（一）考查双曲线的概念
2
2
例1设P是双曲线x2—匕=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x —2y =0, F1、F2 a 9 分别是双曲线的左、右焦点.若 | PF1 |=3,则|PF2 |=（
B. 6 C. 7
分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出
A.）
1 或5
a
D. 9
的值，利用双曲线的定义求出
| PF2 |的值.
一 ― 一…x
2
y a
2
解：:双曲线
3
，=1渐近线万程为y=± x,由已知渐近线为 9 a
3x — 2y = 0 ,
「.a = Z，||PFi|—|PF2||=4,，|PF2 卜 ±4+|PF1 |.
\\|
PF1 |=3, |PF2 A0,，|PF2 |=7.
故选C.
归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法.
（二）基本量求解
例2（2009山东理）设双曲线 点, 则双曲线的离心率为（
B. 5
C.
b
2
=1的一条渐近线与抛物线
2
y = x +1只有一个公
2 2
解析：双曲线
2
x _y_
2
.2
=1的一条渐近线为
b
一x,由方程组
b 2
x 一一x+1=0 有唯一解，所以△ = (―) -4=0, a a
所以 b =2 , e = c = ——— =，「(
b
b
a b
... .一
a
b y = x
y
《 a ，消去y,得 2
y = x 1
)2 = J5 ,故选 D. a a a - a
归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念, 系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解. 本题较好地考查了基本概念、
2
2
以及直线与抛物线的位置关
基本方法和基本技能.
x y
例3 （2009全国I理）设双曲线 --彳=1 （a>0, b>0）的渐近线与抛物线 y=x +1相切,
2 ....
a b
则该双曲线的离心率等于 （）
A.、3
B.2 C.
,5 D. ,,6
y Ix4 = 2xo .由题意有 义=2% .又有
一
解析：设切点P（xo，yo）,则切线的斜率为
x。
Vo =x。2 +1 ,联立两式解得：x。2 =1,,9 =2,e =11+（b）2 =45. a , a
2
因此选C. 2
例4 （2009江西）设E和F2为双曲线
x y a b
』2=1（a A0,b〉0）的两个焦点，若 E, F2,
P（0,2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（
解析：由 tan — = -^―有 3c = 4b
22
6 2b 3
= 4（c2 一a2）,则 e = 5 = 2 ,故选 B.
a
从而得出tan -=—=—,体现数形结
归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征，
6 2b 3
合思想的应用.
（三）求曲线的方程
例5 （2009,北京）已知双曲线C :与―匕=1但A0,b A0）的离心率为 J3,右准线方程 a b
2 2
3
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线 C交于不同的两点 A, B,且线段 AB的中点在圆
x +y =5上，求m的值.
分析：（1）由已知条件列出a,b,c的关系，求出双曲线 C的方程；（2）将直线与双曲线方程 联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出
工 a
2
22
m的值.
. 3
解：（1）由题意，得〈 ,解得a =1, c = J3.
£-3 a
c 3
=—
2
b2 =c2 一a2 =2, ••・所求双曲线 C的方程为X2—工=1.
2
（2）设A、B两点的坐标分别为（x, y1 ）,（X2, y2 ）,线段AB的中点为M （ X0, y0 ）,
2
y
, X - 二1 2 2 由《 2 得 x —2mx — m -2=0 （判别式 A > 0）,
2
、x+y+m = 0
x1 x2 • ・ x0 = ---- = m, y0 = x0 + m = 2m ,
2
•・•点 M （w 梃圆 x + y
2
2
=5上，
…m +（2m ）=5, .・. m = ±1 .
2
2
另解：设A、B两点的坐标分别为（x［，y1 ）,（x2, y2 ）,线段AB的中点为M（x0,y0）,
2
%2 -y- =1
2
由《
X2
屋_1
1 1
，两式相减得(x1+x2)(x1-x2)-一(y1 + y2)(y1 - y2) = 0.
2
2
“ 2
由直线的斜率为1, X0 =红_\"，丫0 =红」2代入上式，得 y0 -2x0. 2 又M(y0,x0)在圆上，得y0 +x0
2
2
= 5,又M (y0,x0)在直线上，可求得 m的值.
圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的
归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、
关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.
2
2
例6过M (1,1)的直线交双曲线 匕=1于A,B两点，若M为弦AB的中点，求直线
4
AB的方程.
2
k ,利用M为弦
分析：求过定点M的直线方程，只需要求出它的斜率.为此可设其斜率是
AB的中点，即可求得k的值，由此写出直线AB的方程.也可设出弦的两端点坐标用“点差法” 求解.
解法一：显然直线 AB不垂直于x轴，设其斜率是k ,则方程为y-1=k(x-1).
2
2
出二一匕二1 由 4
2
y -1 = k(x -
消去 y 得(1—2k
2
)x2 -4k(1-k)x-2k2 +4k—6 = 0 ①
设A(x1,y1)，B(x2，y2),由于M为弦AB的中点，
<^2 =-k) =1,所以 k =1 . 2 1-2k 2
1 ........... 1
显然，当k=一时方程①的判别式大于零.
2
所以
x
2k(11
所以直线AB的方程为y—1=-(x—1),即x — 2y+1=0.
2
解法二：设 A(x1,y1), B(x2, y2),则
- 2
x__y_=1
4 2
2
② ③
2
2
隹-左=1
4 2
①一②得(x -X2)(x X2) -2(yi -Y2)(YI y2)-0. 又因为 Xi +X2 =2,yI +y2 = 2 ,所以 Xi -X2 =2(y1 -y).
右 Xi — X2，则 y1 = y2,由 Xi +X2 = 2,y1 *y2 = 2得Xi — X2 — 1, y1 = y2 = 1 - 则点A、B都不在双曲线上，与题设矛盾，所以 ％ #X2. 所以 k =
yi
一 = . Xi _ X2 2
y2
1
1
所以直线AB的方程为y—i=-(x—1),即x — 2y+1=0. 2
经检验直线X -2y +1 =0符合题意，故所求直线为 X -2y+1 = 0 .
解法三：设A (X, y ),由于A、B关于点M (1,1)对称，所以B的坐标为(2 —X, 2-y),
土--，
2
2
4 2 2
则《 4 消去平方项，得X —2y+1=0. 2
(2-x) (2-y)2 - 二 I. 4 2 即点A的坐标满足方程④，同理点 故直线AB的方程为X—2y+1=0.
④
B的坐标也满足方程④.
归纳总结：由于双曲线(抛物线)不是“封闭”的曲线，以定点为中点的弦不一定存在，所 以在求双曲线(抛物线)中点弦方程时，必须判断满足条件的直线是否存在.
(四)轨迹问题
2
2
X V
例7已知点P(X0,y0)为双曲线一？一42=1 (b为正常数)上任一点，
8b2 b2
F2为双曲线的右
焦点，过作右准线的垂线，垂足为A,连接F2A并延长交y轴于巳.求线段P1 P2的中点P的
轨迹E的方程.
分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点 用相关点法.
解：由已知得F2（3b,0）, A（8b, y°）,则直线
b)
y = T — 3. F2 A的方程为:
P是线段P1巳的中点，可利
(x
3
令 *=0得丫=9丫0,即 P2(0,9y0).
X0
x =
2
y0 9y0
y = 2— =5y。
। x0 = 2x
即:
y
2 2
y
代入
x0
y ”口
4x2 8b 25b
2
2
2
°=
5
=1 ，
——七=1得:
2
即P的轨迹E的方程为 斗 -^y-y =1 . (xw R) 2b 25b
归纳小结：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法. （五）突出几何性质的考查
2x
2y
2
2 一
例8（2006江西）P是双曲线 ——1=1的右支上一点，M
,N分别是圆(x + 5) +y =4
9 16
和（x—5）
2
+y =1上的点，则 |PM | -|PN |的最大值为（
C.8
D.9
2
A.6 B.7
解析：双曲线的两个焦点 F1（—5,0）与F2（5,0）恰好是两圆的圆心，欲使 |PM|—|PN|的值 最大，当且仅当| PM |最大且| PN |最小，由平面几何性质知，点 M在线段PF1的延长线上, 点N是线段PF2与圆的交点时所求的值最大.
此时 |PM |—|PN |=(PF1 +2)—(PF2 -1) = PR — PF2 +3 = 9.因此选 D. 例9(2009重庆)已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为
x =』5,离心率e = J5.
5
(1)求该双曲线的方程；
(2)如图，点A的坐标为(-75,0) , B是圆X2+(y — J5)2 =1上的点，点M在双曲线右
支上，求 MA + MB的最小值，并求此时 M点的坐标.
分析：(1)比较基础，利用所给条件可求得双曲线的方程; 转化为其它线段，再利用不等式的性质求解.
(2)利用双曲线的定义将 MA、MB
解：(1)由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为
‘2一
_
2=1 (a >0,b >0),设 c = Ja2 +b2,由准线方程为 x = ^5得--=, a2 b2 5 c 5
由e=<5得c =万 a
2
解得a=1,c = >/5.从而b =2,二该双曲线的方程为 x
2
—L=1.
4
(2)设点D的坐标为(J5,0),则点A、D为双曲线的焦点,
则 |MA| -|MD | = 2a =2 .
所以 |MA | 十|MB | = 2 + | MB | + | MD B 2 + | BD | . 因为B是圆x
2
+(y —J5)2 =1上的点，
其圆心为C(0,J5),半径为1, 故 |BD 问 CD|-1=而 + 1,
从而 |MA|+|MB|>2 + |BD|> 同+1 .
当M ,B在线段CD上时取等号，此时| MA | +1 MB |的最小值为 屈+1 . 丫直线CD的方程为y = -x+J5,因点M在双曲线右支上，故 x > 0 .
4x2。y2
=4
r/5
4 2
4、5 - 4 2
由方程组《 y
解得x=
472,丫 = 45期 4，
y -
- x .5
3
3
所以M点的坐标为(-&4.4M一，五). 3
'
3
2
归纳小结：本题综合考查双曲线的知识及不等式性质，考查推理能力及数形结合思想.
不贵只能是土豪，你可以一夜暴富，但是贵气却需要三代以上的培养。孔子说富而不骄，莫若富而好礼。”如今我们不缺土豪，但是我们缺少贵族。
高贵是大庇天下寒士俱欢颜的豪气与悲悯之怀，高贵是位卑未敢忘忧国的壮志与担当之志
高贵是先天下之忧而忧的责任之心。
精神的财富和高贵的内心最能养成性格的高贵，以贵为美，在不知不觉中营造出和气的氛围；以贵为高，在潜移默化中提升我们的素质。以贵为尊，在创造了大量物质财富的同时，精神也提升一
个境界。
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