2010年广东高考理科数学试卷(答案解析)

数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.若集合A={x-2＜x＜1}，B={x0＜x＜2}则集合A ∩ B=（ ）

A. {x-1＜x＜1} B. {x-2＜x＜1} C. {x-2＜x＜2} D. {x0＜x＜1} 1. D. AB{x|2x1}{x|0x2}{x|0x1}．

2.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=（ ）

A．4+2 i B. 2+ i C. 2+2 i D.3 2. A．z1z2(1i)(3i)1311(31)i42i 3．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则

A．f（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数 C．f（x）与g（x）均为奇函数 D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数 3．D．f(x)3x3xf(x),g(x)3x3xg(x)．

4. 已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和。若a2a32a1， 且a4与2a7的等差中项为

5，则S5= 4A．35 B.33 C.31 D.29

4．C．设{an}的公比为q，则由等比数列的性质知，a2a3a1a42a1，即a42。由

a4与2a7的等差中项为

∴q35515151知，a42a72，即a7(2a4)(22)． 4424244a7111，即q．a4a1q3a12，即a116． a48285. “m12”是“一元二次方程xxm0”有实数解的 4A．充分非必要条件 B.充分必要条件 C．必要非充分条件 D.非充分必要条件

5．A．由x2xm0知，(x)21214m10m． 443BB=CC 26.如图1，△ ABC为三角形，AA//BB //CC , CC ⊥平面ABC 且3AA==AB,则多面体△ABC -ABC的正视图（也称主视图）是

6．D．

7.已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且P(2X4)=0.6826，则p（X>4）=（ ）

A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D0.1585 7．B．P(3X4)1P(2X4)=0.3413， 2P(X4)0.5P(2X4)=0.5-0.3413=0.1587．

8.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ ）

A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒

8．C.每次闪烁时间5秒，共5×120=600s，每两次闪烁之间的间隔为5s，共5×（120-1）=595s．总共就有600+595=1195s．

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9-13题）

9. 函数f(x)=lg(x-2)的定义域是 . 9． (1,+∞) ．∵x10，∴x1．

10.若向量a=（1,1,x）, b=(1,2,1), c=(1,1,1),满足条件(ca)(2b)=-2,则x= . ca(0,0,1x)，(ca)(2b)2(0,0,1x)(1,2,1)2(1x)2，10．C．解得x2．

11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .

11．1．解：由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．由正弦定理知，即sinA13，sinAsin601．由ab知，AB60，则A30， 2C180AB180306090，sinCsin901.

12.已知圆心在x轴上，半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是

(x5)2y25．12．设圆心为(a,0)(a0)，则r

|a20|12225，解得a5．

13.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为x1…xn(单位：吨)，根据图2所示的程序框图，若n=2,且x1，x2 分别为1,2，则输出地结果s为 . 13．填

311.51.5263．s． 244214、（几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆

O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=则CP＝______. 2a，∠OAP=30°，39 14．a．因为点P是AB的中点，由垂径定理知，OPAB.

8在RtOPA中，BPAPacos303a.由相交线定理知， 2 BPAPCPDP，即

3329aaCPa，所以CPa． 223815、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=2sin 与pcos1 的交点的极坐标为______．

15．(2,xcos,3知，这两条曲线)．由极坐标方程与普通方程的互化式4ysin22的普通方程分别为xy2y,x1．解得坐标为(2,

x1,xcos,由得点（-1，1）的极ysiny1.3)． 4三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、（本小题满分14分）

已知函数f(x)Asin(3x)(A0,x(,),0在x(1) 求f(x)的最小正周期； (2) 求f(x)的解析式； (3) 若f(

12时取得最大值4．

212α +)=,求sinα． 3125

53331． sin(2)，cos2，12sin2，sin2，sin52555517.(本小题满分12分)

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,495，（495,500，……（510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．

（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．

（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．

（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．

18.（本小题满分14分）

如图5，ABC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点．平面AEC外一点F满足FBDF5a，FE=6a ．

图5

（1）证明：EB⊥FD；

（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得BQ与平面RQD所成二面角的正弦值．

22FE,FRFB,求平面BED33

（2）设平面BED与平面RQD的交线为DG. 由BQ=

22FE,FR=FB知, QR||EB. 33而EB平面BDF，∴QR||平面BDF， 而平面BDF平面RQD= DG，

∴QR||DG||EB.

由（1）知，∴DG平面BDF， BE平面BDF，

而DR平面BDF，BD平面BDF， ∴DGDR,DGDQ，

∴RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角． 在RtBCF中，CF BF2BC2(5a)2a22a，

sinRBD

FC2a212，cosRBD1sinRBD． BF5a55

52a35229．

sinRDB2929a3故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值是

19.（本小题满分12分）

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

解：设该儿童分别预订x,y个单位的午餐和晚餐，共花费z元，则z2.5x4y。 可行域为

229． 2912x8y64,3x2y16,6x6y42,xy7, 6x10y64,即3x5y32,

x0,xN,x0,y0,yN.y0. 作出可行域如图所示：

经试验发现，当x4,y4时，花费最少，为2.544426元．

20．（本小题满分为14分）

x2y21的左、右顶点分别为A1,A2，点P(x1,y1)，Q(x1,y1)是双曲线上 一条双曲线2不同的两个动点。

（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式；

（2）若过点H(0, h)（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1l2 ,求h的值。

x212y21。 故y(x2)，即222（2）设l1:ykxh，则由l1l2知，l2:y1xh。 kx2y21得 将l1:ykxh代入2x2(kxh)21，即(12k2)x24khx2h220， 2由l1与E只有一个交点知，16kh4(12k)(2h2)0，即

2222

12k2h2。

同理，由l2与E只有一个交点知，12而

112222，消去得，即k1，从hhk22kkh212k23，即h3。

21．（本小题满分14分）

设A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为P(A,B)|x2x1||y2y1|.

当且仅当(xx1)(x2x)0,(yy1)(y2y)0时等号成立，即A,B,C三点共线时等号成立.

（2）当点C(x, y) 同时满足①P(A,C)+P(C,B)= P(A,B)，②P(A,C)= P(C,B)时，点C是线段AB的中点. x,

x1x2yy2xx2y1y2，即存在点C(1 ,y1,)满足条件。

2222