《电磁场与电磁波》课后习题解答(第一章)[1]

【习题1.1解】

矢径r与x轴正向的夹角为a，则cos2a=x2x2+y2+z2y2x2+y2+z2同理，矢径r与y轴正向的夹角为b，则cos2b=矢径r与z轴正向的夹角为g，则cos2g=222z2x2+y2+z2

x2y2z2可得cosa+cosb+cosg=2+2+22222x+y+zx+y+zx+y2+z2x2+y2+z2=2=122x+y+z从而得证【习题1.2解】

AB（ex9eyez）（2ex4ey3ez）3ex13ey2ezA－B（ex9eyez）(2ex4ey3ez)ex5ey4ezAB(ex9eyez)(2ex4ey3ez)236335exeyez AB(ex9eyez)(2ex4ey3ez)191231ex5ey14ez【习题1.3解】

43Aebece,Be3e8e已知xyzxyz,

（1）要使AB，则须散度 AB0

所以从 AB13b8c0可得：3b8c1

即只要满足3b+8c=1就可以使向量和向量垂直。

（2）要使AB，则须旋度 AB0

所以从

AB11exeyb3ezc(8b3c)ex(8c)ey(3b)ez0 8可得 b=-3，c=-8 【习题1.4解】

已知A12ex9eyez，Baexbey，因为BA，所以应有AB0

 即 12ex9eyezaexbey12a9b0 ⑴

22 又因为 B1; 所以ab1； ⑵

34 由⑴，⑵ 解得 a,b

55【习题1.5解】由矢量积运算规则

B=A?Cexeyeza1a2a3=(a2z-a3y)ex+(a3x-a1z)ey+(a1y-a2x)ez取一线元：dlexdxeydyezdz

则有

xyz=Bxex+Byey+BzezB?dlexeyezBxByBz=0

dxdydz则矢量线所满足的微分方程为

dxdydz BxByBzdxdydz＝k(常数) 或写成

a2za3ya3xa1za1ya2x求解上面三个微分方程：可以直接求解方程，也可以采用下列方法

d(a3z)d(a1x)d(a2y)k （1）

a1a2za1a3ya2a3xa1a2za1a3ya2a3xxdxydyzdzk （2）

x(a2za3y)y(a3xa1z)z(a1ya2x)由（1）（2）式可得

d(a1x)k(a1a2xa1a3y)

d(a2y)k(a2a3xa1a2z) （3） d(a3z)k(a1a3ya2a3x) xdxk(a2xza3xy)

ydyk(a3xya1yz) （4） zdzk(a1yza2xz)

对（3）（4）分别求和

d(a1x)d(a2y)d(a3z)0 d(a1xa2ya3z)0

xdxydyzdz0 d(x2y2z2)0

所以矢量线方程为

a1xa2ya3zk1

x2y2z2k2

【习题1.6解】

222已知矢量场A(axzx)ex(byxy)ey(zzcxz2xyz)ez 若 A是一个无源场 ，则应有 divA=0 即： divA=AAxAyAz0 xyz因为 Axaxzx2 Aybyxy2 Azzz2cxz2xyz 所以有

 divA=az+2x+b+2xy+1-2z+cx-2xy =x(2+c)+z(a-2)+b+1=0

得 a=2, b= -1, c= - 2 【习题1.7解】

设矢径 r 的方向与柱面垂直，并且矢径 r到柱面的距离相

等（r＝a）

所以，srdsrds＝adsa2ah

ss2a2h

【习题1.8解】

22已知3xy,Axyzey3xyez

2而 rot(A)(A)AA

exAx0eyez22(6xyxy)ex3yey2xyzez yzx2yz3xy2222A3xy[(6xyxy)ex3yey2xyzez]

2eyez6xyex3xey 又exxyzexeyez2322332A6xy3x09xyex18xyey6xyzez

220xyz3xy所以

222rot(A)AA3xy[(6xyxy)ex3yey2xyzez] 322332+9xyex18xyey6xyzez

222 =3xy[(9xx)ex9yey4xzez]

【习题1.9解】

222yy)ze(2xzy 2)ze已知 A(y2xz)xe(2xz所以

eeexyzAAAyAAAyxxzzrotAAexezeyxyzyzxyzxAxAyAz11ex4xz4xzey(2y2y)ez0由于场A的旋度处处等于0，所以矢量场A为无旋场。

【习题1.10解】

令ln(x2y2z2)=C,x2y2z2=ec，ec=1+4+9=14 因此C＝ln14

x2y2z2＝14为等值面方程

【习题1.11解】

求函数=3x2y3在点M(2,3)处沿曲线y=x1朝x增大一方的方向导数 解:

2|M6xy|(2,3)36 x

|M3x23y2|(2,3)15 y2在L取一点(x,y) y=x-1(x2) 沿L的方向的方向余弦为: x2 cosxx222l(x2)(y3)1x4x5x2x4x522

cosyy322l(x2)(y3)

因为l0则(x,y) (2,3) 所以cos14 cos 1717又因为

24coscos= lxy17【习题1.11解2】

22求函数=3xy在点M(2,3)处沿曲线y=x1朝x增大一方的方向导数

2曲线y在M点沿所取方向的切线斜率为：

y'M2xM4

所以 tg4 因此，方向余弦为

cos11tg417

2117

cos6xy23 x3x22y6 y所以所求的方向导数为

coscoslxy

36M11764176017

【习题1.12解】

标量场1 r该标量为一个以直角坐标系的O点为球心的球面

求切平面的方程

111neeez xy该平面的法线向量为

333根据平面的点法式方程，得平面方程为

111111(x)(y)(z)0 333333整理，得：xyz【习题1.13解】

3 coscoscosxyz(y2yz)cos(2xyxz)cos(2zxy)cos121(112)(21112)(2211)

222120321【习题1.14解】

矢量A的方向余旋为

cosyz/（yz)2(xz)2(xy)223 cosxz/（yz)2(xz)2(xy)213

cosxy/（yz)2(xz)2(xy)223

满足题意方向导数：

ulAxcosycoszcos6xycos(3x23y2z2)cos(2y3z)cos173

【习题1.15解】

2M

coscoscoslxyzl9又cosxl314(51)2(41)2(192)2lyl41(51)2(41)2(192)23314coscoslz19217l314(95)2(41)2(192)21731431712351314314314123。31443yzxzxyl31431441252lM0314即函数xyz在点（5,1,2）处沿着点（5,1,2）到点（9，4,19）的方向导数为

【习题1.16解】

gradexeyezxyz

(2xy3)ex(4yx2)ey(6z6)ez所以

grad(0,0,0)3ex2ey6ez

grad

(1,1,1)6ex3ey

【习题1.17解】

uuu(1)证：graduexeyezxyzvvvgradvexeyezxyz(uv)(uv)(uv)gradugradvexeyezxyzgrad(uv)(v)(v)(v)(2)证:grad(v)exeyezxyz

vvv(v)ex(v)ey(v)ezxxyyzzvgradgradvuuu2(3)证：grad(u)2uex2uey2uezxyz2u.gradu

【习题1.18解】

（1） 证明（A+B）=

（eX=

+ey+ez)(AxeXxzy)

AeAeBeBeBeyyzzxxyyzz(AxBx)(AyBy)(AzBZ) xyz=（

AXxAyyAzz)+（

BxxByyBzz)

=AB 得证

(2)(A)(eXeyez)(A)

xyz =e(A)ey(A)ez(A) XxyzAAAA)ey(A) =ex(A)+ez(xxzzyy =(AxAyAzexeyez)A(eeyez)

Xxyzxyz =AA

得证

【习题1.19解】

rxyz证明：（1）（3）rxr3yr3zr3xxr3xx(xyz)22322(xyz)3x(xyz)(x2y2z2)3y22322222322222122y同理可得：3yryzzr3z(x2y2z)z322(xyz)3y(xyz)(x2y2z2)332212222122(xyz)22322(x2y2z)3z2(x2y2z)(x2y2z2)3312xyzx122222222223(xyz)3(xyz)(xyz)xr3yr3zr3xr3(x2y2z2)30(2)(rrn)x(x2y2z2)2y(x2y2z2)2z(x2y2z2)2xyz(x2y2z)n3(xyz)n(xyz)2(n3)r(xy2z2)22222n22n22nnn

【习题1.20解】 已知所以

r(xyz)22212rxexyeyzez

(1)r(exeyez)(xexyeyzez)exyzxeyezxyzxyzezyxzyxx(yz)ey(zx)(ezxz)0000(2)r(exexyeyzezxrxeyyezz)1(x2y2z2)2exeyezxyzxyz111(x2y2z2)2(x2y2z2)2(x2y2z2)2(zy3-zyxz3)ex(3(x2y2z2)2(x2y2z2)2(x2y2z2)2(xy-xy33)ez(x2y2z2)2(x2y2z2)20000 -xz3)ey(x2y2z2)2xexyeyzezr(3)[f(r)](exeyez)[f(r)]1rxyz(x2y2z2)2exxxf(r)(x2y2z)(((zyf(r)(x2y2z)xz(x2y2z)xy322122eyyyf(r)(x2y2z)122ezzzf(r)(x2y2z)-zy(x2y2z)-xz(x2y2z)-xy322122zyf(r)222xyzxzf(r)222xyzxyf(r)222xyzyzf(r)2)ex22xyzxzf(r)2)ey22xyzxyf(r)2)ez22xyz322322

(x2y2z)0-0+00322(x2y2z)322

【习题1.21解】

【习题1.22解】

证明：令

则 左边=

=

又由题得

= =

同理有

=

故 等式右边 = —

= —

ABB=

故左边=右边，得证

【习题1.23解】

由散度定理得：（XZ2）（X2YZ3）（2XY+Y2Z） I=]dVV[xyZ222 =（XYZ）dVV2 3ZdVVa =(3Z2a23Z4)dV0

35a =(ZaZ)|0525 =a532

【习题1.24解】

E(E)(E)2H(H)(H)1E1()(E)()21H()ct2111E1E(H)()2ctctctct2

ct211H1H2ctctct2ct证毕。

【习题1.25解】 由题意可知：

() 左=(v)(exeyez) =xxz =[ex()+ey()ez()] xxyyzz2 =()

=+ =222 即证 【习题1.26解】

222zz2e（1）解：2=－sinx sinye ＝－ sinx siny 2xy2z2e = sinx siny 2z 2＋2＝2；

2222＋2＋ 2＝－（2＋2－2）sinx sinyez＝0； xzy满足拉普拉斯方程。

（2） 解：在圆柱形坐标中，拉普拉斯算子可表示为：

1122(r)2(2)2

rrrrz2

1(r)＝－n2rn2cosn rrr122n2 2(2)＝nrcosn r2＝0； z21122(r)2(2)2＝0 ；

rrrrz2满足拉普拉斯方程；

【习题1.27解】

解

【习题1.28解】

证明：在球面坐标下，拉普拉斯算子表示式为：112122=2(R)2(sin2)2RRRRsinRsin21(R,,)ekRR122(R2)RRR11k2[R2(2ekRekR)]RRRR12(ekRkRekR)RR12(kekRkekRk2RekR)Rk2kR eR2【习题1.29解】

证明:A为调和场,即无源又无旋场,则需满足以下条件:  A0;A0 而 =exeyezxyzyzzxxyA =yzex+zxey+xyezeyez0exxyzxyzxyzxyzxyAyzex+zxey+xyezexeyezex()ey()yzyzzxxzxzyez()0xy所以A为调和场.A=-yzex+zxey+xyezexeyezxyzzy;zx;xyxyz可得:xyzC