(完整版)二次函数知识点复习(可编辑修改word版)

一、二次函数概念：

二次函数知识点

1. 二次函数的概念：一般地，形如 y  ax2  bx  c （ a 何 b 何 c 是常数， a  0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a  0 ，而b 何 c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数 y  ax2  bx  c 的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． ⑵ a 何 b 何 c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式： y  ax2 的性质：

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x  0 时， y 随 x 的增大而增大； x  0 时， y y 轴 0 何 0a  0 向上 随 x 的增大而减小； x  0 时， y 有最小值0 ．

a  0

向下 0 何 0 x  0 时， y 随 x 的增大而减小； x  0 时， y y 轴 随 x 的增大而增大； x  0 时， y 有最大值0 ． 2. y  ax2  c 的性质：上加

下减。

a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

x  0 时， y 随 x 的增大而增大； x  0 时， y

y 轴 0 何 ca  0 向上 随 x 的增大而减小； x  0 时， y 有最小值c ．

x  0 时， y 随 x 的增大而减小； x  0 时， y

a  0 向下 0 何 cy 轴 3.

y  a  x  h2

随 x 的增大而增大； x  0 时， y 有最大值c ． 的性质：左加右减。

a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x  h 时， y 随 x 的增大而增大； x  h 时， y a  0 向上 h 何 0 X=h 随 x 的增大而减小； x  h 时， y 有最小值0 ． 1

4.

a  0 向下 h 何 0 x  h 时， y 随 x 的增大而减小； x  h 时， y X=h 随 x 的增大而增大； x  h 时， y 有最大值0 ．

y  a  x  h k 的性质：

2

a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x  h 时， y 随 x 的增大而增大； x  h 时， y a  0 向上 h 何 k  X=h 随 x 的增大而减小； x  h 时， y 有最小值 k ．

三 次

a  0 向下 h 何 k  x  h 时， y 随 x 的增大而减小； x  h 时， y X=h 随 x 的增大而增大； x  h 时， y 有最大值 k ． 、二 函

数图象的平移

1. 平移步骤：

2

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y  a  x  h k ，确定其顶点坐标h 何 k  ；

⑵ 保持抛物线 y  ax2 的形状不变，将其顶点平移到h 何 k  处，具体平移方法如下：

2. 平移规律

在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

⑴ y  ax 2  bx  c 沿 y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位， y  ax 2  bx  c 变成

y  ax 2  bx  c  m （或 y  ax 2  bx  c  m ）

⑵ y  ax 2  bx  c 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位， y  ax 2  bx  c 变成 y  a(x  m)2  b(x  m)  c

（或 y  a(x  m)2  b(x  m)  c ）

2

四、二次函数

y  a  x  h k

2

2

与 y  ax  bx  c 的比较

2从解析式上看， y  a  x  h k 与 y  ax2  bx  c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 b 4ac  b2  b 4ac  b2

y  a  x   ，其中 h   何 k  ．

2a 2a 4a 4a  

2

五、二次函数 y  ax2

 bx  c 图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数 y  ax2  bx  c 化为顶点式 y  a(x  h)2  k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 x1 何 0 ，  x2 何 0 （若与 x 轴没有交点， 0何 c 、以及0何 c 关于对称轴对称的点2h ，c 、与 x 轴的交点

则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点.

2

六、二次函数 y  ax  bx  c 的性质

 b 4ac  b2 b ．

1. 当 a  0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x   ，顶点坐标为  何 4a

2a 2a  

bbb4ac  b2 当 x   时， y 随 x 的增大而减小；当 x   时， y 随 x 的增大而增大；当 x   时， y 有最小值 2a 4a 2a 2a

．

 b 4ac  b2  b

2. 当 a  0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x   ，顶点坐标为  何 ．当 x   时， y 随 x 的 

2a 2a 4a 2a  

b

b4ac  b2 b

增大而增大；当 x   时， y 随 x 的增大而减小；当 x   时， y 有最大值 ．

2a 4a 2a

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式： y  ax2  bx  c （ a ， b ， c 为常数， a  0 ）； 2. 顶点式： y  a(x  h)2  k （ a ， h ， k 为常数， a  0 ）；

3. 两根式： y  a(x  x1 )(x  x2 ) （ a  0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛

物线与 x 轴有交点，即b2  4ac  0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数 a

二次函数 y  ax2  bx  c 中， a 作为二次项系数，显然 a  0 ．

⑴ 当 a  0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当 a  0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．

总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．

2. 一次项系数b

在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．

3

bb

⑴ 在 a  0 的前提下，当b  0 时，   0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；当b  0 时，   0 ，即抛

2a 2a b

物线的对称轴就是 y 轴；当b  0 时，   0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．

2a

b

⑵ 在 a  0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当b  0 时，   0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；

2a

bb

当b  0 时，   0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；当b  0 时，   0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．

2a 2a

总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．

b

ab 的符号的判定：对称轴 x  在 y 轴左边则 ab  0 ，在 y 轴的右侧则 ab  0

2a

3. 常数项c ⑴ 当c  0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当c  0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ；

⑶ 当c  0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负．

总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：

一元二次方程 ax2  bx  c  0 是二次函数 y  ax2  bx  c 当函数值 y  0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数：

① 当  b2  4ac  0 时，图象与 x 轴交于两点 A x ，0，B  x ，0 (x  x ) ，其中的 x ，x 是一元二次方程

1

2

1

2

1

2

ax2

b2  4ac  bx  c  0a  0 的两根．这两点间的距离 AB  x2  x1  .

a ② 当  0 时，图象与 x 轴只有一个交点； ③ 当  0 时，图象与 x 轴没有交点. 1' 当 a  0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y  0 ；

2 ' 当 a  0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y  0 ．

2. 抛物线 y  ax2  bx  c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为(0 ， c) ；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

4

⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y  ax2  bx  c 中 a ， b ， c 的符号，或由二次函数中 a ， b ， c 的符号判断

图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 下面以 a  0 时为例，揭示二次函数和一元二次方程之间的内在联系：

  0 抛物线与 x 轴有两个交点 一元二次方程有两个不相等实根   0   0 抛物线与 x 轴只有一个交点 一元二次方程有两个相等的实数根 抛物线与 x 轴无交点 一元二次方程无实数根.

十一、函数的应用

 何 何 何 何 

二次函数应用何 何 何 何 何 何 何 何

 何 何 何 何 何 何 何 

二次函数考查重点与常见题型

1. 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

已知以 x 为自变量的二次函数 y  (m  2)x 2  m2  m  2 的图像经过原点， 则 m 的值是

2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个

函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数 y  kx  b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y  kx 2  bx  1的图像大致是（

）

y

y y 1 y

1 0 x A o-1 x B 0 C x 0 -1 x D 3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性

的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 x 

5 3

，求这条抛物线的解析式。

3

4. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 已知抛物线 y  ax2  bx  c （a≠0）与 x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与 y 轴交点的纵坐标是－

2

（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

【例题经典】

5

由抛物线的位置确定系数的符号

例 1.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且 1点(O，2)的下方．下列结论：①aO；③4a+cO，其中正确结论的个数为( ) A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D．4 个 答案：D

会用待定系数法求二次函数解析式

例 2.已知：关于 x 的一元二次方程 ax+bx+c=3 的一个根为 x=2，且二次函数 y=ax+bx+c 的对称轴是直线 x=2，

2

2

则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) 答案：C

B.(2，1)

C(2，3)

D．(3，2)

例 3、已知抛物线 y=

1 2 x2+x- ．

5 2

（1） 用配方法求它的顶点坐标和对称轴． （2） 若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB 的长．

【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系． 例 4、 “已知函数 y  x 2  bx  c 的图象经过点 A（c，－2），

1

2

求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

（1） 根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出

二次函数图象；若不能，请说明理由。

（2） 请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 [解答] （1）根据 y  x 2  bx  c 的图象经过点 A（c，－2），图象的对称轴是 x=3，

1

2

1 2

 2 c  bc  c  2, 得 b

  3, 1 2  2

b  3, 解得 

c  2.

所以所求二次函数解析式为 y  x 2  3x  2. 图象如图所示。

1

2

（2）在解析式中令 y=0，得 x 2  3x  2  0 ，解得 x  3  5, x  3  5.

1 2

2

1

所以可以填“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（3+

5,0) ”或“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是

(3 5,0).

6

令 x=3 代入解析式，得 y   ,

5

2

5

所以抛物线 y  x 2  3x  2 的顶点坐标为(3, ),

2 2

5)

所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3,) 等等。

2

1

函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

用二次函数解决最值问题

例 5、某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元） 与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：

x（元） 15 20 30 … y（件） 25 20 10 … 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数． （1） 求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式； （2） 要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？ 此时每日销售利润是多少元？

15k  b  25, 【解析】（1）设此一次函数表达式为 y=kx+b．则解得 k=-1，b=40， 即一次函数表达式为 y=-

2k  b  20 

x+40．

（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元

w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．

产品的销售价应定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为 225 元．

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中， “某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2） 问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

例 6、你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m、2．5 m 处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是 1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)

( ) A．1．5 m B．1．625 m C．1．66 m D．1．67 m 分析：本题考查二次函数的应用答案：B

二次函数单元测评

一、选择题

1. 下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)(

)

D.

A. A. (1，-4)

B. B.(-1，2)

C. )

C. (1，2)

7

2. 函数 y=x2-2x+3 的图象的顶点坐标是(

D.(0，3)

3. 抛物线 y=2(x-3)2 的顶点在(

)

C. x 轴上

D. y 轴上

A. 第一象限

4. 抛物线

B. 第二象限

的对称轴是( )

A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0

在第

象限(

)

)

6. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则点

A. 一 B. 二 C. 三 D. 四

7. 如图所示，已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点 P 的横坐标是 4， 图象交 x 轴于点 A(m，0)和点 B，且 m>4，那么 AB 的长是( )

A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m

8. 若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y=ax2+bx 的图象只可能是( )

9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴

为直线 x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线 上的点，且-1A. y110. 把抛物线

C. y3)

B.

的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，所得的抛物线

的函数关系式是( A.

C. D.

二、填空题

11. 二次函数 y=x2-2x+1 的对称轴方程是 .

12. 若将二次函数 y=x2-2x+3 配方为 y=(x-h)2+k 的形式，则 y= . 13. 若抛物线 y=x2-2x-3 与 x 轴分别交于 A、B 两点，则 AB 的长为 . 14. 抛物线 y=x2+bx+c，经过 A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为 . 15. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于 C 点，且△ABC 是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式 .

16. 在距离地面 2m 高的某处把一物体以初速度 v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情

况下，其上升高度 s(m)与抛出时间 t(s)满足： v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面

(其中 g 是常数，通常取 10m/s2).若m.

17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线 x=2，且与 y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解

8

析式为

，则 y1 的值是

.

18. 已知抛物线 y=x2+x+b2 经过点

三、解答下列各题

19. 若二次函数的图象的对称轴方程是

，并且图象过 A(0，-4)和 B(4，0)

(1)求此二次函数图象上点 A 关于对称轴 (2)求此二次函数的解析式；

对称的点 A′的坐标；

20. 在直角坐标平面内，点 O 为坐标原点，二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x 轴于点

A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.

(1) 求二次函数解析式；

(2) 将上述二次函数图象沿 x 轴向右平移 2 个单位，设平移后的图象与 y 轴的交点为 C，顶点为 P，求△POC 的面积.

点 C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M 为它的顶点. (1)求抛物线的解析式； (2)求△MCB 的面积 S△MCB.

21. 已知：如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，其中 A 点坐标为(-1，0)，

9

下关系：在一段时间内，单价是 13.50 元时，销售量为 500 件，而单价每降低 1 元，就可以多售出 200 件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大.

22. 某商店销售一种商品，每件的进价为 2.50 元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如

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