最全“将军饮马”类问题(类型大全+分类汇编)
1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。
2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。
3.如图，点 P 是∠MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使△PAB 的周长最小
4.如图，点 P，Q 为∠MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使四边形 PAQB 的 周长最小。
5.如图，点 A 是∠MON 外的一点，在射线 OM 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小
6. .如图，点 A 是∠MON 内的一点，在射线 OM 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小
二、常见题型
三角形问题
1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD⊥BC，E 是 AC 上的一点，M 是 AD 上的一点，若 AE = 2，求 EM+EC 的最小值 解：∵点 C 关于直线 AD 的对称点是点 B，
∴连接 BE，交 AD 于点 M，则 ME+MD 最小， 过点 B 作 BH⊥AC 于点 H， 则 EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，
A
E M A
E H M BH =
BC2 - CH2 = 62 - 32 = 3 3
在直角△BHE 中，BE = = BH2 + HE2
B D C
B D C
(3 3)2 + 12 = 2 7
2．如图，在锐角△ABC 中，AB = 4 2，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，
则 BM+MN 的最小值是
．
C B'
解：作点 B 关于 AD 的对称点 B'，
过点 B'作 B'E⊥AB 于点 E，交 AD 于点 F， 则线段 B'E 的长就是 BM＋ＭＮ的最小值 在等腰 Rt△AEB'中， 根据勾股定理得到，B'E = 4
M F D
A N E B
3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在 AC、AB 上各取一点 M、N，使 BM+MN 的值最小，则这个最小值
解：作 AB 关于 AC 的对称线段 AB'，
过点 B'作 B'N⊥AB，垂足为 N，交 AC 于点 M， 则 B'N = MB'+MN = MB+MN B'N 的长就是 MB+MN 的最小值
则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2， ∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。 ∴AN = 1
在直角△AB'N 中，根据勾股定理 B'N =
3
C
M A
B'
30° N 2 M B C
A 30° N
2
B
正方形问题
1．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，丐 DM＝2，N 是 AC 上的一动点，DN＋MN 的最小值为 即在直线 AC 上求一点 N，使 DN+MN 最小
_。
A B D M C
解：故作点 D 关于 AC 的对称点 B，连接 BM，
交 AC 于点 N。则 DN＋ＭＮ＝BN＋ＭＮ＝ＢＭ 线段ＢＭ的长就是 DN＋ＭＮ的最小值 在直角△ＢＣＭ中，ＣＭ＝６，ＢＣ＝８， 则ＢＭ＝１０ 故 DN＋ＭＮ的最小值是１０
2．如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD＋PE 的和最小，则这个最小值为（
） D． 6 A．2 3
B．2 6 C．3
A B D
解：即在 AC 上求一点 P，使 PE+PD 的值最小
点 D 关于直线 AC 的对称点是点 B，
连接 BE 交 AC 于点 P，则 BE = PB+PE = PD+PE，
BE 的长就是 PD+PE 的最小值 BE = AB = 2 3 C
3．在边长为 2 ㎝的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB、PQ，则△PBQ 周长的
最小值为 _㎝（结果不取近似值）. A D
解：在 AC 上求一点 P，使 PB+PQ 的值最小
∵点 B 关于 AC 的对称点是 D 点，
∴连接 DQ，与 AC 的交点 P 就是满足条件的点 DQ = PD+PQ = PB+PQ 故 DQ 的长就是 PB+PQ 的最小值 在直角△CDQ 中，CQ = 1 ，CD = 2 根据勾股定理，得，DQ =
5
P
B Q C
4．如图，四边形 ABCD 是正方形， AB = 10cm，E 为边 BC 的中点，P 为 BD 上的一个动点，求 PC+PE 的最小值；
解：连接 AE，交 BD 于点 P，则 AE 就是 PE+PC 的最小值
在直角△ABE 中，求得 AE 的长为 5 5 A D
B E C
矩形问题
1．如图，若四边形 ABCD 是矩形， AB = 10cm，BC = 20cm，E 为边 BC 上的一个动点，P 为 BD 上的一个动点，求 PC+ PD 的最小值；
解：作点 C 关于 BD 的对称点 C'，过点 C'，
作 C'B⊥BC，交 BD 于点 P，则 C'E 就是 PE+PC 的最小值 20
直角△BCD 中，CH = 5
C'
A H P B D
直角△BCH 中，BH = 8 5
△BCC'的面积为：BH×CH = 160 ∴ C'E×BC = 2×160
则 CE' = 16
E C
菱形问题
1．如图，若四边形 ABCD 是菱形， AB=10cm，∠ABC=45°，E 为边 BC 上的一个动点，P 为 BD 上的一个动点，求 PC+PE 的最小值；
解：点 C 关于 BD 的对称点是点 A， 过
点 A 作 AE⊥BC，
交 BD 于点 P，则 AE 就是 PE+PC 的最小值 在等腰△EAB 中，求得 AE 的长为 5 2
A
B D E P
C
梯形问题
1．已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点 P 在 BC 上秱动，则当 PA+PD 取最小值时，△
APD 中边 AP 上的高为（ A、 2 17
17
）
B、
4 17 C、 8 17 17 D、3 A D
解：作点 A 关于 BC 的对称点 A'，连接 A'D，交 BC 于点 P
则 A'D = PA'+PD = PA+PD A'D 的长就是 PA+ PD 的最小值 S△APD = 4
在直角△ABP 中，AB = 4，BP = 1 根据勾股定理，得 AP = 17
B P C
4 8 17 ∴AP 上的高为：2× =
17 17
A'
圆的有关问题
︵
1．已知⊙O 的直径 CD 为 4，∠AOD 的度数为 60°，点 B 是AD的中点，在直径 CD 上找一点 P，使 BP+AP 的值最小，并
求 BP+AP 的最小值．
解：在直线 CD 上作一点 P，使 PA+ PB 的值最小
作点 A 关于 CD 的对称点 A'，连接 A'B， 交 CD 于点 P，则 A'B 的长就是 PA+ PB 的最小值 连接 OA'，OB，则∠A'OB=90°， OA' = OB = 4
根据勾股定理，A'B = 4 2
A B C D
O P A'
2．如图，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，∠AMN＝30°，B 为 AN 弧的中点，P 是直径 MN 上一动点，则
PA＋PB 的最小值为(
)
C 1 D 2
A 2 2 B 2
A B
M O N P 解：MN 上求一点 P，使 PA+PB 的值最小
作点 A 关于 MN 的对称点 A'，连接 A'B，交 MN 于点 P， 则点 P 就是所要作的点 A'B 的长就是 PA+PB 的最小值
连接 OA'、OB，则△OA'B 是等腰直角三角形
∴ A'B = 2
A'
一次函数问题
20．一次函数 y=kx+b 的图象与 x、y 轴分别交于点 A（2，0），B（0，4）． （1）求该函数的解析式；
（2）O 为坐标原点，设 OA、AB 的中点分别为 C、D，P 为 OB 上一动点，求 PC＋PD 的最小值，并求取得最小值时 P 点 坐标．
解：(1)由题意得：0 = 2x+b，4 = b 解
得 k = -2，b= 4， ∴ y = -2x+4
(2)作点 C 关于 y 轴的对称点 C'，连接 C'D，交 y 轴于点 P 则 C'D = C'P+PD = PC+PD C'D 就是 PC+PD 的最小值 连接 CD，则 CD = 2，CC' = 2
在直角△C'CD 中，根据勾股定理 C'D = 2 2 求直线 C'D 的解析式，由 C'(-1，0)，D(1，2) ∴，有 0 = -k+b，2 = k+b 解得 k = 1，b = 1， ∴ y = x+1
当 x = 0 时，y =1，则 P(0，1)
二次函数问题
1．如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（-2，0），连结 0A，将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120。，得到线段 OB. （1）求点 B 的坐标；
（2）求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使△BOC 周长最小？若存在求出点 C 坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)B(1， 3 )
3 2 3 2 + xx (2) y = 3 3
(3)∵点 O 关于对称轴的对称点是点 A，则连接 AB， 交对称轴于点 C，则△BOC 的周长最小
3 2 3 3
x ，当 x=-1 时，y = y = x2 + 3 3 3
∴C(-1， )
3
3
2．如图，在直角坐标系中，A，B，C 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过 A，B，C 三点的抛物线的对称轴为直 线 l，D 为直线 l 上的一个动点， (1)求抛物线的解析式；
(2)求当 AD+CD 最小时点 D 的坐标； (3)以点 A 为圆心，以 AD 为半径作圆 A；
解：（1）①证明：当 AD+CD 最小时，直线 BD 与圆 A 相切；
②写出直线 BD 与圆 A 相切时，点 D 的另一个坐标。
（2）连接 BC，交直线 l 于点 D，则 DA+DC = DB+DC = BC， BC 的长就是 AD+DC 的最小值 BC：y = -x + 3
则直线 BC 与直线 x = 1 的交点 D(1，2)，
y C D A O B x
3．抛物线 y = ax2+bx+c(a≠0)对称轴为 x = -1，与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中 A(-3，0)、C(0，-2) （1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点 P，使得△PBC 的周长最小．请求出点 P 的坐标．
（3）若点 D 是线段 OC 上的一个动点（不与点 O、点 C 重合）．过点 D 作 DE∥PC 交 x 轴于点 E，连接 PD、PE．设 CD 的长为 m，△PDE 的面积为 S．求 S 与 m 之间的函数关系式．
试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
题意得
b
= 1 (1)由2 4
2a 解得 a = ，b = ，c = - 2
3 3 9a-3b+c = 0
c = -2
2 4
∴抛物线的解析式为 y = x2 + x - 2
3 3
(2)点 B 关于对称轴的对称点是点 A，连接 AC 交对称轴于点 P，则△PBC 的周长最小 设直线 AC 的解析式为 y = kx +b，∵A(-3，0)，C(0，-2)，则
0 = -3k + b
解得 k = - 2 -2 = b，b = -2 3
∴直线 AC 的解析式为 y = -
2 3
x – 2
把 x = -1 代入得 y = - 4
3
，∴P(-1，- 4 3 )
(3)S 存在最大值
OE OD OE ∵DE∥PC，∴ OA = OC ，即 3
= 2-m
2
OE = 3 - 3 3
2 m ，AE = OA–OE = 2 m 方法一，连接 OP
S = S 四边形 PDOE – S△OED = S△POE + S△POD – S△OED
= 1 2 ×(3 - 3 2 m)× 4 3 + 1 1 3
2 ×(2 - m)×1 - 2
×(3 - 2 m)×(2 - m)
3 3 3 = - m2 3
4 2 + 2 m = - 4 (m-1)+ 4
∴，当 m = 1 时，S 最大 =
3 4
方法二，
S = S△OAC – S△AEP – S△OED – S△PCD
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