2021高考数学复习专题指数与指数函数(精讲)

【核心素养分析】

1.了解指数函数模型的实际背景；

2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；

11

3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，，的23指数函数的图象；

4.体会指数函数是一类重要的函数模型。

5.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。 【重点知识梳理】 知识点一 根式

n(1)概念：式子a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)性质：(a)＝a(a使a有意义)；当n为奇数时，a＝a，当n为偶数时，知识点二 分数指数幂

mn(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是an＝am(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意m

nn

n

nnna，a≥0，

a＝|a|＝

－a，a<0.

n义是an＝－1nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 知识点三 指数函数及其性质

(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质

a>1 0当x>0时，y>1； 当x<0时，0当x<0时，y>1； 当x>0时，00，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，a2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大. 【典型题分析】

高频考点一 指数幂的运算

例1.【2020·全国Ⅲ卷文数】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K1e0.23(t53)，其中K

为最大确诊病例数．当I(t*)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（ln19≈3）

A．60

B．63

C．66

D．69

【方法技巧】指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 21

－－2732

－＋0.002－10(5－2)－1＋π0＝________． 【变式探究】（2020·四川棠湖中学模拟）8高频考点二 指数函数的图像及其应用

例2.（2020·广西柳州高级中学模拟） 函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )

A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0

D．0＜a＜1，b＜0

【方法技巧】有关指数函数图象问题的解题思路

(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．

【变式探究】（2020·浙江余姚中学模拟）函数y＝ax－b(a＞0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________．

高频考点三 比较指数式的大小

例3．【2020·天津卷】设a30.7,b()0.8,clog0.70.8，则a,b,c的大小关系为（ ） A．abc C．bca

B．bac D．cab

13【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；

【变式探究】（2020·安徽马鞍山二中模拟）已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则( ) A．a＞b＞c C．c＞a＞b

B．a＞c＞b D．b＞c＞a

高频考点四 解简单的指数方程或不等式

例4.（2020·山东日照一中模拟）方程4x＋|1－2x|＝11的解为________【方法技巧】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；

311

1，－，若－【变式探究】（2020·山东济南外国语学校模拟）已知函数f(x)＝a＋x的图象过点1064＋1≤f(x)≤0，则实数x的取值范围是________．

高频考点五 指数函数性质的综合应用

1ax2－4x＋3例5.（2020·福建泉州五中模拟）已知函数f(x)＝. 3(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值；

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

【方法技巧】解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。

2xaa【变式探究】（2020·广东中山一中模拟）设fxx1（、b为实常数）.

2b（1）当ab1时，证明：fx不是奇函数； （2）设fx是奇函数，求a与b的值；

（3）当fx是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D，对任何属于D的x、c，都有

fxc23c3成立？若存在试找出所有这样的D；若不存在，请说明理由.

【核心素养分析】

1.了解指数函数模型的实际背景；

2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；

11

3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，，的23指数函数的图象；

4.体会指数函数是一类重要的函数模型。

5.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。 【重点知识梳理】 知识点一 根式

n

(1)概念：式子a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)性质：(a)＝a(a使a有意义)；当n为奇数时，a＝a，当n为偶数时，知识点二 分数指数幂

n

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是an＝am(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意

m

nn

n

nnna，a≥0，

a＝|a|＝

－a，a<0.

n义是an＝－m

1nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 知识点三 指数函数及其性质

(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.

(2)指数函数的图象与性质

a>1 00时，y>1； 性质 当x<0时，01－1，. 1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，a2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大. 【典型题分析】

高频考点一 指数幂的运算

例1.【2020·全国Ⅲ卷文数】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K1e0.23(t53) 当x<0时，y>1； 当x>0时，0为最大确诊病例数．当I(t*)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（ln19≈3）

A．60

B．63

C．66

D．69

【答案】C 【解析】ItK1e0.23t53，所以ItK1e0.23t530.95K，则

e0.23t5319，

所以，0.23t53ln193，解得t35366，故选C。 0.23【方法技巧】指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 21－－2732

－＋0.002－10(5－2)－1＋π0＝________． 【变式探究】（2020·四川棠湖中学模拟）8167

【答案】－

93－【解析】原式＝2

－21

＋5002－10（5＋2）4167

＋1＝＋105－105－20＋1＝－.

99（5－2）（5＋2）

高频考点二 指数函数的图像及其应用

－

例2.（2020·广西柳州高级中学模拟） 函数f(x)＝axb的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确

的是( )

A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 【答案】D 【解析】由f(x)＝ax

＝ax

－b

－b

的图象可以观察出，函数f(x)＝ax

－b

在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)

的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.故选D.

【方法技巧】有关指数函数图象问题的解题思路

(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．

【变式探究】（2020·浙江余姚中学模拟）函数y＝ax－b(a＞0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________．

【答案】(0,1)

【江西】因为函数y＝ax－b的图象经过第二、三、四象限，所以函数y＝ax－b单调递减且其图象与y

0＜a＜1，0＜a＜1，轴的交点在y轴的负半轴上．令x＝0，则y＝a－b＝1－b，由题意得解得故ab∈1－b＜0，b＞1，

0

(0,1)．

高频考点三 比较指数式的大小

例3．【2020·天津卷】设a30.7,b()0.8,clog0.70.8，则a,b,c的大小关系为（ ） A．abc C．bca 【答案】D

【解析】因为a30.71，

B．bac D．cab

131b30.830.830.7a，

clog0.70.8log0.70.71，

所以c1ab. 故选D．

【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；

【变式探究】（2020·安徽马鞍山二中模拟）已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则( ) A．a＞b＞c C．c＞a＞b 【答案】A

【解析】(1)由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.

高频考点四 解简单的指数方程或不等式

例4.（2020·山东日照一中模拟）方程4x＋|1－2x|＝11的解为________ 【答案】x＝log23

【解析】当x≥0时，原方程化为4x＋2x－12＝0，即(2x)2＋2x－12＝0. ∴(2x－3)(2x＋4)＝0，

B．a＞c＞b D．b＞c＞a

∴2x＝3，即x＝log23.

当x＜0时，原方程化为4x－2x－10＝0. 令t＝2x，则t2－t－10＝0(0＜t＜1)．

1±1＋40

由求根公式得t＝均不符合题意，故x＜0时，方程无解．

2

【方法技巧】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；

3111，－，若－【变式探究】（2020·山东济南外国语学校模拟）已知函数f(x)＝a＋x的图象过点1064＋1≤f(x)≤0，则实数x的取值范围是________．

1

0， 【答案】2【解析】∵f(x)＝a＋

11，－3， 的图象过点104x＋1

131

∴a＋＝－，即a＝－.

510211∴f(x)＝－＋x.

24＋11

∵－≤f(x)≤0，

6111

∴－≤x－≤0，

64＋12111∴≤x≤， 34＋12∴2≤4x＋1≤3， 即1≤4x≤2， 1

∴0≤x≤.

2

高频考点五 指数函数性质的综合应用

1ax2－4x＋3例5.（2020·福建泉州五中模拟）已知函数f(x)＝3. (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

1x2－4x＋3【解析】(1)当a＝－1时，f(x)＝，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递31t

增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝3在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋

∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．

1g(x)

(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝3， 由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1， a＞0，

因此必有3a－4

＝－1，a

解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使f(x)的值域为(0，＋∞)， 应使y＝ax2－4x＋3的值域为R，

因此只能a＝0(因为若a≠0，则y＝ax2－4x＋3为二次函数，其值域不可能为R)． 故a的值为0。

【方法技巧】解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。

2xaa【变式探究】（2020·广东中山一中模拟）设fxx1（、b为实常数）.

2b（1）当ab1时，证明：fx不是奇函数； （2）设fx是奇函数，求a与b的值；

（3）当fx是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D，对任何属于D的x、c，都有

fxc23c3成立？若存在试找出所有这样的D；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】

a1a15或；（3）存在，D,log2.

7b2b212112x111， ，（1）举出反例即可：fxx1，f122f12152124所以f1f1，函数yfx不是奇函数； （2）yfx是奇函数时，fxfx，

2xa2xa即x1对定义域内任意实数x成立. x12b2b

化简整理得2ab22ab422ab0，这是关于x的恒等式，

2xx所以2ab0a1a1所以或，经检验都符合题意；

2ab40b2b2xa12x121211（2）当时，fxx1， xx22221221b2因为2x0，所以2x11，0221111fx，从而； x2122333而c3c3c对任何实数c成立；

244所以可取DR对任何x、c属于D，都有fxc3c3成立.

2xa12x121211x0， 当时，fxx1xx22212b2221所以当x0时，fx11；当x0时，fx； 222①因此取D0,，对任何x、c属于D，都有fxc3c3成立； ②当c0时，c23c33，解不等式115. 3xlog得：2212x7所以取D,log2

52xcfxc3c3成立。 ，对任何属于的、，都有D7