第７卷第１Ｏ期 ２００８年１０月 软件导刊 Ｓｏｆｔｗａｒｅ Ｇｕｉｄｅ ＶＯ１．７ Ｎｏ．１０ ０ｃｔ．２００８ 基于多分辨分析的Ｍａｌｌａｔ算法研究 周 凯 ．吴 旦 （１．中国人民武装警察部队特种警察学院，北京１００６２１；２．武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室，湖北武汉４３００７０） 摘‘要：图像分析技术采用Ｍａｌｌａｔ算法对图像进行多分辨率分解处理，将图像分解成不同空间、不同频率的子图像。 在介绍多分辨分析技术的基础上，进一步研究Ｍａｌｌａｔ算法的实现，提出了图像的分解与重构技术原理。 关键词：多分辨分析；滤波处理；快速小波变换 中图分类号：ＴＰ３１２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—７８００（２００８）１０—００５４—０２ 数日（付）可以完全决定一个多尺度分析。 １多分辨分析 ２ Ｍａｌｌａｔ分解与重构算法 多分辨分析的思想就是先在能量有限函数空间的某个子 空间中建立基底，然后利用简单的伸缩与平移变换，把子空间 的基底扩充到中。 中的一列闭子空间｛ ｝ 满足下列条件： 为多分辨分析，如果｛ ｝ ｚ １９８８年Ｍａｌｌａｔ受塔式算法的启发。在多分辨分析的指导下 建立了Ｍａｌｌａｔ算法，它的作用可与ＦｆＴｒ在Ｆｏｕｒｉｅｒ变换中的作用相 提并论，具体算法可描述如下： 设 。是给定的多分辨分析尺度空间，尺度因子ｍ＝０，相应 的尺度函数为： （１）ｖｊｃ １Ｖｊ∈ （２）， ，＝｛Ｄｌ，Ｙ ，： （ ） ｉＥＺ ，ＥＺ （￡）＝∑ 一 ，ｋ 小波函数为 （１） （３ ）∈ ， ，（２ ）∈ （４）ｆ（ｘ）∈Ｖｏｃ：￣ｆ（ｘ－ｋ）∈Ｖ０，Ｖｋ∈Ｚ （５）存在ｇ（ｘ）Ｅ Ｖｏｔ￣．得｛ｇ（ｘ－ｎ）Ｍ∈Ｚ｝构成 ｏ的Ｒｉｅｓｚ￣，即 ａ）Ｖ０＝ｓｐ（ｍ｛ｇ 一ｎ）｝ｎ∈Ｚ ｂ）存在０１Ｔ ≤日订。。，使得对任意｛ｃ ｝ ∈／２（Ｚ）有： （￡）＝∑ｇｋ－２．￣ａ＿ｌ，ｋ ’ 由Ｖｏ＝Ｖ ④Ｗ ，若Ｉ，（￡）∈Ｖ。，则正交小波分解为 （２） （３） （４） Ｐｍ一 ￡）＝ ，（ ）＋Ｑ ｆ（ｔ） 当ｍ＝ｌ时．则： Ａ∑ｌｃ ∑ｃ （ —ｎ）＿ｌ：≤曰∑Ｉｃ ｌ ｎＥＺ ｎＥＺ ｎＥＺ 尸ｑ厂（￡）＝Ｐ ￡）＋Ｑ ｆ） 其中，ｇ（ ）称为尺度函数。 条件（１）称为一致单调性，表明子空间列｛ ）， 提嵌套的。 条件（２）称为渐近完全性，表明通过增大 ，Ｌ （Ｒ）中的每一个函 数能够用它在 中的投影 ｝常接近所希望的逼近；反之，通 令厂ｏ＝Ｐｑ厂（ｔ） ｌ＿Ｐ以￡），ｄ ＝Ｑ以￡） 息ｄ ，贝 ｏ＝ｆ ＋ｄ ，类似地则 ・ 当尺度因－￣ｍ＝ｌ转￣Ｊｍ＝２时，相应于厂。＿ ，需补充细节信 田＋ｄ 。 由Ｅｆｏ＝ｆ ＋ｄ 可得 过减４Ｖ，投影 够具有任意小的能量。条件（３）称为伸缩规 则性，表明空间列ｆ ｌ 中任一空间 的基可由其中任意空间 ， 的基经过伸缩与平移变换得到。条件（４）称为平移不变性，表明 ￡）：（∑ ∑ ∑６ ∑跏） （ｔ－ｊ） ｎ ｉ ｎ Ｊ （５） 为建立 （ｔ—ｎ）与 （ｆ ）的系数之间的关系，代换角标，ｎ用ｊ｝ 代之√用ｎ代之，则有 函 ）在同一子空间 波形在平移后不变化，￣０ｆ（ｘ）Ｅ ｊ ｆ（ｘ一 ）Ｅ ｖｊＶｊ，ｋ∈Ｚ。条件（５）称为形Ｒｉｅｓｚ基的存在性，结合条 件（３）、（４），－Ｉ知，｛ｇ（２￣ｘ一 ）Ｉｋ∈Ｚ｝构成 的尉ｅｓｚ基。因此又称ｇ （ ）为多分辨分析的生成元。可以证明，存在函数 （ ）∈ 。使得 ｛Ｏ（ｘ一｜ｊ｝）ｌ ∈ 构成 。的标准正交基。数列｛ｈｋ｝或与之等价的函 由此可得 ￡）＝∑（∑ ＋∑６ ） （ ） ｎ ｋ （６） 作者简介：周凯（１９８２～），男，湖北随州人，中国人民武装警察部队特种警察学院助教，研究方向为信息编码、信息隐藏；吴旦（１９８４～），女，湖南株洲 人，武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室硕士研究生．研究方向为遥感影像处理。