人教版高一数学上学期精品讲义专题08 指数与指数函数(重难点突破)解析版

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

重难点一 根式

( 1)概念:式子na叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数. ( 2)性质:(

n

a)n

n

＝a( a使a有意义);当n为奇数时,nan＝a,当n为偶数时,n

an＝|a|＝

a，a≥0，

－a，a<0. 重难点二 分数指数幂

( 1)规定:正数的正分数指数幂的意义是amn

n＝am( a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数

幂的意义是a－m

n＝

1n( a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没

am有意义.

( 2)有理指数幂的运算性质:aras＝ar+s;( ar)s＝ars;( ab)r＝arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q. 重难点三 指数函数及其性质

( 1)概念:函数y＝ax( a>0且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,函数的定义域是R,a是底数.

( 2)指数函数的图象与性质

a>1 00时,y>1; 性质 当x<0时,00时,01; 三、重难点题型突破

重难点突破1 指数与指数运算 1.(na)na; 2.nan|a|a,a0a.a0

m

n3.正分数指数幂:规定:an＝am( a>0,m,n∈N*,且n>1) m11－4.负分数指数幂:规定:an＝＝( a>0,m,n∈N*,且n>1)

mnaman

5.幂的运算性质

( 1)aras＝ars( a>0,r,s∈R)． ( 2)( ar)s＝ars( a>0,r,s∈R)． ( 3)( ab)r＝arbr( a>0,b>0,r∈R)． 例1．（1）（2019·浙江高三会考）计算

( )

＋

A． B． C． D．

【正确答案】B

【详细解析】.

（2）．（2020·上海高三专题练习）若10x=3,10y=4,则10x-y=__________． 【正确答案】

3 4xyxy【详细解析】因为103,104,所以10310x3y,应填正确答案．

4104（3）．（浙江省杭州市学军中学高一上期中）若2x2x5,则8x8x___ ___. 【正确答案】110 【

详

细

解

析

.

【变式训练】． 计算:

】

1（1）0.251; 04221641222724920.5（2）()3()(0.008)3.

8925【正确答案】（1）

1;（2）－4. 9 =

1【详细解析】（1）原式==.

41（2）原式244224422=-4

4重难点突破2 指数函数的图像与性质 例2．求下列函数的定义域和值域: 1( 1)y＝1－3x;( 2)y＝2x2－2x－3

;( 3)y＝4x＋2x1＋2.

＋

【详细解析】( 1)要使函数式有意义,则1－3x≥0,即3x≤1＝30,因为函数y＝3x在R上是增函数,所以x≤0,故函数y＝1－3x的定义域为( －∞,0]． 因为x≤0,所以0<3x≤1,所以0≤1－3x<1,

所以1－3x∈[0,1),即函数y＝1－3x的值域为[0,1)． ( 2)定义域为R.

1∵x2－2x－3＝( x－1)2－4≥－4,∴2x2－2x－3

14

≤2＝16.

－

x2－2x－3x2－2x－311又∵>0,∴函数y＝的值域为( 0,16]． 22( 3)因为对于任意的x∈R,函数y＝4x＋2x1＋2都有意义,所以函数y＝4x＋2x1＋2的定义域为R.因为2x>0,所以4x＋2x1＋2＝( 2x)2＋2×2x＋2＝( 2x＋1)2＋1>1＋1＝2, 即函数y＝4x＋2x1＋2的值域为( 2,＋∞)．

例3．（1）函数yax2(a0且a1)图象一定过点 （ ） A.（0,1） B.（0,3） C.（1,0） D.（3,0） 【正确答案】B

【详细解析】根据指数函数的图像和性质,当x0时,y3,所以此函数图像一定过点

＋

＋

＋

＋

（0,3）.故选B.

（2）. 如图①为（ ）

,②

,③

,④

,根据图象可得a、b、c、d与1的大小关系

A. a＜b＜1＜c＜d B. b＜a＜1＜d＜c C. 1＜a＜b＜c＜d D. a＜b＜1＜d＜c 【正确答案】B

【详细解析】

由图,直线x=1与四条曲线的交点坐标从下往上依次是（1,b）,（1,a）,（1,d）,（1,c）,故有b＜a＜1＜d＜c,故选B.

【变式训练】．（1）（2017·全国高一课时练习）已知a0.80.7,b0.80.9,c1.20.8,则a、

b、c的大小关系是（ ）

A.abc 【正确答案】B

【详细解析】根据指数函数的性质可知,

函数y0.8x为单调递减函数,所以10.800.80.70.80.9,即1ab 因为y1.2x为单调递增函数,所以1.20.81.201,即c1 综上可知, cab 故选B

B.cab

C.bac

D.cba

xaxa1的图象的大致形状是（ ） （2）．（2018·全国高一课时练习）函数yxA． B．

C． D．

【正确答案】C

【详细解析】当x0时,yax,当x0时,yax,

因a1,所以yax为0,上的增函数,yax为,0上的减函数,故选C. 重难点突破3 指数函数的单调性与最值（比较大小） 例4. 比较下列各组数的大小: ( 1)1.52.5和1.53.2;( 2)0.6

－1.2

和0.6

－1.5

;( 3)1.70.2和0.92.1;( 4)a1.1与a0.3( a>0且a≠1)．

【详细解析】( 1)1.52.5,1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值,由于底数1.5>1,所以函数y＝

1.5x在R上是增函数,因为2.5<3.2,所以1.52.5<1.53.2. ( 2)0.6

－1.2,

0.6

－1.5

可看作函数y＝0.6x的两个函数值,

－1.2

因为函数y＝0.6x在R上是减函数,且－1.2>－1.5,所以0.6<0.6

－1.5

.

( 3)由指数函数性质得,1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1,所以1.70.2>0.92.1. ( 4)当a>1时,y＝ax在R上是增函数,故a1.1>a0.3; 当0【变式训练】．（1）（2017·全国高一课时练习）设0220a1,yax为减函数,ax22x1ax23x5,

x22x1x23x5,解得x4,故使条件成立的x的集合为,4,故正确答案为

,4.

（2）.（2020·四川省高一期末）设y14A．y3y1y2 【正确答案】B 【详细解析】

B．y2y1y3

0.8,y280.7,y4,则（ ）

3D．y1y2y3

34C．y1y3y2

y140.8220.82,y281.60.7230.72,y4232.13432421.5.

因为22.121.621.5,故y2y1y3. 故选:B

重难点突破4 指数型复合函数的应用

例5.（2018·全国高一课时练习）已知函数y13x22x3,求其单调区间及值域

【正确答案】函数的单调增区间是,1减区间是1,;值域是0,81。 【详细解析】令u( x)=由二次函数性质得:函数u( x)=

,则u-4

在

单调递减,在

减区间是

单调递增

;

由复合函数单调性判断法则得:原函数的单调增区间是

因为 为单调减函数。所以

综上所述:函数的单调增区间是减区间是;值域是

【变式训练】．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）已知函数f(x)（1x2）. （1）若14 4x2x13,求函数fx的值域; 2（2）若方程fx0有解,求实数的取值范围. 【正确答案】（1）,【详细解析】

657532, ;2（）4168111（1）f(x)xx1424,（1x2）

4222x112设t,得g(t)t2t4,t2, 422xx3371（1）当时,g(t)t23t4t,t2,

2244所g(t)ming215337g(t)g(), ,max24416753; 4161t2上有零点, 4所以函数fx的值域为,（2）方程fx0有解等价于函数g(t)t22t4在也即121t在t2上有解, 2t4121t在,2上单调递减, 2t412165t在,2上的值域为2,, 2t48而函数y故函数y. 所以实数的取值范围为2,8

65

四、课堂定时训练（45分钟）

1．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知在同一坐标系下,指数函数yax和

ybx的图象如图,则下列关系中正确的是（ ）

A．ab1 【正确答案】C

B．ba1 C．ab1 D．ba1

【详细解析】很显然a,b均大于1;

xyax与x1的交点在yb与x1的交点上方,

故ba,综上所述:ab1.故选:C. 2.（2019·安徽高三高考模拟（文））函数

的图象是（ ）

A． B．

C． D．

【正确答案】A 【详细解析】

,可得f( 0)=1,排除选项C,D;

由指数函数图像的性质可得函数f( x)>0恒成立,排除选项B,故选:A 3.（2019·云南高三高考模拟（文））已知（ ）

,

,

,则下列不等式正确的是

A． B． C． D．

【正确答案】D 【详细解析】 因为

在R上递减,且

,所以

.又因为

在R上递增,且

,所以 .所以.故选:D.

4．（改编自2019·安徽马鞍山二中高三月考（文））若函数yaxmn3（a0且

a1）的图象恒过定点(3,2),则m ,n ______．

【正确答案】3,4.

【详细解析】∵函数yaxmn3（a0且a1）的图象恒过定点,令xm0,可得xm,yn2,可得函数的图象经过定点m,n2.再根据函数的图象经过定点

3,2,

∴m3,n22,解得m3,n4.

5.（改编自2017·山东高考真题（文））已知f( x)是定义在R上的偶函数,且

f(x＋4)＝f(x－2)．若当x[－3,0]时,fx＝6－x,则f2020＝________.

【正确答案】36

【详细解析】由f(x＋4)＝f(x－2)可知,

是周期函数,且

,所以

f(2020)f(63364)f(4)f(2)6(2)36.

3x1,x16.（2020·上海高三专题练习）设函数,则满足f(x)x的f(f(a))2f(a)的a2,x1取值范围是__________. 【正确答案】[,)

【详细解析】令f(a)t,则f(t)2t当t1时,3t12t 令y13t1,y22,t1其图象如下图所示

t23

t1时,3t12t无解当t1时,2t2t成立,由f(a)1,得

当a1时,有3a11,解得

2a1当a1时,有2a1,解得a1 323综上,a取值范围是[,)故正确答案为[,)

23axb,x0f(x)7.设函数且f(2)3,f(1)f(1). x2,x0（1）求f(x)的详细解析式;

（2）画出f(x)的图象（不写过程）并求值域.

x1,x0f(x);（2） [1,)． 【正确答案】（1）x2,x0【详细解析】

（1）由f(2)3,f(1)f(1),得a(2)b3a1,解得,则

a(1)b2b1x1,x0f(x)x.

2,x0（2）f(x)的图象如图,

由图象知f(x)的值域为[1,).

18.已知函数fx,a为常数,且函数的图象过点1,2． 2（1）求a的值; （2）若gx4xax2,且gxfx,求满足条件的x的值．

【正确答案】（1）a1;（2）x1. 【详细解析】

1（1）由已知得2a2,解得a1．

xx11（2）由（1）知fx,又gxfx,则4x2,

221x1x11即20,即20, 4222xx21令t,则t2t20,即t2t10, 21又t0,故t2,即2,解得 x1．

29．（2019·攀枝花市第十五中学校高一月考）设函数f(x)axax(a0,a1).

111（1）若f()a2a23,求a2a2的值.

2xx（2）若f(1)3,求函数f(x)的详细解析式; 2（3）在（2）的条件下,设g(x)a2xa2x2mf(x),g(x)在[1,)上的最小值为1,求

m.

【正确答案】（1）7;（2）2;（3）3. 【详细解析】

（1）由题意知a2a23,可得(a2a2)2aa129,可得aa17,

2又由(aa1）a2a2249,可得a2a247.

1111（2）由函数f(x)axax,且f(1)313,可得a, 2a2整理得2a23a20,解得a2或a1（舍去）, 2所以函数fx的详细解析式为f(x)2x2x. （3）由（2）知f(x)2x2x, 可得g(x)a22xa2x2mf(x)22x22x2m2x2x2x2x2m2x2x2,

令tf(x)2x2x,可得h(t)t22mt2(tm)22m2, 又由函数f(x)2x2x为增函数,因为x1,所以tf(1)当m3, 232,当tm时,h(t)min2m1,即m3,解得m3, 21773333m1,解得m,舍去. 当m,当t时,h(t)min24422综上可知m3.