・ ４４ ・ 数学教育研究 ２０１１年第５期 在解题教学中培养学生创造性思维 ｝ 俊 （湖北省武汉黄陂区木兰乡塔耳中学４３０３１４） 解题是数学教学中一个基本形式，一般学生都比 较重视，但学生对题目往往不加选择，拿来就做，而不 善于探索解题思路，不善于总结解题规律，因此在解题 学生知识全面，教师要引导学生细心分析，采用化大为 小、各个击破的策略，将整个题目分解成几个小题来 解，这样不仅能培养学生的分析综合能力，而且也能锻 教学中教师若能从学生的实际出发，经常有意识的向 学生提出一些比较新颖的、典型的题目，并引导他们去 探索思路，对锻炼学生的创造性思维、提高解题能力十 分有益．下面谈谈本人在解题教学中培养学生创造性 思维的做法与体会． １难题浅解 中学数学的“难题”，不外是一些综合性强、比较抽 象的题目． 对这类题目，教师若能逐步剖析，给学生以启发诱 导，则“难题”即可成为培养学生创造性思维的好材料． 例１若ｍ。一ｍ＋１、 ＝ ＋１，求ｍ ＋ 的值（ｍ ≠ ） 解：‘．‘ｍ 一ｍ～１＝０” 一 一１＝０ ｍ≠ 。．．ｍ、 是方程ｚ。一 一１—０的两个根ｍ＋ ＝１ ‘‘．ｍ。＝ｍ＋１ ． 。ｍ 一（ｍ＋１）。・ｍ一（ｍ。＋２ｍ＋１）・ｍ＝（ｍ＋１ ４－２ｍ＋１）・ｍ一（３ｍ＋２）・ｍ一３ｍ ＋２ｍ一３（ｍ＋１）＋ ２ｍ一５ｍ一＿３ 同理 一５ｎ＋３ ‘．．ｍ ＋ ：５Ｏｎ＋ ）＋６—５×１＋６—１ｌ 说明：此题的特点是“抽象”，若能由已知条件将 ｍ、 当成是一元二次方程的两个根，并利用ｍ 一ｍ＋ １、 一 ＋１进行降次，整个思维过程就比较明晰． ２妙题巧解 在解题教学中，教师若能选一些妙题，引导学生进行 各种妙趣横生的探索，不但可以激发学生的学习兴趣，而 且还能使学生的思维更加开阔，创造性得到充分发挥． 例２ ａ、ｂ、ｆ是△ＡＢＣ的三边长，口。～１６ｂ 一ｆ ４－ ６ａｂ＋１Ｏｂｃ一０，求证：ｎ＋Ｃ一２ｂ 证明：由已知等式变形得 Ⅱ ＋６ｂ・口＋（一１６ｂ。一ｆ ＋ｌＯｂｃ）一０ 把它看成关于未知数ａ的一元二次方程 △一３６ｂ。一４（一１６ｂ 一ｆ ＋ｌＯｂｃ）一４（５６一ｆ） －６ｂ￣２ （５ｂ－ｃ）口一————一一一３ｂ￣（５ｂ－－ｃ） 厶 口一２６一ｃ或ａ—ｃ一８６ ‘。．ａ、ｂ、ｃ是ＡＢＣ的三边边长 。．．口＞Ｃ－－ｂ而ｆ一６＞ｆ一８６ ’．．口一ｆ一８６不成立，仅有ａ一２６一ｃ即Ⅱ＋ｆ＝２ｂ 说明：此解法的妙处在于把已知条件适当变形，构 造出一个一元二次方程，从而迅速找到解题途径． ３大题小解 “大题”即是通常讲的综合题．解这类题首先要求 炼学生坚忍不拔、孜孜求索的思维品质． 例３ 在△ＡＢＣ中，。、６、Ｃ分别是 Ａ、 Ｂ、 Ｃ的 对边，且ｃ一５ ，若关于 的方程（５ ＋６）ｚ ＋２ａｚ一 （５√３—６）一０有两个相等的实数根，又方程２ｚ 一 （１０ｓｉｎＡ） ＋５ｓｉｎＡ＝０的两实数根的平方和为６，求 △ＡＢＣ的面积 提示：此题可引导学生将原题分解成四个小题： １．判断△ＡＢＣ的形状 ２．求ｓｉｎＡ的值 ３．求ａ、６、ｆ的值 ４．求△ＡＢＣ的面积 解：１．因为方程（５ ＋６）ｚ ＋２ａｘ４－（５ 一６）一 ０有两个相等的实数根， △一（２ｎ）。一４（５ ＋６）（５√ｉ一６）一０得口ｚ＋６ 一 ７５ 。。．Ｃ 一７５ ．‘．Ｃｔ －４－ｂ。一Ｃ 故三角形ＡＢＣ是直角三角形，且 Ｃ一９０。 ２．设ｚ１、ｚ２是２：ｒ ～（１０ｓｉｎＡ）＿ｚ＋５ｓｉｎＡ一０的两 个实数根 丘 贝０ ｚ１＋ｚ２—５ｓｉｎｎ，ｚ１・ｚ２一÷ｓｉｎＡ ‘ 。‘．ｚ１ ＋ｚ２。＝６而 １。＋＿ｚ２。一（ｚ１＋－ｚ２）。一２ｘ１ ２ ０ ’．．（ＳｓｉｎＡ） 一５ｓｉｎＡ一６＝０解得ｓｉｎＡ＝÷或ｓｉｎＡ Ｊ ９ 一一÷（舍去） Ｊ ３．在Ｒｔ￣ＡＢＣ中 ｃ：５ ，。一ｆ・ｓｉｎＡ一５ × ÷ ３０ ，６一、 二 一４ １ １ ４．ｓ△ＡＢｃ一 １口６一 １×３ ×４√ 一１８ ４一题多解 在解题教学中若能积极引导学生从不同思路人 手，不依常规，寻求变异，探索多种解法，这样不仅可以 使知识系统化，而且可以使学生养成观察、猜想、分析、 探索等良好习惯，对培养学生的创造性思维无疑是大 有益处的． 例 解方程√＋ 一例 解方程＾４ ／＋ 一１ Ｚ—ｉ １ ２＿３一 解：原方程变形为 ３ ｚ一１ ｚ＋１—２ 方法一：换元法 ２０１１年第５期 数学教育研究 ・ ４５ ・ 令√兰 一 ，则原方程化为 一了Ｉ一 ３ 解之得 一一 １、 一力．教师在解题教学中若能有目的、有意识地提出一些 题组，让学生自己来总结解题规律，不但能收到举一反 ２ 三、触类旁通的效果，而且对培养学生的创造力起着重 要的作用． 一当．），一一÷时，即√三 一一 １ 此方程无解 当 一２时，即√ 一２解得ｚ一了５ Ｚ 例５ （１）求函数ｙ一 取值范围 中自变量ｚ的 （２）已知函数 一 茜 的自变量取值范围 经检验ｚ一号是原方程的根 是全体实数，求ｋ的取值范围 方法二：倒数法 解：１．。．。４ｘ 一４ｘ＋２ （２ｚ一１） ＋１≥１ 。√ 一√ 一ｚ一÷ ．．ｚ无论取什么实数，４ 一４ｚ＋２总不等于０ 。．．ｚ的取值范围为全体实数． 令√三 一２解得ｚ一了５ ２．ｋｘ ＋４ｋｘ＋３一ｋ（ｚ＋２） 一４ｘ＋３ ‘．‘（ｚ＋２） ≥０，．‘．当ｋ≥０、一４ ＋３＞０时分母 检验略 ｋｘ ＋４ｋｘ＋３才不会为０ 肯洪＝．韦 审弹洪 ・・・ｏ≤ ＜｛ ・’√ 一一√ ，＼／ 一 ‘Ｉ２ ．（僭＾＼／ 十＋僭√ ／） ’．． （ｚ＋２） ＞／ｏ， 。．．当ｋ＜Ｏ、一４ ＋３＜０时分母 ｚ ＋４ｋｘ＋３也不 一 。，僭＞ｏ，．。．僭＋屑一 会为０，但此时ｋ的解集为空集 ． ．号，一＾‘．。√ ・、／ ’√景 ．＾、／ 一 一・． √蓦、、 可楚万程 √景是方程 ｋ的取值范围为０≤ ＜÷ 说明：这两个题的落脚点都是分母不能为０ 号 ＋１一。的两 僭一号或僭＿２，经 总之，如能在解题教学中坚持引导学生探索、总结 解题思路，不仅可以提高学生的解题能力，积累丰富的 检验ｚ一一号是增根，所以原方程的根ｚ一＿詈＿ 解题经验，而且还能增强学生学习数学的学习兴趣，激 发学生学习数学的热情，更重要的是能培养学生的创 ５ 多题一解 造性思维和才能． 多题一解是运用同一方法或技巧，解一类或不同 ［责任编校钱骁勇］ 类型的题目．它能培养学生总结、归纳、综合、迁移的能 （上接第４１页） 境中不仅能积极主动获取知识，体会到所学知识的数 问题１概率求法： 学价值，更点燃了探究思维的火花．在这样的课堂中学 生不唯师，善思考，不仅能提出问题，而且还能解决问 一丽 题，促进学生的学习方式的转变，将学习的主动权较完 至此，学生对几何概型与古典概型就有了较为全 整地交还给学生，真正做到了“学生为主体，教师为主 面的认识，得出新知亦是水到渠成． 导”．让学生感受数学知识形成的过程，并在学习的过 ４问题将知识进行归纳、完善、升华 程中提高自主探究和自主学习的能力，极大地提高了 学生探究新知的热情，提高了学生学习数学的热情． 通过前面的合作探究、交流讨论，知识在学生头脑 最后，要让问题引领我们的数学课堂，教师作为学 中已初步形成，下一步的工作就是将研究成果进行系 习的组织者、引导者和合作者要努力营造民主和谐的 统的归纳、完善，进而构建完整的知识体系、方法体系． 教学氛围，增进教学民主，加强师生交往，消除学生的 于是教师又通过以下问题将知识升华： 紧张心理，使学生处于一种宽松的学习环境当中，这样 １．几何概型的定义是什么？ 才能使学生学习的积极性和主动性得以充分发挥，也 ２．几何概型的特点有哪些？ 有助于激发学生问题意识，才能敢想、敢说、敢问、敢 ３．几何概型求事件Ａ的概率公式应为什么？ 做、敢于创新、敢于创造．另外，从发展性的要求来看， ４．古典概型与几何概型有何区别与联系？ 不仅要让学生“学会”数学，而更重要的是“会学”数学， 这样就实现了知识在学生头脑当中的再形成过程． 学会学习，具备在未来的工作中，科学地提出问题、探 通过创设问题情境，精心设计问题串，利用不同的 索问题、创造性地解决问题的能力．作为教师还要结合 问题将知识形成的过程层层递进，实现“提出问题一解 教学实际，因势利导，适时地进行学法指导，使学生在 决问题一再提出问题一再解决问题”的探索式学习过 学习中，逐渐领会和掌握科学的学习方法，使他们在学 程，使学生明确探究目标，思维具有了指向性；教学中 习中把摸索体会到的观念、方法尽快地上升到理论的 产生强烈的探究欲望；思维有了推动性；学生在探究情 高度．实现数学课堂的高效． ［责任编校 钱骁勇］
