 在 x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另 一个顶点 D 始终在 y 轴的正半轴上随之上下移动．
（1）当∠OAD＝30°时，求点 C 的坐标；
（2）设 AD 的中点为 M，连接 OM、MC，当四边形 OMCD 的面积为
时，求 OA 的长；
（3）当点 A 移动到某一位置时，点 C 到点 O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时 cos∠OAD 的 值．
【答案】（1）（2，3+2
）；（2）OA＝3 ；
（3）当 O、M、C 三点在同一直线时，OC 有最大值 8，cos∠OAD＝ 【解析】解：（1）如图 1，过点 C 作 CE⊥y 轴于点 E，
．
∵矩形 ABCD 中，CD⊥AD，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
又∵∠OAD+∠ADO＝90°，
∴∠CDE＝∠OAD＝30°，
∴在 △RtCED 中，CE＝ CD＝2，DE＝ 在 Rt△OAD 中，∠OAD＝30°，
＝2 ，
∴OD＝ AD＝3，
∴点 C 的坐标为（2，3+2
）；
（2）∵M 为 AD 的中点，
∴DM＝3，S △DCM＝6，
又 S 四边形 OMCD＝
，
∴S △ODM＝ ，
∴S △OAD＝9，
1
设 OA＝x、OD＝y，则 x2+y2 ＝36， xy＝9，
2
∴x 2+y2＝2xy，即 x＝y，
将 x＝y 代入 x2+y2＝36 得 x2 ＝18，
解得 x＝3
（负值舍去）， ；
∴OA＝3
（3）OC 的最大值为 8，
如图 2，M 为 AD 的中点，
∴OM＝3，CM＝
＝5，
∴OC≤OM+CM＝8，
当 O、M、C 三点在同一直线时，OC 有最大值 8，
连接 OC，则此时 OC 与 AD 的交点为 M，过点 O 作 ON⊥AD，垂足为 N， ∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，
∴△CMD∽△OMN，
∴
＝ ＝ ，即
＝ ，
＝ ，
解得 MN＝ ，ON＝
∴AN＝AM﹣MN＝ ，
在 Rt△OAN 中，OA＝
＝
．
，
∴cos∠OAD＝
＝
18.（2019•湖北省鄂州市）如图，矩形 ABCD 中，AB＝8，AD＝6，点 O 是对角线 BD 的中点，过点 O 的直线 分别交 AB、CD 边于点 E、F．
（1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形；
（2）当 DE＝DF 时，求 EF 的长．
【答案】见解析。
【解析】根据矩形的性质得到 AB∥CD，由平行线的性质得到∠DFO＝∠BEO，根据全等三角形的性质得到
DF＝BE，于是得到四边形 BEDF 是平行四边形；推出四边形 BEDF 是菱形，得到 DE＝BE，EF⊥BD，OE＝ OF，设 AE＝x，则 DE＝BE＝8﹣x 根据勾股定理即可得到结论．
（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，
又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△DOF≌△BOE（ASA），
∴DF＝BE，
又因为 DF∥BE，
∴四边形 BEDF 是平行四边形；
（2）解：∵DE＝DF，四边形 BEDF 是平行四边形
∴四边形 BEDF 是菱形，
∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，
设 AE＝x，则 DE＝BE＝8﹣x
在 △RtADE 中，根据勾股定理，有 AE +AD ＝DE
2＝（ 2， ∴x 2 +6 8﹣x）
2 2 2
解之得：x＝ ，
∴DE＝8﹣ ＝
，
在 △RtABD 中，根据勾股定理，有 AB2 +AD2 ＝BD2
∴BD＝
，
BD＝5，
∴OD＝
2 ﹣OD2 在 △RtDOE 中，根据勾股定理，有 DE ＝OE2 ，
∴OE＝
，
∴EF＝2OE＝
．
19. (2019 黑龙江大庆)如图在矩形 ABCD 中,AB＝3,BC＝4,M,N 在对角线 AC 上,且 AM＝CN,E,F 分别是 AD,BC 的中点.
(1)求证 △:ABM≌△CDN;
(2)点 G 是对角线 AC 上的点,∠EGF＝90°,求 AG 的长.
【答案】见解析。
【解析】(1)在矩形 ABCD 中,AB∥CD,所以∠BAM＝∠DCN,
又因为 AB＝CD,AM＝CN,
所以△ABM≌△CDN(SAS);
（2）以 EF 为直径作圆,交 AC 于点 G ,G连EG F1＝＝1 ,2 接 EG ,FG1 ,EG1 ,FG2 ,则∠2 ∠EG F2 90°,
1 3
因为 EF＝AB＝3,所以 G 1 H＝G H2 ＝ EF＝ ,
2 2
在 Rt△ABC 中,AC＝
AB 2
BC 2 ＝5,
1 5
所以 AH＝ AC＝ , 2 2
所以 AG 1＝ 1,AG 2＝ 4.
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