第二章 参数估计

一、填空题

1、总体X的分布函数为F(x;)，其中为未知参数，则对常用的点估计方法有 ， 。

2、设总体X的概率密度为

e(x),x f(x;)

x0,而X1,X2,,Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为

_______

3、设X1,X2,X3是来自总体X的简单随机样本，且E(X)，记

1111111X1X2X3，2X1X2X3 333442111113X1X2， 4X1X2X3

22444则哪个是的有偏估计 ，哪个是的较有效估计 。

4、随机变量X的分布函数F(x;)中未知参数的有效估计量和极大似然估计量的关系为 。

5、随机变量X的分布函数F(x;)中未知参数的有效估计量和最优无偏估计量的关系为 。

6、称统计量TT(X1,X2,,Xn)为可估函数g()的（弱）一致估计量是指 。

7、判断对错：设总体X~N(,2)，且与2都未知，设X1,X2,...,Xn是来自

ˆ1、用极大似然法求得的该总体的一个样本，设用矩法求得的估计量为ˆ2，则ˆ2。 _________________ ˆ1=估计量为

8、ˆn是总体未知参数的相合估计量的一个充分条件是_______ . ˆ), limVar(ˆ)0． 解：limE(nnnn9、已知x1,x2,x10是来自总体X的简单随机样本，EX。令

1016ˆxiAxi，则当A 时，ˆ为总体均值的无偏估计。 8i1i7

10、 设总体X~U0,，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为

0.5， 1.3， 0.6， 1.7， 2.2， 1.2， 0.8， 1.5， 2.0， 1.6 则参数的矩估计为 。

11、 设ˆ1与ˆ2都是总体未知参数的估计，且ˆ1比ˆ2有效，则ˆ1与ˆ2的期望与方差满足_______ .

ˆ)E(ˆ), D(ˆ)D(ˆ)． 解：E(121212、设ˆ1和ˆ2均是未知参数的无偏估计量，且E(ˆ12)E(ˆ22)，则其中的统计量 更有效。

13、在参数的区间估计(1,2)中，当样本容量n固定时，精度21提高时，置信度1 。

14、设X1,X2,,Xn是来自总体X~N(,1)的样本，则的置信度为0.95的置信区间为 。

15、设X1,X2,,Xn是来自总体X~N(,2)的样本，其中2未知，则的置

信度为0.95的置信区间为 。

16、设X1,X2,,Xn是来自总体X~N(,2)的样本，其中未知，则2的置信度为0.95的置信区间为 。

17、设X服从参数为的指数分布，X1,X2,,Xn,(n2)是来自总体X的样本，

X为其样本均值，则2nX服从 分布。

18、设总体服从正态分布N(,1)，且未知，设X1,X2,...,Xn为来自该总体的一

1n个样本，记XXi，则的置信水平为1的置信区间公式是

ni1___________________________________；若已知10.95，则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n至少要取多大_______。

18、为估计大学生近视眼所占的百分比，用重复抽样方式抽取200名同学进行调查，结果发现有68个同学是近视眼。则大学生近视眼所占的百分比的95%的置信区间为 。

19、设总体X未知参数为，X为样本均值, 若nXX(1X)近似服从N(0,1)，

则的一个双侧近似1-置信区间为 。

20、设总体X~U(,1),X1,X2,...,Xn为样本，则θ的矩估计量为 ，极大似然估计量为 。

21、设总体X~N(,2),X1,X2,...,Xn为样本，、2 未知，则2的置信度为1－的置信区间为 。

22、设总体X在区间[,1]上服从均匀分布，则的矩估计ˆ ；

ˆ) 。 D(

23、设总体X~N(,2)，若和2均未知，n为样本容量，总体均值的置信水平为1的置信区间为(X,X)，则的值为________；

24、在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。

二、简述题

1、描述矩估计法的原理。 2、描述极大似然估计法的原理。 3、极大似然估计法的一般步骤是什么？ 4、评价估计量好坏的标准有哪几个？ 5、什么是无偏估计？ 6、什么是较有效？ 7、什么叫有效估计量？

8、判断可估函数g()是有效估计量的充要条件是什么？ 9、什么是最优无偏估计量？

10、什么是一致最小方差无偏估计量？

11、有效估计量和最优无偏估计量的关系是什么？ 12、什么叫均方误差最小估计量？ 13、叙述一致估计量的概念。

14、试述评价一个置信区间好坏的标准。

15、描述区间估计中样本容量、精度、置信度的关系。

三、单选题

1、设总体未知参数的估计量满足E(),则一定是的( )

A 极大似然估计 B 矩估计 C 无偏估计 D 有效估计

2、设总体未知参数的估计量满足E(),则一定是的( )

A 极大似然估计 B 矩估计 C 有偏估计 D 有效估计

3、设X1,X2,,Xn为来自均值为的总体的简单随机样本，则Xi(i1,2,,n)（ ）

A．是的有效估计量 B．是的一致估计量 C．是的无偏估计量 D．不是的估计量

4、估计量的有效性是指( ) A.估计量的抽样方差比较小 C.估计量的置信区间比较宽

5、若置信水平保持不变，当增大样本容量时，置信区间（ ） A．将变宽 B．将变窄 C．保持不变 D．宽窄无法确定

6、一个95%的置信区间是指（ ） A．总体参数有95%的概率落在这一区间内 B．总体参数有5%的概率未落在这一区间内

C．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数 D．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数

7、置信度1表示区间估计的（ ） A．精确性

8、抽取一个容量为100的随机样本，其均值为x=81，标准差s =12。总体均值μ的99%的置信区间为（ ）其中：U0.9952.58。

B．显著性 C．可靠性

D．准确性

B.估计量的抽样方差比较大 D.估计量的置信区间比较窄

A 811.97 B 812.35 C 813.09 D 813.52

四、计算题 1、设X1,,Xn是来自总体X的样本X的密度函数为

ex,x0,0 f(x)0,x0试求的极大似然估计量。

2、设总体X服从参数为的泊松分布，求未知参数的矩估计量。

3、 设总体X服从参数为的泊松分布，求未知参数的有效估计量。

4、设总体X的概率密度为

e(x),x,f(x)

其它.0,是未知参数,X1,X2,,Xn是来自X的样本，求的矩估计量1

5、设X1,X2,...,Xn是取自总体X的一个样本，X的密度函数为

2x2,0x其中 未知， ＞0。 f(x)0,else试求 的矩估计和极大似然估计。

6、设X1,X2,...,Xn 是取自总体X的一个样本，X的密度函数为

6x(x),0x 其中 未知，0 f(x)3else0,试求的矩估计ˆ。 7、设总体X的概率密度为

e(x),x,f(x)

其它.0,是未知参数,X1,X2,,Xn是来自X的样本，

（1）求的矩估计量1；（2）求的最大似然估计量2；（3）1和2是不是的无偏估计量（说明原因）？

8、设总体X~N(,2)，且与2都未知，设X1,X2,,Xn为来自总体的一个

1n1n2样本，设XXi，S(XiX)2。求与2的极大似然估计量

ni1ni1

9、设总体X的概率分布为

0 X p 1 2 2 1-3  1其中(0)是未知参数,利用总体X的如下样本值

30，1，1，0，2，0，2，1，1，2

（1）求的矩估计值；（2）求的最大似然估计值。

10、设随机变量X的分布函数为

αβ,xα， F(x,α,β)1x0，xα，其中参数α0,β1. 设X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本,

(1) 当α1时, 求未知参数β的矩估计量; (2) 当α1时, 求未知参数β的最大似然估计量; (3) 当β2时, 求未知参数α的最大似然估计量.

11、 设X1,X2,,Xn(n2)为来自总体N(0,2)的简单随机样本，X为样本均值，记YiXiX,i1,2,,n.

求：（1） Yi的方差D(Yi),i1,2,,n；

（2）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).

（3）若c(Y1Yn)2是2的无偏估计量，求常数c.

12、设总体X的概率密度为

,0x1,fx;1,1x2,

0,其他,其中是未知参数01，X1,X2...,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2...,xn中小于1的个数.

（1） 求的矩估计；（2）求的最大似然估计

13、设总体X的概率密度为

10x2,1f(x),x1

2(1)0,其他X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本，X是样本均值.

（1）求参数的矩估计量；（2）判断4X2是否为2的无偏估计量，并说明理由.

解：（1）

E(X)1xx1dxdx2(1)242，

xf(x,)dx0令XE(X)，代入上式得到的矩估计量为（2）

ˆ2X12．

11114 E(4X2)4EX24[DX(EX)2]4DX()2DX424nn，

2222 E(4X)D(X)0，0因为，所以．故4X不是的无偏估计量．

14、设总体X服从[0,](0)上的均匀分布，X1,X2,...,Xn是来自总体X的一个样本，试求参数的极大似然估计． 解：X的密度函数为

1,0x;f(x,)其他,0,

似然函数为

1n,0xi,i1,2,L()其它0,,n,

maxx1,x2,显然0时，L()是单调减函数，而

ˆmaxX,X,,X12n

15、 设总体X的概率密度为

(1)x,0x1,f(x)其它0, 1.

,xn，所以

是的极大似然估计．

X1,X2,...,Xn是来自X的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.

L(x1,,xn;)(1)xi(1)n(x1,,xn)i1n 解:似然函数为

lnLnln(

1)i1nixln

ndlnLnlnxid1i1

0

解似然方程得的极大似然估计为



11lnxini1n1.

16、设总体的概率密度为

x1,0x1,f(x;)其它.0, (0)

试用来自总体的样本X1,X2,...,Xn，求未知参数的矩估计和极大似然估计. 解：先求矩估计

11EXxdx01



1X11 故的矩估计为1X

再求极大似然估计

L(x1,,xn;)xi1n(x1i1n

xn)1

lnLnln(dlnLnnlnxidi1

1)i1nixln

0

所以的极大似然估计为



11nlnxini1.

17、已知分子运动的速度X具有概率密度

x2)4x2(e,x0,0,3f(x)0,x0.

X1,X2,...,Xn为X的简单随机样本

（1）求未知参数的矩估计和极大似然估计； （2）验证所求得的矩估计是否为的无偏估计。

解：（1）先求矩估计

1EX2x204x33ex()2dx

4

ex()200xex()2dx2

2X

再求极大似然估计

L(X1,,Xn;)i1n4xi2

3n2e(xi)2

4(x1n

n3nxn)e212xi2i1n

lnL3nlnln(

n24)ln(x10xn)212xi1n2i

lnLn32n23xidi1

2xi2i1n 得的极大似然估计 （2）对矩估计

3n，

E

2EX22

2X 所以矩估计

是的无偏估计.

18、假设0.50、1.25、0.80、2.00是来自总体X的简单随机样本值.已知YlnX服从正态分布N(,1)

（1） 求X的数学期望值EX（记EX为b）； （2） 求的置信度为0.95的置信区间；

（3） 利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间.

19、设X1,X2,,Xn是来自正态总体N(,2)的样本, 方差2未知，总体均值的置信度为1的置信区间的长度记为L，求E(L4)。

20、某出租车公司欲了解从财大南校到火车站乘租车的时间，随机地抽查了9辆出租车，记录其从财大南校到火车站的时间，算得x20（分钟），修正样本方差~s2的标准差~s3。若假设此样本来自正态总体N(,2)，其中与2均未知，试求的置信水平为0.95的置信下限。

22)，1,2,12,221、已知两个总体X与Y，X~N(1,12),Y~N(2,2未

2知，X1,X2,...,Xn1和Y1,Y2,...,Yn2分别是来自X与Y的样本，求12/2的置信度为

1的置信区间.

22S, S分别表示总体X，Y的样本方差，由抽样分布定理知 12解：设

PF(n11,n)F/221则

1F/2(n11,n)121，

22S12/S212S12/S2P21F(n1,n1)F(n1,n1)22/2121/21，

所求

122222S12/S2S12/S2, F(n1,n1)F(n1,n1)2/212．的置信度为1的置信区间为 1/21

22、一批糖袋的重量（单位：千克）服从正态分布。现在从该批糖袋中随机抽取12袋，测得这12糖袋的平均重量为3.057，方差为0.1291

求这批糖袋的平均重量的置信度为95%的置信区间，并计算估计的精度。 求这批糖袋的重量方差的置信度为95%的置信区间。

23、设总体X~N(,2)（方差已知），问需抽取容量n多大时，才能使得总体均值的置信度为1的置信区间的长度不大于L？

2五、证明题

1、设X1,X2,,Xn是从总体X抽取的一个样本，X的密度函数为

x1e,x0f(x)0,x0,0

证明样本均值X是未知参数的无偏、有效、一致估计量；

2、设X1,X2,1n,Xn是总体为N(,)的简单随机样本.记XXi，

ni121n~21~222S(XX)，TXS in1i1n （Ⅰ）证 T是2的无偏估计量.

（Ⅱ）当0,1时 ，求D(T).

X13、设从均值为，方差为2>0的总体中分别抽查容量为n1,n2的两样本。和X2分别是两样本的均值。试证明：

对于任意常数a,b(ab1),YaX1bX2都是的无偏估计，并确定常数a,b使

D(Y)达到最小。

4、设总体X服从B(1,p)分布，X1,X2,...,Xn为总体的样本，证明X是参数p的一个UMVUE． 证明：X的分布律为

f(x;p)px(1p)1x,x0,1．

容易验证f(x;p)满足正则条件，于是

1I(p)Elnf(x;p)p(1p)． p2另一方面

Var(X)1p(1p)1Var(X)nnnI(p)，

即X得方差达到C-R下界的无偏估计量，故X是p的一个UMVUE．

ˆ(X,X,...,X)是的一个5、设X1,X2,...,Xn是来自总体F(x,)的一个样本，n12nˆ)k,D(ˆ)2且limklim20. 估计量，若E(nnnnnnnnˆ是的相合（一致）估计量。 试证n 证 由契贝晓夫不等式，对任意的0有

P(|nkn|)Dn

2----

02n0limP(n|kn|)limnn于是

即 n依概率收敛于，故n是的相合估计。