数列求和的8种常用方法(最全)(1)

求数列前n项和的8种常用方法

一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：

n(a1an)n(n1)Snna1d

22特别地，当前n项的个数为奇数时，S2k1(2k1)ak1，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）q1，Snna1； （2）q1，Sna11qn1q3.可转化为等差、等比数列的数列； 4.常用公式:

n

，特别要注意对公比的讨论；

1（1）k123Lnn(n1)；

（2）k2122232Ln2n(n1)(2n1)n(n)(n1)； （3）k3132333Ln3[k1nk1k1nk1n2116312n(n1)2]2；

（4）(2k1)135L(2n1)n2.

1，求xx2x3xn的前n项和. log2311log3xlog32x 解：由log3xlog232例1 已知log3x由等比数列求和公式得 Snxx2x3Lxn

11(1n)x(1x)2 ＝＝211x121＝1－n

2Sn例2 设Sn123n，nN*,求f(n)的最大值.

(n32)Sn111解：易知 Snn(n1)， Sn1(n1)(n2)

22Snn ∴ f(n)＝2

(n32)Sn1n34n64n

＝

1n3464n＝

(n18n)2501 5081，即n8时，f(n)max.

508二.倒序相加法:如果一个数列an，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这

∴ 当 n个数列的前n项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n项和即是用此法推导的，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an). 例3 求sin21sin22sin23sin288sin289的值

解：设Ssin21sin22sin23sin288sin289…………①

将①式右边反序得

Ssin289sin288sin23sin22sin21…………② （反序） 又因为 sinxcos(90x),sin2xcos2x1

①+②得 （反序相加） 2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)＝89 ∴ S＝44.5

x111ff例4 函数fx，求f1f2f2012ff1的值.

1x201220112

三.错位相减法：适用于差比数列（如果an等差，bn等比，那么anbn叫做差比数列）即把每一项都乘以bn的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，即可转化为等比数列求和. 如：等比数列的前n项和就是用此法推导的.

例5 求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1…………①

解：由题可知，{(2n1)xn1}的通项是等差数列2n1的通项与等比数列{xn1}的通项之积 设xSn1x3x25x37x4(2n1)xn………………② （设制错位） ①－②得 (1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn （错位相减）

1xn1(2n1)xn 即：(1x)Sn12x1x(2n1)xn1(2n1)xn(1x) ∴Sn

(1x)22462n变式 求数列,2,3,,n,前n项的和.

2222

12n解：由题可知，n的通项是等差数列2n的通项与等比数列{n}的通项之积

222462n设Sn23n…………………………①

222212462nSn234n1………………………② （设制错位） 222221222222n①－②得，(1)Sn234nn1 （错位相减）

222222212n 2n1n1

22n2 ∴Sn4n1

2四.裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。这是分解与组合思想（分是为了更好地合）在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，

c然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 适用于，其中an是各项不为0

anan1的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。其基本方法是anfn1fn. 常见裂项公式： （1）（2）1n(n1)(n1)1n(n1)n11n1，

1n(nk)(kn111nk)；

1111()（an的公差为d）；

anan1danan111；（3）(an1an).（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）

anan1d[112n(n1)1(n1)(n2)]；

(2n)211111111()； ()；an（4）an(2n1)(2n1)22n12n1(2n1)(2n1)22n12n1（5）ann212(n1)n1111nn,则S1； nn(n1)2n(n1)2n2n1(n1)2n(n1)2nsin1tan(n1)tann； （6）cosncos(n1)（7）

n(n1)!1n!1(n1)!；

n1n)2n1n（8）常见放缩公式：2(例6 求数列

112,1n2nn12(nn1).

123,,1nn1,的前n项和.

解：设ann1n （裂项）

nn1111则 Sn （裂项求和） 1223nn1 ＝(21)(32)(n1n)

1 ＝n11

1111例7 求和Sn. 133557(2n1)(2n1)

212n例8 在数列an中，an，又bn，求数列bn的前n项的和. anan1n1n1n112nn解： ∵ an

n1n1n12211 ∴ bn8() （裂项）

nn1nn122∴ 数列bn的前n项和

1111111Sn8[(1)()()()] （裂项求和）

22334nn11 ＝8(1)

n18n ＝

n1111cos1例9 求证：

cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin21111解：设S cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin1tan(n1)tann （裂项） ∵cosncos(n1)111 ∴S （裂项求和） cos0cos1cos1cos2cos88cos891{(tan1tan0)(tan2tan1)(tan3tan2)[tan89tan88]} ＝sin1cos111(tan89tan0)＝cot1＝2 ＝sin1sin1sin1 ∴ 原等式成立

1111变式 求Sn.

3153563

11113153563解：11111335577911111111111(1)()()() 2323525727911111111(1)()()()2335577911(1)2949五.分段求和法：

例10 在等差数列an中a1023,a2522，求：（1）数列an前多少项和最大；（2）数列an前n项和.

六.分组求和法: 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列， 可把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

111例11 求数列的前n项和：11,4,27,,n13n2，…

aaa111解：设Sn(11)(4)(27)(n13n2)

aaa将其每一项拆开再重新组合得

111Sn(12n1)(1473n2) （分组）

aaa(3n1)n(3n1)n当a1a＝1时，Snn＝ （分组求和）

2211naa1n(3n1)n(3n1)na当a1时，Sn＝. 1a1221a例12 求数列nn12n1的前n项和. 解：设akk(k1)(2k1)2k33k2k ∴ Snk(k1)(2k1)＝(2k33k2k)

k1k1nn将其每一项拆开再重新组合得

Sn2k3kk （分组）

32k1k1k1nnn＝2(1323n3)3(1222n2)(12n)

n2(n1)2n(n1)(2n1)n(n1) ＝ （分组求和） 222n(n1)2(n2)＝

21111变式 求数列1,2,3,,nn,的前n项和.

2482解：Sn1231(nn)21111(123n)(23n) 2222 11n(n1)1n22n121418七.并项求和法：在数列求和过程中，将某些项分组合并后即可转化为具有某种特殊的性质的特殊数列，可将这些项放在一起先求和，最后再将它们求和，则称之为并项求和.形如an1fn类型，可采用两项合并求.利用该法时要特别注意有时要对所分项数是奇数还是偶数进行讨论. 例13 求cos1°+ cos2°+ cos3°+…+ cos178°+ cos179°的值. 解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+…..+ cos178°+ cos179°

∵ cosncos(180n) （找特殊性质项）

∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+L

+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）

＝ 0

例14 数列an：a11,a23,a32,an2an1an，求S2002. 解：设S2002＝a1a2a3a2002

由a11,a23,a32,an2an1an可得

a41,a53,a62,

a71,a83,a92,a101,a113,a122,

……

a6k11,a6k23,a6k32,a6k41,a6k53,a6k62

∵ a6k1a6k2a6k3a6k4a6k5a6k60 （找特殊性质项） ∴S2002＝a1a2a3a2002 （合并求和）

＝(a1a2a3a6)(a7a8a12)(a6k1a6k2a6k6)

(a1993a1994a1998)a1999a2000a2001a2002

＝a1999a2000a2001a2002 ＝a6k1a6k2a6k3a6k4

＝5

例15 在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值. 解：设Snlog3a1log3a2log3a10

由等比数列的性质 mnpqamanapaq （找特殊性质项） 和对数的运算性质 logaMlogaNlogaMN 得

Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)(log3a5log3a6) （合并求和） ＝(log3a1a10)(log3a2a9)(log3a5a6) ＝log39log39log39

＝10

变式 求和Sn1222324252629921002.

八.利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法. 例16 求1111111111之和.

n个111解：由于11119999(10k1) （找通项及特征）

99k个1k个1∴ 1111111111

n个11111＝(1011)(1021)(1031)(10n1) （分组求和） 999911＝(10110210310n)1111 99n个1110(10n1)n ＝910191＝(10n1109n) 81

8,求(n1)(anan1)的值. 例17 已知数列an：an(n1)(n3)n111] （找通项及特征） 解：∵ (n1)(anan1)8(n1)[(n1)(n3)(n2)(n4)11] （设制分组） ＝8[(n2)(n4)(n3)(n4)1111 ＝4()8() （裂项）

n2n4n3n41111)8() （分组、裂项求和） ∴ (n1)(anan1)4(n2n4n3n4n1n1n1111 ＝4()8

34413 ＝

3变式 求5555555555的前n项和.

n个5解：∵a510n1

n95555Sn101110211031L10n1

99995123n 101010L10n9510n19n10 81以上8种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式或进行消项处理来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解.春到四月，如火如荼，若诗似画，美到了极致，美到了令人心醉。“你是一树

一树的花开，是燕，在梁间呢喃，你是爱，是暖，是希望，你是人间的四月天”。喜欢才女林徽因歌颂四月之美的这首《你是人间的四月天》，她将四月的万种风情描摹得淋漓尽致，读来如沐春风如饮甘露。

四月之美，美在清明。时光刚刚跨入四月的门槛，清明就如期而至，“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂。”清明是一种传承了数千年的古老文化，是一场活着的人祭奠逝去的祖先的亲情style。“风吹旷野纸钱飞，古墓垒垒春草绿”，每到清明，人们不会忘记在天堂的祖先，都会放下手中繁忙的工作，即便远离故土，也会怀揣湿漉漉的心事回到乡下，

挑拣一个最宜祭祀的日子，赶往祖先墓地，虔诚地献上一捧鲜花，点上几支香火，烧上一些纸钱，将祖先的坟墓装扮一新，以表达对已逝亲人的思念和祝福。清明时节，最容易勾起与已逝亲人一起度过的那些美好岁月的回忆，让人深刻体悟到亲情的可贵。于是，亲情跨越了时空，泪水模糊了双眼。在莹莹泪光中，就让活着的人好好活着，让已经逝去的人在天堂感到欣慰。四月之美，美在祭祖的哀思，美在人间传递着的温情。

四月之美，美在谷雨。“清明早、立夏迟，谷雨种棉正当时”，清明过后，雨水增多，有利于谷类作物的生长。因此，谷雨是春播春种的关键时期。在乡间，一到谷雨时节，村民们便忙了起来，房前屋后，田间地头，处处是村民们忙碌的身影，处处嘹亮起劳动的号角，处处律动着劳作的喜悦。他们将生活的希望播撒，将幸福的种子栽种，早出晚归，乐而不疲，笑容满面。他们洒下的是一粒粒咸涩的汗水，成就的将是整个秋天旷野上丰硕的果实。累了，他们举头仰望绽开在湛蓝天空上多情的太阳；倦了，他们想一想等待在前方的耀眼金秋。春风，贴着他们的身影吹过，将灼热的期盼和梦想带向遥远、遥远……他们劳动的姿势，仿佛在大地上书写一首生活的真爱长歌；他们奔忙的步伐，舞动出四月美妙和谐的韵律；他们洋溢在嘴角的笑意，仿佛闪烁在阳光下的一朵朵桃花。四月之美，美在他们的不辍劳作，美在他们孜孜不倦地创造甜蜜生活的那颗淳朴心灵。

四月之美，美在花繁草盛。“黄四娘家花满蹊，千朵万朵压枝低。”四月，千芳竞放，姹紫嫣红，你不让我我不让你，争相斗妍，好不热闹。桃花，在多情春风的表白下双颊绯红，欲语还羞；梨花，一束束一簇簇，洋洋洒洒，热烈、雪白而纯情；樱花，怀揣粉红的梦想，轻轻摇落一地的深情。地上的小草也不敢示弱，纷纷抬起挂着剔透露珠的绿色脑袋，在阳光的照耀下折射出诱人的光泽。四月的小草，已不再是初春时那样遥看近却无了，山坡、谷底、河畔、溪边，到处一派翠绿，尽情释放着勃勃的生机，大地好像悄悄铺上了一层绿色的地毯。四月，无论伫立在哪个位置，抬眼，花枝摇曳春风中，群芳嫣然若笑脸；闭眼，馥郁的芳香扑面而来，沁人心脾，直钻心底；低头，满目尽是绿色小草在招摇。四月之美，美在百花盛开，美在绿草如茵。

最美人间四月天。四月之美，美在娇燕呢喃着在天空画出的一道道优美弧线；四月之美，美在败落的花朵已经悄然被青涩的果取代；四月之美，美在孩子们放风筝时撒落在草地上的一串串清脆的笑声……就让我们在这人间最美的四月天，抛开烦恼和忧愁，紧跟春天的步伐，用心感悟尘世的万般美景，用勤劳的双手去创造更加美好的未来。

1、数论是人类知识最古老的一个分支，然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的。

2、数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。 3、我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算。 4、一个数学家越超脱越好。 5、数学是各式各样的证明技巧。 6、数学是锻炼思想的体操。

7、整数的简单构成，若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉。 8、数学是研究抽象结构的理论。

9、历史使人贤明，诗造成气质高雅的人，数学使人高尚，自然哲学使人深沉，道德使人稳重，而伦理学和修辞学则使人善于争论。

10、数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。它愈来愈成为衡量科学成就的主要标志了。