E （2）问题解决 A 》
保持（1）中的条件不变，若DC＝2DF，求（3）类比探究
保持（1）中的条件不变，若DC＝n·DF，求
|
D F
AD的值；
ABAD的值． ABB G C
>
,
2．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB＝75º，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上． （1）求∠AED的度数； （2）求证：AB＝BC； ]
（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC＝30º．
求 DF
FC 的值．
&
`
A D
E
$
图1
C A D
F
E
B 图2
C
3.如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．AD＝2cm，BC＝6cm，AE＝4cm．点P、Q分别在线段AE、DF上，顺次连接B、P、Q、C，线段BP、PQ、QC、CB所围成的封闭图形记为M．若点P在线段AE上运动时，点Q也随之在线段DF上运动，使图形M的形状发生改变，但面积始终为10cm2．设EP＝x cm，FQ＝y cm，解答下列．．问题： …
（1）直接写出当x＝3时y的值；
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当x取何值时，图形M成为等腰梯形图形M成为三角形 （4）直接写出线段PQ在运动过程中所能扫过的区域的面积． A D
P
Q
B C B
E F
|
图①
—
A D
E
!
C
（备用图）
·
>
4．如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A1B1C1．
A A1 ）
C C1
B
图 ①
B1
（1）将△ABC，△A1B1C1如图②摆放，使点A1与B重合，点B1在AC边的延长线上，连接CC1交BB1于点E．求证：∠B1C1C＝∠B1BC．
￥ B (A1)
C1 E C A B1
图 ②
（2）若将△ABC，△A1B1C1如图③摆放，使点B1与B重合，点A1在AC边的延长线上，连接CC1交A1B于点F．试判断∠A1C1C与∠A1BC是否相等，并说明理由．
$ (B) 1
C1
F
！
C A A1
图 ③
《
；
5．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝23，P是AC上的一个动点． （1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长； :
（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；
（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上求出此时□DPBQ的面积．
D C
—
/
A B
）
'
6．如图1，已知长方形ABED，点C是边DE的中点，且AB＝2AD． （1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）保持图1中ABC的固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系并给予证明；
（3）保持图2中△ABC的固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系并给予证明．
N N
E ： C C | D M D E
|
A 图1
B
（ 图2
B
A D M 图3
B
（
$
7．如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠BAD＝120°，∠MAN＝60°，将图1中的∠MAN绕点A按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜120°），边AM、AN分别交直线BC、CD于E、F两点．
（1）当0°＜α≤60°时，其他条件不变，如图2、如图3所示．
①如图2，判断线段BE、DF、EF的数量关系，并直接写出结论；
②如图3，①中的结论是否依然成立若成立，请利用图3证明；若不成立，说明理由． （2）当60°＜α＜120°时，其他条件不变，请在图4中画出一个符合条件的图形，直接写出．．所画图形中线段BE、DF、EF的数量关系．
A
!
&
A D
B M 图1 A N D F
~
C B
,
F
E M
图2 A
D
$
N
N
E M 图3
C
B
图4
C
!
）
8．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．
（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF＝CD； （2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比； （3）若点D是BC边的任意一点（除B、C外如图②），那么，（1）中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
A A ；
》
E
F F E B D 图①
C
B D 图②
！
》
(
9．如图1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＜AB＜2BC．在AB边上取一点M，使AM＝BC，过点A作AD⊥AB且AD＝BM，连接DC，再过点A作AN∥DC，交直线CM、CB于点E、N． （1）求证：∠AEM＝45°； （2）若将题中的条件“BC＜AB＜2BC”改为“AB＞2BC”，其它条件不变，请在图2中画出图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请猜想∠AEM的度数，并说明理由． #
、
C
D E A
M 图1
N B
A
图2
B
^
>
》
10．在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．
（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数； （2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝QD，请直接写出α的范围．
A
A M (P) M B 、 P
Q Q
C C
，
图1
《
图2
）
。
11．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F为线段AD的中点，连接CF．
（1）如图1，当点D在BC边上时，BE与CF的数量关系是____________，位置关系是____________，请证明；
（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明；
% A
F
F E E
D
B 、 C B C
·
图1 图2
$
.
12.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
】￥A D
G B F 第24题图①
C
G D
:
E
F B 第24题图②
C
]
13. 如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB4，BC6，∠B60. ！
（1）求点E到BC的距离； （2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EPx. ①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.
N A A A D D D
N
P P F F F E E E
C B C B C B
M M
图1 图2 图3
（第25题） A D A D
F E F E
B
图4（备用）
C
B
图5（备用）
C
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