通道侗族自治县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

通道侗族自治县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（ ）

A． B． C． D．

2． 已知函数f（x）=x3+（1﹣b）x2﹣a（b﹣3）x+b﹣2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，则不等式组A．

B．

22

所确定的平面区域在x+y=4内的面积为（ ）

C．π D．2π

3． 过点（0，﹣2）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A．

B．

C．

D．

4． 在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=8，则a7=（ ） A．3

B．6

C．7

D．8

5． 在如图5×5的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z的值为（ ） 1 2 0.5 1 x y z A．1 B．2 C．3

6． 已知g(x)(ax取值范围是（ ）

A．(1,) B．(1,0) C. (2,) D．(2,0)

D．4

bb2a)ex(a0)，若存在x0(1,)，使得g(x0)g'(x0)0，则的 xa第 1 页，共 19 页

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7． 设函数f(x)是定义在(,0)上的可导函数，其导函数为f'(x)，且有2f(x)xf'(x)x2，则不等式

(x2014)2f(x2014)4f(2)0的解集为

) B、(2012,0) C、(,2016) D、(2016,0) A、(,20128． 已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论： ①f（0）f（1）＞0； ②f（0）f（1）＜0； ③f（0）f（3）＞0； ④f（0）f（3）＜0．

其中正确结论的序号是（ ） A．①③

B．①④

，

C．②③

D．②④

．则“

”是“

”成立的（ ）

9． 已知向量

，其中

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 10．设集合 A={ x|﹣3≤2x﹣1≤3}，集合 B为函数 y=lg（ x﹣1）的定义域，则 A∩B=（ ） A．（1，2） B．[1，2] A．（﹣∞，﹣2） A．有最大值

C．[1，2） D．（1，2]

11．对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）

B． D．上是减函数，那么b+c（ ）

C．有最小值

D．有最小值﹣

B．有最大值﹣

12．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ） A．1

B．

C．

D．

二、填空题

13．已知正四棱锥OABCD的体积为2，底面边长为3， 则该正四棱锥的外接球的半径为_________

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14．如图，一船以每小时20km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为 km．

15．已知点M（x，y）满足是 ．

，当a＞0，b＞0时，若ax+by的最大值为12，则+的最小值

16．已知f（x+1）=f（x﹣1），f（x）=f（2﹣x），方程f（x）=0在[0，1]内只有一个根x=，则f（x）=0在区间[0，2016]内根的个数 ．

17．在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，BD=2AD，则AD的长为 ．

18．直角坐标P（﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π） ．

三、解答题

19．（本题12分）

正项数列{an}满足an2(2n1)an2n0． （1）求数列{an}的通项公式an； （2）令bn

20．（本题满分12分）如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中， E、F分别是棱DD1 、C1D1的中点. （1）求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值； （2）证明：B1F∥平面A1BE．

1，求数列{bn}的前项和为Tn.

(n1)anA1 第 3 页，共 19 页

D1 C1 F E D

B1

A 精选高中模拟试卷

21．（本小题满分12分）

已知向量a,b满足：|a|1，|b|6，a(ba)2. （1）求向量与的夹角； （2）求|2ab|.

22．已知椭圆E的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2分别在x轴上，离心率为，在其上有一动点A，A到点F1距离的最小值是1，过A、F1作一个平行四边形，顶点A、B、C、D都在椭圆E上，如图所示． （Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）判断▱ABCD能否为菱形，并说明理由．

（Ⅲ）当▱ABCD的面积取到最大值时，判断▱ABCD的形状，并求出其最大值．

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23．（本小题满分13分）

x2y21的上、下顶点分别为A,B，点P在椭圆上，且异于点A,B，直线AP,BP 如图，已知椭圆C:4与直线l:y2分别交于点M,N，

（1）设直线AP,BP的斜率分别为k1,k2，求证：k1k2为定值； （2）求线段MN的长的最小值；

（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生运算求解能力，分析问题与解决问题的能力，是中档题.

31x2y224．已知椭圆C：221（ab0），点(1,)在椭圆C上，且椭圆C的离心率为．

22ab（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C交于P，Q两点，A为椭圆C的右顶点，直线PA，QA分别

交直线：x4于M、N两点，求证：FMFN．

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通道侗族自治县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】C

，

【解析】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1， 故外接球半径为故选C．

，外接球的体积为

【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．

2． 【答案】 B

【解析】解：因为函数f（x）的图象过原点，所以f（0）=0，即b=2． 则f（x）=

x3﹣x2+ax，

2

函数的导数f′（x）=x﹣2x+a，

因为原点处的切线斜率是﹣3， 即f′（0）=﹣3， 所以f′（0）=a=﹣3， 故a=﹣3，b=2， 所以不等式组则不等式组

如图阴影部分表示，

所以圆内的阴影部分扇形即为所求． ∵kOB=﹣

，kOA=

，

为

22

确定的平面区域在圆x+y=4内的面积，

∴tan∠BOA==1，

∴∠BOA=，

，扇形的面积是圆的面积的八分之一，

×4×π=

，

∴扇形的圆心角为

22

∴圆x+y=4在区域D内的面积为

故选：B

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【点评】本题主要考查导数的应用，以及线性规划的应用，根据条件求出参数a，b的是值，然后借助不等式区域求解面积是解决本题的关键．

3． 【答案】A

【解析】解：若直线斜率不存在，此时x=0与圆有交点， 直线斜率存在，设为k，则过P的直线方程为y=kx﹣2， 即kx﹣y﹣2=0，

22

若过点（0，﹣2）的直线l与圆x+y=1有公共点，

则圆心到直线的距离d≤1， 即解得k≤﹣即

≤α≤

≤1，即k2﹣3≥0， 或k≥且α≠≤α≤

， ， ，

综上所述，

故选：A．

4． 【答案】B

【解析】解：∵在等差数列{an}中a1=2，a3+a5=8， ∴2a4=a3+a5=8，解得a4=4， ∴公差d=∴a7=a1+6d=2+4=6 故选：B．

5． 【答案】A

【解析】解：因为每一纵列成等比数列， 所以第一列的第3，4，5个数分别是，，第三列的第3，4，5个数分别是，，．

又因为每一横行成等差数列，第四行的第1、3个数分别为，，

．

=，

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所以y=，

，．

第5行的第1、3个数分别为所以z=

．

+

=1．

所以x+y+z=+故选：A．

【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力．

6． 【答案】A 【解析】

考

点：1、函数零点问题；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值.

【方法点晴】本题主要考查函数零点问题、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数fx的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数fx的定义域；②对fx求导；③令fx0，解不等式得的范围就是递增区间；令fx0，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数fx的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.

7． 【答案】C.

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【解析】由即即

在

，令是减函数， ，

在即

，得：，则当

时，

， ， ，

，

得，

，

是减函数，所以由，故选

8． 【答案】C

2

【解析】解：求导函数可得f′（x）=3x﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）， ∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0． ∴a＜1＜b＜3＜c，

32

设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x﹣（a+b+c）x+（ab+ac+bc）x﹣abc， 32

∵f（x）=x﹣6x+9x﹣abc，

∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9， ∴b+c=6﹣a， ∴bc=9﹣a（6﹣a）＜∴a﹣4a＜0，

2

，

∴0＜a＜4，

∴0＜a＜1＜b＜3＜c，

∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0， ∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0． 故选：C．

9． 【答案】A

【解析】【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】若反过来，若

，则，则

或

”成立的充分而不必要条件。

成立；

所以“”是“故答案为：A 10．【答案】D

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【解析】解：由A中不等式变形得：﹣2≤2x≤4，即﹣1≤x≤2， ∴A=[﹣1，2]，

由B中y=lg（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1， ∴B=（1，+∞）， 则A∩B=（1，2]， 故选：D．

11．【答案】B

【解析】解：由f（x）在上是减函数，知 f′（x）=3x2+2bx+c≤0，x∈， 则

⇒15+2b+2c≤0⇒b+c≤﹣

．

故选B．

12．【答案】D

2

【解析】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x﹣lnx，求导数得

=

当当所以当

时，y′＜0，函数在时，y′＞0，函数在

时，所设函数的最小值为

上为单调减函数， 上为单调增函数

所求t的值为故选D

2

【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值

对应的自变量x的值．

二、填空题

13．【答案】

11 8

【解析】因为正四棱锥OABCD的体积为2，底面边长为3，所以锥高为2，设外接球的半径为R，依轴

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截面的图形可知：R2(R2)2(6211)R 2814．【答案】

【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°， 在△ABC中，根据正弦定理得：BC=则这时船与灯塔的距离为故答案为

．

海里．

=

海里，

15．【答案】 4 ．

【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：

，

由，解得：A（3，4），

显然直线z=ax+by过A（3，4）时z取到最大值12， 此时：3a+4b=12，即+=1， ∴+=（+）（+）=2+

+

≥2+2

=4，

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当且仅当3a=4b时“=”成立， 故答案为：4．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是对“1”的灵活运用，是基础题．

16．【答案】 2016 ．

【解析】解：∵f（x）=f（2﹣x），

∴f（x）的图象关于直线x=1对称，即f（1﹣x）=f（1+x）． ∵f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f（x）， 即函数f（x）是周期为2的周期函数， ∵方程f（x）=0在[0，1]内只有一个根x=， ∴由对称性得，f（）=f（）=0，

∴函数f（x）在一个周期[0，2]上有2个零点， 即函数f（x）在每两个整数之间都有一个零点， ∴f（x）=0在区间[0，2016]内根的个数为2016，

故答案为：2016．

17．【答案】 5 ．

【解析】解：如图所示：延长BC，过A做AE⊥BC，垂足为E， ∵CD⊥BC，∴CD∥AE， ∵CD=5，BD=2AD，∴在RT△ACE，CE=由

得BC=2CE=5

，

=

=10，

，解得AE==

，

=

，

在RT△BCD中，BD=则AD=5， 故答案为：5．

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【点评】本题考查平行线的性质，以及勾股定理，做出辅助线是解题的关键，属于中档题．

18．【答案】

【解析】解：ρ=∴点P的极坐标为故答案为：

．

=．

，tanθ=

=﹣1，且0＜θ＜π，∴θ=

．

．

三、解答题

19．【答案】（1）an2n；（2）Tnn.

2(n1)考

点：1．一元二次方程；2．裂项相消法求和．

20．【答案】解：（1）设G是AA1的中点，连接GE，BG．∵E为DD1的中点，ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴GE∥AD，又∵AD⊥平面ABB1A1，∴GE⊥平面ABB1A1，且斜线BE在平面ABB1A1内的射影为BG，∴Rt△BEG中的∠EBG是直线BE和平面ABB1A1所成角，即∠EBG=．设正方体的棱长为a，∴GEa，

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BG53a，BEBG2GE2a， 22∴直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值为：sinGE2；……6分 BE3（2）证明：连接EF、AB1、C1D，记AB1与A1B的交点为H，连接EH． ∵H为AB1的中点，且B1H=

11C1D，B1H∥C1D，而EF=C1D，EF∥C1D， 22∴B1H∥EF且B1H=EF，四边形B1FEH为平行四边形，即B1F∥EH， 又∵B1F平面A1BE且EH平面A1BE，∴B1F∥平面A1BE． ……12分 21．【答案】（1）【解析】

试题分析：（1）要求向量a,b的夹角，只要求得这两向量的数量积ab，而由已知a(ba)2，结合数量积的运算法则可得ab，最后数量积的定义可求得其夹角；（2）求向量的模，可利用公式aa，把

22；（2）27． 3考点：向量的数量积，向量的夹角与模．

【名师点睛】本题考查向量的数量积运算及特殊角的三角函数值，求解两个向量的夹角的步骤：第一步，先计算出两个向量的数量积；第二步，分别计算两个向量的模；第三步，根据公式cosa,b向量夹角的余弦值；第四步，根据向量夹角的范围在[0,]内及余弦值求出两向量的夹角． 22．【答案】

abab求得这两个

【解析】解：（I）由题意可得：2

，解得c=1，a=2，b=3．

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∴椭圆E的方程为=1．

（II）假设▱ABCD能为菱形，则OA⊥OB，kOA•kOB=﹣1． ①当AB⊥x轴时，把x=﹣1代入椭圆方程可得：取A

=1，解得y=

，

，则|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD不能为菱形．

②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立

2222

，化为：（3+4k）x+8kx+4k﹣12=0，

∴x1+x2=﹣∴

，x1x2=．

kOA•kOB=====

，

假设

=﹣1，化为k2=﹣

，因此平行四边形ABCD不可能是菱形．

综上可得：平行四边形ABCD不可能是菱形．

（III）①当AB⊥x轴时，由（II）可得：|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD为矩形，S矩形ABCD=6． ②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立

2222

，化为：（3+4k）x+8kx+4k﹣12=0，

∴x1+x2=﹣|AB|=

，x1x2=．

=．

．

点O到直线AB的距离d=∴S平行四边形ABCD=4×S△OAB=

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=2××=．

2则S=

=＜36，

∴S＜6．

因此当平行四边形ABCD为矩形面积取得最大值6．

23．【答案】

【解析】（1）易知A0,1,B0,1，设Px0,y0，则由题设可知x00 ，

 直线AP的斜率k1y01y1，BP的斜率k20，又点P在椭圆上，所以 x0x0

（4分）

22x0y01y01y011y01，x00，从而有k1k22. 4x0x0x04第 17 页，共 19 页

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24．【答案】（１） 【解析】

xy1；（２）证明见解析． 4322

试题分析： （１）由题中条件要得两个等式，再由椭圆中a,b,c的等式关系可得a,b的值，求得椭圆的方程；（２）可设直线PQ的方程，联立椭圆方程，由根与系数的关系得y1y26m9yy，，得123m243m24直线lPA，直线lQA，求得点 M、N坐标，利用FMFN0得FMFN．

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91a24b21,c1a2,试题解析： （1）由题意得,解得

a2b3.a2b2c2,x2y21． ∴椭圆C的方程为43又x1my11，x2my21， ∴M(4,

2y12y22y12y2)，N(4,)，则FM(3,)，FN(3,)，

my11my21my11my213622y12y24y1y23m4FMFN999990 226m9my11my211m(y1y2)my1y212m23m43m24∴FMFN

考点：椭圆的性质；向量垂直的充要条件．

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