无界域上非自治随机反应扩散方程一致随机吸引子的存在性

)JournalofGuanxiNormalUniversitNaturalScienceEditiongy(

广西师范大学学报(自然科学版)

Vol.38 No.2Mar.2020

:/DOI10.16088i.ssn.1001-6600.2020.02.016j://httxuebao.xnu.edu.cnpg

无界域上非自治随机反应扩散方程

一致随机吸引子的存在性

()河海大学理学院,江苏南京210098

张 杰,李晓军*

摘 要:本文研究无界域上一类带有白噪声的非自治随机反应扩散方程一致吸引子的存在性。首先通过对解的一致估计,证明了对应于原方程的随机动力系统拥有关于符号空间的一致拉回吸收集;其次,通过渐近尾部估计得到解是一致拉回渐近紧性,从而得到原系统一致随机吸引子的存在性。

关键词:随机反应扩散方程;一致吸引子;无界域;白噪声;渐近紧性

()中图分类号:O175.29 文献标志码:A 文章编号:1001-6600202002-0134-10

]引用格式:张杰,李晓军.无界域上非自治随机反应扩散方程一致随机吸引子的存在性[广西师范大学学报(自然科学J.,ZHANGJieLIXiaoun.Existenceofuniformrandomattractorfornonautonomousstochasticreaction-diffusioneuationsjq,():版)2020,382134-143.

[](),():onunboundeddomainsJ.JournalofGuanxiNormalUniversitNaturalScienceEdition2020,382134-143.gy

ExistenceofUniformRandomAttractorforNonautonomous

StochasticReaction-diffusionEuationsonUnboundedDomainsq

*

,ZHANGJieLIXiaounj

:AbstractThispaerstudiestheexistenceofuniformattractorsforaclassofnonautonomousstochasticp

,reaction-diffusioneuationswithwhitenoiseonunboundeddomains.Firstlwithuniformestimationofqy

,thesolutionsitisprovedthatthestochasticdnamicalsstemcorresondinotheoriinaleuationyypgtgq

,bhasauniformlithresecttosmbolsacepullbackabsorbinet.Secondlsmtotictailywpypgsyyayp

,estimationitisprovedthatthesolutionisuniformlullbackandasmtoticallomact.Theypypycp

existenceofuniformrandomattractoroftheoriinalsstemisobtained.gy

:;;;w;Kewordsstochasticreaction-diffusioneuationuniformattractorunboundeddomainhitenoiseqy

asmtoticcomactnessypp

n本文研究定义在全空间R上具可加噪声的反应扩散方程解的渐近行为:

(,H,N)SchoolofScienceehaiUniversitaniniansu210098,ChinayjgJg

初值为

)du=(γΔu-λu-f1(u)-a(x)u)+g(x,t)dt+h(x)dω,f2(

n),,u(x,0=u0(x)x∈R

()1()2

,2nnn))),其中λ>0,是一个平移有界函数,γ>0,x,t)∈LlR;H)h(x)∈H2(R∩W2p(R∩L1(Roc(g(p>

收稿日期:2018-12-11

)基金项目:国家自然科学基金(11571092

,:通信联系人:李晓军(男,甘肃定西人,河海大学教授,博士。E1970—)-maillixun05@hhu.edu.cnj

://httxuebao.xnu.edu.cnpg

135

上相互独立的双边实值W对任意s2,ω是概率空间(Ω,F,P)iener过程。假设非线性函数f1、f2满足:∈R,

2p,s)s≥α|s|-|s|'s)≥-c,111(f1(fβn),L∞(Ra(x)>0。

n,,;)其中α0,i=1,2,3,4,i=1,2,c>0,ccαλ>2x)∈L1(R∩i>i>01>02>01>1,1。假设a(βββp-1p-1

|s)|≤α|s|+c|s)|≤α|s|+c31,42,f1(f2(

ps)s≥α|s|-'s)≥-c,22,2(f2(fβ()3()4()5

[]中将传统吸引子的概念加以推广,提出了拉回吸引子的概念,并给出了相应的存在性刻画定理;之4-6个驱动动力系统,给出了随机吸引子存在的充分必要条件,且对吸引子的结构加以刻画;对确定非自治系];统一致吸引子的研究见文献[近期,源于文献[中的思想,中研究含有确定非自99]Cui等人在文献[10]治项随机偏微分方程关于确定非自治符号一致拉回意义下吸引子的存在性,并给出相应的判定定理;关]。于随机偏微分方程的其他研究见文献[11-15

]))本文应用文献[中的方法,研究式(关于确定非自治符号随机一致吸引子的存在性。由6,131~(2

)可知性,在研究随机偏微分方程时,传统吸引子的概念(见文献[已无法应用。F1-3]landoli等人在文献]后,中对含有确定非自治项的随机偏微分方程吸引子的存在性加以研究,通过引入2Wan7-8g在文献[

))系统(是一非自治系统,含有确定的非自治项和随机项。随机项的存在,对于未来信息具有不1~(2

))于式(是定义在全空间上,本文采用空间分割的方法,通过在余空间中估1~(2Sobolev嵌入缺乏紧性,计解一致性来得到紧性结果。

nP·,·))令‖·‖和(分别表示L2(上的范数和内积,空间上的范数,字母C表示R‖·‖p表示L一般的正常数,其值可以在不同行或同一行有所变化。

1 预备知识

]。本节给出随机动力系统的一些概念和理论,详见文献[8,10,13,16

a∈Ab∈B令(为可分的BX,d)anach空间,X上的非空集间的Hausdorff半距离定义为

对于任意度量空间M,定义B(为其上的σ为紧的P且在下面意M)-代数。令(Σ,dΣ)olish度量空间,

X(,distA,B)=suinfd(a,b)A,B∈2\\⌀。p

义下是不变的:

其中θ为光滑的平移算子,满足:

θΣ=Σ,∀t∈R,t󰀝①θθ􀳱θθ∀t,s∈R;③(t,θ0是Σ上的恒等算子;②st=t+s,tg)g是连续的。同时,定义(为概率空间,定义在其上的动力系统{Ω,F,P)ϑt}t∈R满足:①ϑ0是Ω上的恒等算子;②ϑΩ=Ω,∀t∈R;t,⑤P-保测:P(ϑF)=P(F)∀t≤0,F∈F。t󰀝③ϑ􀳱ϑϑt,s∈R;④(t,ω)ϑω是(B(R)×F,F)-可测;st=t+s,∀t分别作用在Σ和Ω上的2个群{θϑt}t∈R和{t}t∈R称为基流。

非自治随机动力系统,如果

:(定义1 称φ(和(上的t,ω,x)R+×Ω×Σ×X󰀝X为定义在X,Σ,{θΩ,F,P,{ϑt}t∈R)t}t∈R)g,,)①B(R+)×F×B(Σ)×B(X)B(X)-可测的;φ是(

·)是X上的恒等映射,②0,ω,∀g∈Σ,ω∈Ω;g,φ(

136

,()广西师范大学学报(自然科学版)2020,382

有如下余圈性质成立:③对每个固定的g∈Σ,x∈X,ω∈Ω,

,∀t+s,ω,x)=t,ϑω,θ􀳱s,ω,x)t,s∈R+。ssg,g)g,φ(φ(φ(

令D是X中的随机集族组成的集合。使得>0,其中

}定义2 称K=K{若对任意ω∈Ω和B∈D,都存在T=T(K(ω)-吸收集,ω,B)ω∈Ω为φ的一致D),t,ϑ-tω,Σ,B(ϑ-tω)⊂K(ω)∀t≥T,φ(

。t,ω,Σ,B)=∪∪t,ω,σ,x)φ(φ(σ∈ΣX∈B}称K=K{若对任意ω∈Ω,有K(ω)-吸引集,ω∈Ω为φ的一致Dt→∞

定义3 称定义在B若对任意B∈D,anach空间X上的连续随机动力系统φ是一致D-渐近紧的,ω{,,}序列{于X中有收敛子序列。∈Ω,t0(),)limdistt,ϑ-tω,Σ,B(ϑ-tω)K(ω)=0。φ(

D-吸引集。

}定义4 称随机集A={随机)一致吸引子,如果A属于D,且是最小的紧一致A(ω)-(ω∈Ω为φ的D}定义5 称随机有界集{若对所有的β>0,满足B(ω)ϑω∈Ω,ω∈Ω关于{t}t∈R是缓增的,

-tβlimedB(ϑω)=0,t其中d(B)=su‖·‖X。p

x∈Bt→∞

}集B∈D,且φ在X上是一致D拉回)渐近紧的,则φ有唯一的一致D-(-吸引子A={A(ω)ω∈Ω∈DX,其中

),A(ω)=W(ω,Σ,B)=∩∪t,ϑ-tω,θ-tΣ,B(ϑ-tω)∀ω∈Ω。φ(

s≥0t≥s2

loc

2

·)·+,∀。θ=g(t)t∈R,R;H)toc(g(g∈Ll

定义6

[]10

假设φ是关于符号空间Σ和X连续的非自治随机动力系统。若φ有闭的一致D-吸收

,令H=L(定义L(上的平移算子群{R)R;H)θt}t∈R为

2

n22,ω2,ω:·):称g∈Ll于Ll中平移紧的,若g的壳H(是Ll中的R;H)R;H)={θt∈R}R;H)oc(oc(toc(g)g(

()6

紧集。

]922,ω命题1[在Ll中平移紧的,那么: 假设g∈LlR;H)R;H)oc(oc(2,ω上依Ll的拓扑是连续的;①平移算子θR;H)t在H(oc(g)

,即H(②g的壳是平移不变的,=θH(∀t∈R;tg)g)

,

2

中是平移有界的,即④等价地,R;H)oc(g在Ll

2ω;在Ll中是平移紧的,且H(③任意函数σ∈H(R;H)σ)⊆H(oc(g)g)

,。成立η(⑤对任意σ∈H(σ)≤g)g)η(

sup

:u=spg)η(τ∈R

∫

ττ-1

‖g(s)‖2ds<∞;

]1022

命题2[在Ll中是平移有界的,那么, 令g∈LlR;H)R;H)oc(oc(

σ∈H(g)

))对应的随机动力系统2 式(1~(2

)),为了定义式(所对应的随机过程,考虑概率空间(其中,1~(2Ω,F,P)

∫

0

(g)η2

(),λ>0。e‖σs‖ds≤λ∀--∞1-e

λs()7

://httxuebao.xnu.edu.cnpg

137

下的双边WF为Ω的紧开拓扑所诱导的Borelσ-代数,P为(Ω,F)iener测度。定义变换:]。定义则P是遍历的且在ϑ作用下具有不变性,见文献[17则z(是一维Oω)rnstein-Uhlenbeck方程

·+,ϑω=ω(t)-ω(t)∀t∈R,ω∈Ω,t:)},Ω={ω∈C(R,R)ω(0=0

z(ω)λ=-

·)的一个稳态解。此外对每个ω∈Ω,关于t连续,随机变量|即对每个ε>0,满足z(ϑω)z(|是缓增的,t-εtlime|z(ϑ-tω)|=0,∀ω∈Ω。

dz(ϑω)+λz(ϑω)dt=dωtt∫

0

-∞

λτeω(τ)dτ,∀ω∈Ω,()8()9

,其中u是问题())令v(的解,那么v满足t)=u(t)-hz(ϑω)1~(2tt→∞

()10

初值为

∂v)),()+λv-γΔv=-f1(v+hz(ϑω)-a(x)v+hz(ϑω)+g(x,t)+γz(ϑω)Δh(x)11tttf2(

∂t)。v(x,0=v0(x)=u0(x)-hz(ω)

()12

2[;(;,满足v()v0)∈C(0,∞)L2)∩Ll0,∞)V)0,ω,v0)=v0。此外,v关于ω是(F,B(H)-可测oc(g,

]·,应用文献[中G对每个初始条件v0∈H,式(都有唯一的解v(1-4alerkin方法可知,11)~(12)ω,g,的,且关于g和v0都是连续的。

),t,ω,u0)=v(t,ω,u0-hz(ω)+hz(ϑω)tg,g,φ(

))则φ(是问题(对应的非自治随机动力系统。t,ω,u0)11~(12g,

令DH是H中的缓增集组成的集合,即

-λt。满足DH={D:D是H中有界随机集,lime‖D(ϑ-tω)‖2=0,∀ω∈Ω}

对每个t≥0,和u0∈H,令ω∈Ω,g∈H(g0)

()13

t→∞

易知,DH是包含封闭的吸引域。

3 解的一致估计

立一致估计。首先证明φ存在一致DH-拉回吸收集B。

))为了证明对应于式(的随机动力系统φ一致DH需要对式(的解建1~(2-吸引子的存在性,1)~(2)

2

,))引理1 假设g∈H(中平移有界,且式(成立,则随机动力系统φ有闭R;H)3~(5oc(g0)g0于Ll

,对所有的u0∈D(和t≥T,有ω)g∈H(g0)其中B(定义为ω)

}的一致DH即对每个D∈DH和ω∈Ω,存在T=T(使得对每个-吸收集B={B(ω)D,ω)>1,ω∈Ω∈DH,

,),t,ϑ-tω,H(D(ϑ-tω)⊂B(ω)g0)φ(

2

)给出的缓增随机变量。C和η(z(ω)为式(8g)为正常数,

n)中用v和式()作内积,得证明 在L2(R11

B(ω)‖u‖≤C=u∈DH:

∫

0

-∞

λsp1

ez(ϑω)ds+C||t

g0)η(

ω)+z(+1λ-1

1-e

,

()14

1d‖v(t,ω,v0)‖2+λ‖v‖2+γ‖ㄊv‖2=g,2dt138

,()广西师范大学学报(自然科学版)2020,382

-

)v+hz(ϑω)vdx=

∫f(

)())z(ϑω)v+hz(ϑω)dx+f(z(ϑω)hz(ϑω)dx≤-f(

∫v+h∫v+hx+βx+αz(ϑω)x+cz(ϑω)x≤-α|d|d

∫|u|d∫|u|d∫|u||h∫|h-nR

)、()和Y对上式进行逐项估计,应用式(并由p>2,得35oung不等式,

1

))))v+hz(ϑω)vdx-a(v+hz(ϑω)vdx+t)z(ϑω)Δh(x)vdx。(15+γf(g(∫f(∫x)∫(

nR

1tnR

2tnR

ttnR

1ttnR

1tt1

p12

n)≤u‖p‖u‖α1‖u‖phz(ϑω)‖pchz(ϑω)‖L1(-α1‖+1t1‖tRp+p+C‖p+β2)、()可得同理,应用式(45

2

nR

1

nR

2

3

1p-

nR

t1

nR

t1)。n)v‖pv‖2+2hz(ϑω)‖2+C(‖hz(ϑω)‖phz(ϑω)‖L1(-α1‖1‖1‖tttRp+2p+‖ββ2-t()16

)x)v+hz(ϑω)vdx=f(

∫a(

)())v+hz(ϑω)v+hz(ϑω)dx+a(v+hz(ϑω)hz(ϑω)dx≤-a(f(f(

∫x)∫x)

u|dx+βa(dx+αa(u||hz(ϑω)x+ca(hz(ϑω)x≤-αa(|||d||d

∫x)∫x)∫x)∫x)

1)。()x)u|dx+α‖v‖+C(‖hz(ϑω)‖+‖hz(ϑω)‖-αa(|+117∫4nRnR

2ttnR

2tt2

pnR

2

nR

4

1p-

nR

t2

nR

t2

pnR

1

pptpptn)L1(R

注意到

)~()可得令λ1=由式(λ-21518β1,

∫

R

()t)z(ϑω)Δh(x)vdx≤+γtg(nλ-2β1

‖v‖2+C‖g‖2+C‖Δhz(ϑω)‖2。t2

()18

nnp(n))∩W2,),由h(得x)∈H2(RR∩L1(R

n)+1)。C‖g‖2+C(‖hz(ϑω)‖2+‖hz(ϑω)‖phz(ϑω)‖2+‖hz(ϑω)‖L1(ttttRp+‖Δ

α1d‖v‖2+λ1‖v‖2+2γ‖ㄊv‖2+‖v‖pp≤dt2()19

λt1)两边同乘e,对式(将ω和g分别替换成ϑ-并在(得20ω和θ-0,t)上积分,ttg,

α1d2p)。‖v‖2+λ1‖v‖2+2γ‖ㄊv‖2+‖v‖pz(ϑω)||+1tg‖+C(p≤C‖

dt2‖v(t,ϑ-ω,θ-v0)‖2+2γttg,e

λt-1

()20

,因为v0∈D(由D的缓增性,存在T=T(使得ϑ-ω)ω,D)>1,t‖v(t,ϑ-ω,θ-v0)‖2+2γttg,

t0

(-λt)1s‖v0‖+C2

∫∫

)1+Ces-t)‖ds+Cez(ϑω)ds≤||+1

∫‖g(∫(Cs)‖ds+Cϑω)s+C≤|d∫e‖g(∫e|z(

g)η(

Ce|z(ϑω)dsC|+ +1 。∫1-e

t∫

t0

e

(-λt)1s‖g(s-t)‖ds+C∫

t0

e

(-λt)1sα1

‖ㄊv(s)‖2ds+

2

∫

t0

(-λt)p1s()ez(ϑω)ds。||+1st-

∫

tsλt-1se‖v‖ps≤pd(

)

()21

α1(-λt)1se‖ㄊv(s)‖2ds+02

t0

(-λt)1stsλt-1se‖v‖ps≤pd(

)

st-

p0

-∞

λs1

0

-∞

λs1

sp0

-∞

λs1

sp0

λ-1

()22

://httxuebao.xnu.edu.cnpg

139

)知结论成立。证毕。 由式(13

关于初值u0,和u0,则对任意ω∈Ω,有gg的解,n2

,)))引理2 假设g∈H(中平移有界,式(成立。令ugn和u分别是式(R;H)351~(oc(g0)g0于Ll22

2(;)。‖ugn-u‖2≤C‖u0,0,gn-g‖Llgg‖+C‖n-uocRH)对应于gn和g的解,证明 令vgn和v分别为方程(令ξ=则11vgn-v,

1d

‖‖2+λ‖‖2+γ‖ㄊ‖2=ξξξ2dt-nR

()23

)和Y)右边第1项可估计为由式(式(3oun24g不等式,

-nR

))v+hz(ϑω)v+hz(ϑω)dx--f(ξ∫f(()))))x)v+hz(ϑω)v+hz(ϑω)dx+x,t)x,t)dx。(24-f(-g(f(g(ξξ∫a(∫(

1

gnt1tnR

2

gnt2tnR

n)和Y)右边第2项可估计为其中0<θ<1。由式(式(4oun24g不等式,

-nR

))v+hz(ϑω)v+hz(ϑω)dx=-f(f(ξ∫(

)())θ(v+hz(ϑω)1-θ)v+hz(ϑω)x≤C‖-f+(ξdξ‖,∫'(

1

gnt1tnR

1

gntt22

()25

)右边第3项可估计为其中0<θ<1。式(24)~(),由式(可得2427

2

n)‖‖,C‖a(x)‖L∞(Rξ()))x)v+hz(ϑω)v+hz(ϑω)dx=-f(f(ξ∫a(

)())'(θ(v+hz(ϑω)1-θ)v+hz(ϑω)x≤-a(+(fξd∫x)

2

ηt2tnR

2

ηtt2

()26()27()28()29

∫

nR

22

()。x,t)x,t)dx≤C(‖-g(gn(ξξ‖+‖gn-g‖)

用G可得ronwall不等式,

d

‖‖2≤C‖‖2+C‖gn-g‖2。ξξdtCt)‖t)‖2≤e‖0‖2+Cξ(ξ(

证毕。

**

,())任意ε>0,存在T*=使得式(ω∈Ω,TBω,ε)R*(ω,ε)12>0和R=>0,~(g∈H(g0)g0,g0,

2,)),引理3 假设g∈H(中平移有界,且式(成立。令u0∈B(则对R;H)35ω)~(oc(g0)g0于Ll

∫

t0

‖gn-g‖2ds。

)一致成立。的解u(对任意t≥T*,式(t,ω,u0)满足:k≥R*,30g,

2

x||n))则存在一个正常数C,使得对任意s∈R,有|与ρ上做内积'(s)11v在L2(R|≤C。将式(ρ2

k+

+

,证明 令ρ为R上的光滑函数,且对任意s∈R有0≤ρ(s)≤1,

0, 0≤s≤1,

()ρs=

1, s≥2。

∫

x||≥R*

u(t,ϑ-ω,θ-u0)dx≤ε。|ttg,()30()31

可得

2

1d|x|2

v|dx+λ|ρ2n2dtRk∫ ∫ 2

|x|2

v|dx-γ|ρ2nRk ∫2

x||(Δv)vdx=ρnRk2

140

,()广西师范大学学报(自然科学版)2020,382

2

|x|(()()())vdx+-nf1u+axf2uρRk2

)逐项进行估计。首先有下面对式(32

∫

注意到

x|x||x|2γ|ㄊv|ρdx+γv'x=ρ k ∫ k k·ㄊvd∫

x|x||x|2γ|ㄊv|ρdx+γv'x。ρ k ∫ k k·ㄊvd∫

2

|x|()vρvdx=-γnΔ

Rk2

2

2

∫

nRnR

∫

2

|x|(()())hzϑωρvdx。tgt+γnRk2

()32

2

2

nR

22

2

22

2

k≤|xk|≤222

()33

2

x22γ|x|2

·ㄊγv'vdx|≤|ρ22

k≤|xk|≤2kkk)~(),由式(可得3334

Ck∫

∫

nR

v‖ㄊv|dx≤|

C(。‖v‖2+‖ㄊv‖2)k∫2

|x|

v‖'‖ㄊv|dx≤|ρk≤|xk|≤2k2

()34()35

2

x||Δv)vdx≥γ-γn(ρRk2

对于非线性项部分有

)~()的推导,)~()可得如同式(并应用式(161735

)右边最后部分,考虑式(有32

∫

C|x|)C(hz(ϑω)hz(ϑω)hz(ϑω)dx+。||+||+||ρ k k∫

1-α1

4nR

2

x||)u)x)u)vdx≤-n(+a(f1(f2(ρRk2

x|x|||()(()()())()u)x)u)udxuaxuz(ϑω)dx。-+a(++f(f(ff36ρρ k ∫ k h∫

2x||)u)x)u)vdx≤-n(+a(f1(f2(ρRk2

2

∫

∫

∫

2

2

C|x|(。ㄊvdx‖v‖2+‖ㄊv‖2)||-ρ2nRkk2

nR

2

nR

1212

2

t∫

∫

2

|x|

v|ρdx-α2|nRk2

pt p

t2

∫

2

x||

a(x)u|ρdx+2|β1nRk2

p2

|x|

v|ρdx+|nRk2

2

t2

2

()37

∫

2

x||()t)hz(ϑω)vdx≤+γtg(ρnRk2

)~()可得由式(3238

λ-2β1

2

2

d|x|2

v|dx+λ1|ρ2ndtRk2

2

)在(,对式(得39T1,t)上用Gronwall不等式(T1>T)

2

x|C|))Cn(hz(ϑω)hz(ϑω)hz(ϑω)hz(ϑω)dx+。(|Δ|+||+||+||tttt39ρ2

Rkk2

C|x|(‖v‖+‖ㄊv‖)x++Cρ∫ k |g|dk2

∫

∫ 2

|x|2

v|dx+C|ρ2nRk

∫ nR

∫

2

|x|222

(()())hzϑω|ρdx。|gt|+γ|ΔtnRk2

2|x|2

v|dx≤|ρ2nRk2

()38

∫

p2

∫ e

2

|x|2

v(t,ω,v0)x≤||dg,ρ2nRk2

1

0

λT1-t)1(

Ck∫

tT1

e

|x||x|,v(T,ω,v)dx+Ces)xds+|||dgρρ∫ k ∫∫ k |g(

nR

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141

2

2

tT1

(-λt)1s2

nR

2

2

(-λt)1s(‖ㄊv(s,ω,v0)‖2+‖v(s,ω,v0)‖2)ds+Cg,g,

用ϑ-对所有的t≥T1,有ω和θ-ttg代替ω和g,

2

C|x|2p()()())。hzϑω|+hzϑω|+hzϑω|ρdxds|||+ssskk2

∫

e

2

|x|2

v(t,ϑ-ω,θ-v0)x≤||dttg,ρ2nRk2

1

0

(λt)1T1-

Ck2λ∫

tT1

ee

|x|

T,ϑω,θg,v)x+|dρ∫ k |v(

nR

2

∫

tT1

λt-1se(

∫

)

nR

2(hz(ϑω)|Δ|+s()40

2

t-t-

λst)-1(

∫

tT1

(-λt)1s)中右边各项进行估计。首先对右边第1项,下面对式(由引理1,存在T2>T1,使得对t≥T2,有41

e

(λt)1T1-

2

x|C|)hz(ϑω)hz(ϑω)hz(ϑω)dxds+。||||+||ststst---ρ2

kk∫

p‖ㄊv(s,ϑ-ω,θ-v0)‖2ds+ttg,

2

|x|2

s-t)xds+C|g(|dρ2nRk2

Ck∫

t∫

tT1

(-λt)1se‖v(s,ϑ-ω,θ-v0)‖2ds+ttg,

(λt)1T1-(Ce

∫ ∫

0

2

|x|2

v(T1,ϑ-ω,θ-v0)x≤||dttg,ρ2nRk)可得,对于第2项,由式(存在R1>0,当k≥R1,22t≥T2时,

g0)η(λsp1())≤ε。ezϑωds1||+sλ-1+-∞1-e

T1

λt-1se(

∫

)

nR

2(hz(ϑω)|Δ|+st-

()41

()42

Ck同样,对于第3项,存在R2>0,使得对k≥R2,有k充分大,t≥T2时,

∫e

tT1

λst)-1(

‖ㄊv(s,ϑ-ω,θ-v0)‖2ds≤ttg,

g0)C0λ1η(p(es|)≤ε。()z(ϑω)ds+143|sλ-1+k-∞1-e

∫

Ck2

,由g(第4项估计为:存在R3>0,当k≥R3,有x,t)∈LlR;H)t≥T2时,oc(

∫

ttT1

T1

λt-1se‖v(s,ϑ-ω,θ-v0)‖2ds≤ttg,(

)

g0)C0λ1η(p(es|)≤ε。()z(ϑω)ds+144|sλ-1+k-∞1-e

2λnnp(n))∩W2,),由h(存在R4>0,当k≥R4时,有x)∈H2(RR∩L1(R

∫e∫

(-λt)1s2

2|x|2

()stdxds|-|=gρ2nRλk)右边第5项,同样,对式(有41

CCεCε∫e∫

t∫

∫

∫e∫

0

T1-tλs1

2

|x|2

)s)xds≤ε。(45|g(|dρ2nRk

x||≥k22p()h(x)h(x)h(x)h(x)dx≤ε。||+|Δ|+||+||()46

∫

tT1

(-λt)1s2

|x|22p(()()()())hzϑω|+hzϑω|+hzϑω|+hzϑω|ρdxds≤|Δ|||stststst----nRk2

,,令R*=m对k≥R*,有ax{R1,R2,R3,R4}T*=max{T1,T2}t≥T*,

∫

0

T1

(-λt)2p1s()ez(ϑω)z(ϑω)z(ϑω)ds≤||+||+||ststst---

T1-tλs2p1()ez(ϑω)z(ϑω)z(ϑω)ds≤Cε。||+||+||sss()47

142

即

故

∫

∫ ,()广西师范大学学报(自然科学版)2020,382

2

|x|2

v(t,ϑ-ω,θ-v0)x≤Cε,||dttg,ρ2nRk

2

()48()49

2

x||2

v(t,ϑ-ω,θ-v0)x≤nv(t,ϑ-ω,θ-v0)x≤ε。||d||dttttg,g,ρ2

xkR||≥2k证毕。

∫2∫2∫

x||≥R2

,u(t,ϑ-ω,θ-u0)dx=||ttg*

x||≥R*

∫

v(t,ϑω,θg,u)x+2||d

∫

x||≥Rt-t-0

2

∫

2

,v(t,ϑ-ω,θ-u0)h(x)z(ω)dx≤|+|ttg*

2

h(x)z(ω)x≤||d

x||≥R*

x||≥R*

22

v(t,ϑ-ω,θ-u0)x+2ε·z(ω)ε。||d||≤4ttg,()50

4 一致随机吸引子的存在性

2n)上一致DH,,即对ω∈Ω,当t序列R-拉回渐近紧的,u0,ϑ-ω)n→∞,n∈B(tg∈H(g0)nφ在L(

n{}在L2()上有收敛子序列。tϑ-ω,θ-u0,Rn,ttn)g,nnφ(

2

,))引理4 假设g(中平移有界,且式(成立,则随机动力系统x,t)R;H)35∈H(~(oc(g0)g0于Ll

]中引理2.如同文献[184的证明即得。

))证明 由引理2知,式(的解关于初值L应用引理1~3及A12ischitz连续,ubin-Lions定理,~(p

2

,)))定理1 假设g∈H(中平移有界,且式(同时成立,那么由式(对应R;H)351~(oc(g0)g0于Ll

的非自治随机动力系统φ存在唯一的一致DH-吸引子A∈DH。

证明 由引理1及引理3,并应用定义6即得结论成立。

参 考 文 献

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(责任编辑 吴佃华)