数 学
（满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1．2的相反数是（ ） A．﹣2 B．﹣
C．
D．2
2．如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（ ）
A． B． C． D．
3．要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．中央电视台《开学第一课》的收视率 B．某城市居民6月份人均网上购物的次数 C．即将发射的气象卫星的零部件质量 D．某品牌新能源汽车的最大续航里程 4．如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ） A．100° B．110° C．120° D．130°
5．电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（ ）
A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B 6．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
7．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根
8．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．500（1+2x）＝7500 B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500 D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（ ） A．（
，2） B．（2，2） C．（
，2） D．（4，2）
1
的图象上，则y1，y2，y3的大
10．如图，在△ABC中，AB＝BC＝的面积为（ ） A．6
，∠BAC＝30°，分别以点A，C为
圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD
B．9 C．6 D．3
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．请写出一个大于1且小于2的无理数 ． 12．已知关于x的不等式组
其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则
这个不等式组的解集为 ．
13．如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是 ． 14．如图，在边长为2
的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中
点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
15．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交
于
点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16．（8分）先化简，再求值：（1﹣
）÷
，其中a＝
+1．
17．（9分）为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋500g，与之相差大于10g为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：
[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位：g）如下： 甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 502 503 498 497 491 500 505 502 504 505 乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 502 503 501 490 501 502 511 499 499 501 [整理数据]整理以上数据，得到每袋质量x（g）的频数分布表．
质量 频数
485≤x＜490 490≤x＜495 495≤x＜500 500≤x＜505 505≤x＜510 510≤x＜515
2
机器 甲 乙
2 1
2 3
4 5
7 7
4 3
1 1
[分析数据]根据以上数据，得到以下统计量．
统计量 机器 甲 乙
平均数 499.7 499.7
中位数 501.5 a
方差 42.01 31.81
不合格率
b 10%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a＝ ，b＝ ；
（2）综合上表中的统计量，判断工厂应选购哪一台分装机，并说明理由．
18．（9分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．
（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，
≈1.41）；
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
19．（9分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．
（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义； （2）求打折前的每次健身费用和k2的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
20．（9分）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是
3
数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．
使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B， ． 求证： ．
21．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及点G的坐标；
（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围． 22．（10分）小亮在学习中遇到这样一个问题： 如图，点D是上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度． 小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整： （1）根据点D在表的几组对应值． BD/cm CD/cm FD/cm
0 8.0 8.0
1.0 7.7 7.4
2.0 7.2 6.9
3.0 6.6 6.5
4.0 5.9 6.1
5.0 a 6.0
6.0 3.9 6.2
7.0 2.4 6.7
8.0 0 8.0
上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下
操作中发现：
4
①“当点D为的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是 ；
②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．
（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为yCD和yFD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数yCD的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．
23．（11分）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．
（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为 ，连接BD，可求出为 ；
（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，
①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出
的值．
的值
答案与解析
5
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1．2的相反数是（ ） A．﹣2 B．﹣
C．
D．2
【知识考点】相反数．
【思路分析】利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案． 【解题过程】解：2的相反数是﹣2． 故选：A．
【总结归纳】此题主要考查了相反数的概念，正确把握定义是解题关键． 2．如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（ ）
A． B． C． D．
【知识考点】简单几何体的三视图．
【思路分析】分别确定每个几何体的主视图和左视图即可作出判断．
【解题过程】解：A、主视图和左视图是长方形，一定相同，故本选项不合题意； B、主视图和左视图都是等腰三角形，一定相同，故选项不符合题意； C、主视图和左视图都是圆，一定相同，故选项不符合题意；
D、主视图是长方形，左视图是可能是正方形，也可能是长方形，故本选项符合题意； 故选：D．
【总结归纳】本题考查了简单几何体的三视图，确定三视图是关键． 3．要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．中央电视台《开学第一课》的收视率 B．某城市居民6月份人均网上购物的次数 C．即将发射的气象卫星的零部件质量 D．某品牌新能源汽车的最大续航里程 【知识考点】全面调查与抽样调查．
【思路分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解题过程】解：A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率，适合抽查，故本选项不合题意； B、调查某城市居民6月份人均网上购物的次数，适合抽查，故本选项不合题意；
C、调查即将发射的气象卫星的零部件质量，适合采用全面调查（普查），故本选项符合题意； D、调查某品牌新能源汽车的最大续航里程，适合抽查，故本选项不合题意． 故选：C．
【总结归纳】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 4．如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
6
A．100° B．110° C．120° D．130° 【知识考点】平行线的性质．
【思路分析】根据平行线的性质即可得到结论． 【解题过程】解：∵l1∥l2，∠1＝70°， ∴∠3＝∠1＝70°， ∵l3∥l4，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°， 故选：B．
【总结归纳】此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补．
5．电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（ ） A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B 【知识考点】同底数幂的乘法． 【思路分析】列出算式，进行计算即可．
【解题过程】解：由题意得：210×210×210B＝210+10+10＝230B， 故选：A．
【总结归纳】本题考查同底数幂的乘法，底数不变，指数相加是计算法则． 6．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 【知识考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【思路分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论． 【解题过程】解：∵点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y＝﹣∴y1＝﹣
的图象上，则y1，y2，y3的大
的图象上，
＝6，y2＝﹣＝﹣3，y3＝﹣＝﹣2，
7
又∵﹣3＜﹣2＜6， ∴y1＞y3＞y2． 故选：C．
【总结归纳】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
7．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【知识考点】实数的运算；根的判别式．
【思路分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案． 【解题过程】解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0， ∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， 故选：A．
【总结归纳】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型． 8．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．500（1+2x）＝7500 B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500 D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500 【知识考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【思路分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解题过程】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x， 由题意得：5000（1+x）2＝7500， 故选：C．
【总结归纳】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（ ）
8
A．（，2） B．（2，2） C．（，2） D．（4，2）
【知识考点】正方形的性质；坐标与图形变化﹣平移．
【思路分析】根据已知条件得到AC＝6，OC＝2，OB＝7，求得BC＝9，根据正方形的性质得到DE＝OC＝OE＝2，求得O′E′＝O′C′＝2，根据相似三角形的性质得到BO′＝3，于是得到结论．
【解题过程】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形， ∵顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）， ∴AC＝6，OC＝2，OB＝7， ∴BC＝9，
∵四边形OCDE是正方形， ∴DE＝OC＝OE＝2， ∴O′E′＝O′C′＝2， ∵E′O′⊥BC，
∴∠BO′E′＝∠BCA＝90°， ∴E′O′∥AC， ∴△BO′E′∽△BCA， ∴∴
＝
＝，
，
∴BO′＝3，
∴OC′＝7﹣2﹣3＝2，
∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为（2，2）， 故选：B．
【总结归纳】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，AB＝BC＝
，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径
作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．6
B．9 C．6 D．3
【知识考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【思路分析】连接BD交AC于O，根据已知条件得到BD垂直平分AC，求得BD⊥AC，AO＝CO，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据等边三角形的性质得到∠DAC＝
9
∠DCA＝60°，求得AD＝CD＝AB＝3，于是得到结论．
【解题过程】解：连接BD交AC于O， ∵AD＝CD，AB＝BC， ∴BD垂直平分AC， ∴BD⊥AC，AO＝CO， ∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°， ∵AC＝AD＝CD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠DAC＝∠DCA＝60°，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°， ∵AB＝BC＝∴AD＝CD＝
， AB＝3，
＝3
，
∴四边形ABCD的面积＝2×故选：D．
【总结归纳】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分）
11．请写出一个大于1且小于2的无理数 ． 【知识考点】估算无理数的大小．
【思路分析】由于所求无理数大于1且小于2，则该数的平方大于1小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．
【解题过程】解：大于1且小于2的无理数是故答案为：
．
，答案不唯一．
【总结归纳】此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 12．已知关于x的不等式组集为 ．
【知识考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
【思路分析】根据关于x的不等式组的解集表示在数轴上表示方法求出x的取值范围即可． 【解题过程】解：∵b＜0＜a， ∴关于x的不等式组
的解集为：x＞a，
其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解
10
故答案为：x＞a．
【总结归纳】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，先根据题意得出不等式组的解集是解答此题的关键．
13．如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是 ．
【知识考点】列表法与树状图法．
【思路分析】用树状图或列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率． 【解题过程】解：自由转动转盘两次，指针所指区域所有可能出现的情况如下：
共有16种可能出现的结果，其中两次颜色相同的有4种， ∴P（两次颜色相同）＝故答案为：
．
＝
，
【总结归纳】考查树状图或列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是解决问题的关键． 14．如图，在边长为2
的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，
点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
【知识考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；射影定理．
【思路分析】方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2
，根据相似三角形的性质得到PD＝CF＝
，根据勾股定理和三
角形的中位线定理即可得到结论．
方法二：设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根据线段中点的定义得到BE＝CF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF
11
⊥CE，根据勾股定理得到CE＝DF＝点，根据射影定理即可得到结论．
＝，点G，H分别是EC，FD的中
【解题过程】解：方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2∵E，F分别是边AB，BC的中点， ∴AE＝CF＝∵AD∥BC， ∴△PDH∽△CFH， ∴
，
×2
＝
，
，
∵H是FD的中点， ∴DH＝FH， ∴PD＝CF＝
，
， ＝
＝2，
∴AP＝AD﹣PD＝∴PE＝
∵点G，H分别是EC，FD的中点， ∴GH＝
EP＝1；
方法二：设DF，CE交于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB， ∵点E，F分别是边AB，BC的中点， ∴BE＝CF，
∴△CBE≌△DCF（SAS）， ∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF， ∵∠CDF+∠CFD＝90°， ∴∠BCE+∠CFD＝90°，
12
∴∠COF＝90°， ∴DF⊥CE， ∴CE＝DF＝
＝
，
∵点G，H分别是EC，FD的中点， ∴CG＝FH＝
，
∵∠DCF＝90°，CO⊥DF， ∴CF2＝OF•DF， ∴OF＝
＝
＝
，
∴OH＝，OD＝，
∵OC2＝OF•OD， ∴OC＝
∴OG＝CG﹣OC＝∴HG＝故答案为：1．
【总结归纳】本题考查了射影定理，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
15．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为 ．
于点D，点E为半径OB上一动
＝
＝﹣
， ＝＝1，
，
【知识考点】弧长的计算；轴对称﹣最短路线问题．
【思路分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．
【解题过程】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′， 由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
13
∴∠COD′＝90°， ∴CD′＝的长l＝
＝
＝，
+
＝
．
＝2
，
∴阴影部分周长的最小值为2故答案为：
．
【总结归纳】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16．（8分）先化简，再求值：（1﹣【知识考点】分式的化简求值．
【思路分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【解题过程】解：＝＝a﹣1， 把a＝
+1代入a﹣1＝
+1﹣1＝
．
）÷
，其中a＝
+1．
【总结归纳】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 17．（9分）为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋500g，与之相差大于10g为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：
[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位：g）如下： 甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 502 503 498 497 491 500 505 502 504 505
14
乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 502 503 501 490 501 502 511 499 499 501 [整理数据]整理以上数据，得到每袋质量x（g）的频数分布表．
质量 频数 机器 甲 乙
2 1
2 3
4 5
7 7
4 3
1 1
485≤x＜490 490≤x＜495 495≤x＜500 500≤x＜505 505≤x＜510 510≤x＜515
[分析数据]根据以上数据，得到以下统计量．
统计量 机器 甲 乙
平均数 499.7 499.7
中位数 501.5 a
方差 42.01 31.81
不合格率
b 10%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a＝ ，b＝ ；
（2）综合上表中的统计量，判断工厂应选购哪一台分装机，并说明理由． 【知识考点】频数（率）分布表；中位数；方差．
【思路分析】（1）根据中位数的计算方法，求出乙机器分装实际质量的中位数；乙机器的不合格的有1个，调查总数为20，可求出不合格率，从而确定a、b的值； （2）根据合格率进行判断．
【解题过程】解：（1）将乙的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是501，因此中位数是501， b＝3÷20＝15%， 故答案为：501，15%；
（2）选择乙机器，理由：乙的不合格率较小，
【总结归纳】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解中位数、众数、平均数的意义是正确解答的关键．
18．（9分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向
15
前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．
（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，
≈1.41）；
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【知识考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【思路分析】（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝16+x，解直角三角形即可得到结论；
（2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法． 【解题过程】解：（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E， 则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形， ∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m， ∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴CE＝AE， 设AE＝CE＝x， ∴BE＝16+x， ∵∠ABE＝22°， ∴tan22°＝
＝
＝0.40，
∴x≈10.7（m），
∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），
答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m； （2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m， ∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3＝0.3m，
减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
【总结归纳】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
19．（9分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示． （1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义； （2）求打折前的每次健身费用和k2的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
16
【知识考点】一次函数的应用．
【思路分析】（1）把点（0，30），（10，180）代入y1＝k1x+b，得到关于k1和b的二元一次方程组，求解即可；
（2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出k2的值；
（3）将x＝8分别代入y1、y2关于x的函数解析式，比较即可． 【解题过程】解：（1）∵y1＝k1x+b过点（0，30），（10，180）， ∴
，解得
，
k1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元， b＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元； （2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元）， 则k2＝25×0.8＝20；
（3）选择方案一所需费用更少．理由如下： 由题意可知，y1＝15x+30，y2＝20x． 当健身8次时，
选择方案一所需费用：y1＝15×8+30＝150（元）， 选择方案二所需费用：y2＝20×8＝160（元）， ∵150＜160，
∴选择方案一所需费用更少．
【总结归纳】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出y1、y2关于x的函数解析式．
20．（9分）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．
17
使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B， ． 求证： ．
【知识考点】数学常识；垂径定理；圆周角定理；切线的性质．
【思路分析】根据垂直的定义得到∠ABE＝∠OBE＝90°，根据全等三角形的性质得到∠1＝∠2，根据切线的性质得到∠2＝∠3，于是得到结论．
【解题过程】解：已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB＝OB，EN切半圆O于F．
求证：EB，EO就把∠MEN三等分， 证明：∵EB⊥AC， ∴∠ABE＝∠OBE＝90°， ∵AB＝OB，BE＝BE， ∴△ABE≌△OBE（SAS）， ∴∠1＝∠2， ∵BE⊥OB， ∴BE是⊙O的切线， ∵EN切半圆O于F， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2＝∠3，
∴EB，EO就把∠MEN三等分．
故答案为：AB＝OB，EN切半圆O于F；EB，EO就把∠MEN三等分．
【总结归纳】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 21．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；
（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度
18
和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．
【知识考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式． 【思路分析】（1）先求出点B，点A坐标，代入解析式可求c的值，即可求解； （2）先求出点M，点N坐标，即可求解．
【解题过程】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B， ∴点B（0，c）， ∵OA＝OB＝c， ∴点A（c，0）， ∴0＝﹣c2+2c+c， ∴c＝3或0（舍去），
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点G为（1，4）；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴对称轴为直线x＝1，
∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，
∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，
∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标（6，﹣21）， ∵点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点， ∴﹣21≤yQ≤4或﹣21≤yQ≤﹣5．
【总结归纳】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键． 22．（10分）小亮在学习中遇到这样一个问题：
19
如图，点D是上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度． 小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整： （1）根据点D在表的几组对应值． BD/cm CD/cm FD/cm
0 8.0 8.0
1.0 7.7 7.4
2.0 7.2 6.9
3.0 6.6 6.5
4.0 5.9 6.1
5.0 a 6.0
6.0 3.9 6.2
7.0 2.4 6.7
8.0 0 8.0
上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下
操作中发现： ①“当点D为
的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是 ；
②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．
（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为yCD和yFD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数yCD的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．
【知识考点】圆的综合题． 【思路分析】（1）①由
＝
可求BD＝CD＝a＝5cm；
②由“AAS”可证△BAD≌△CAF，可得BD＝CF，即可求解； （2）由题意可画出函数图象； （3）结合图象可求解．
20
【解题过程】解：（1）∵点D为∴
＝
，
的中点，
∴BD＝CD＝a＝5cm， 故答案为：5；
（2）∵点A是线段BC的中点， ∴AB＝AC， ∵CF∥BD， ∴∠F＝∠BDA， 又∵∠BAD＝∠CAF， ∴△BAD≌△CAF（AAS）， ∴BD＝CF，
∴线段CF的长度无需测量即可得到； （3）由题意可得：
（4）由题意画出函数yCF的图象；
由图象可得：BD＝3.8cm或5cm或6.2cm时，△DCF为等腰三角形．
【总结归纳】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，动点问题的函数图象探究题，也考查了函数图象的画法，解题关键是数形结合．
23．（11分）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过
21
点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．
（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为 ，连接BD，可求出为 ；
（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，
①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出
的值．
的值
【知识考点】四边形综合题．
【思路分析】（1）由旋转的性质得出AB＝AB'，∠BAB'＝60°，证得△ABB'是等边三角形，可得出△DEB'是等腰直角三角形．证明△BDB'∽△CDE，得出
（2）①得出∠EDB'＝∠EB'D＝45°，则△DEB'是等腰直角三角形，得出∽△EDC，由相似三角形的性质可得出
．
．
，证明△B'DB
②分两种情况画出图形，由平行四边形的性质可得出答案． 【解题过程】解：（1）∵AB绕点A逆时针旋转至AB′， ∴AB＝AB'，∠BAB'＝60°， ∴△ABB'是等边三角形， ∴∠BB'A＝60°，
∴∠DAB'＝∠BAD﹣∠BAB'＝90°﹣60°＝30°， ∵AB'＝AB＝AD， ∴∠AB'D＝∠ADB'， ∴∠AB'D＝
＝75°，
∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°＝45°， ∵DE⊥B'E，
∴∠B'DE＝90°﹣45°＝45°， ∴△DEB'是等腰直角三角形． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BDC＝45°，
22
∴同理∴
，
， ，
∵∠BDB'+∠B'DC＝45°，∠EDC+∠B'DC＝45°， ∴∠BDB'＝∠EDC， ∴△BDB'∽△CDE， ∴
．
．
故答案为：等腰直角三角形，（2）①两结论仍然成立． 证明：连接BD，
∵AB＝AB'，∠BAB'＝α， ∴∠AB'B＝90°﹣
，
∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'， ∴∠AB'D＝135°﹣
，
＝45°，
∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°﹣∵DE⊥BB'，
∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°， ∴△DEB'是等腰直角三角形， ∴
，
∵四边形ABCD是正方形， ∴∴
，∠BDC＝45°， ，
∵∠EDB'＝∠BDC，
23
∴∠EDB'+∠EDB＝∠BDC+∠EDB， 即∠B'DB＝∠EDC， ∴△B'DB∽△EDC， ∴②
．
＝3或1．
若CD为平行四边形的对角线，
点B'在以A为圆心，AB为半径的圆上，取CD的中点．连接BO交⊙A于点B'， 过点D作DE⊥BB'交BB'的延长线于点E，
由（1）可知△B'ED是等腰直角三角形， ∴B'D＝
B'E，
CE． +1＝
+1＝
+1＝3．
由（2）①可知△BDB'∽△CDE，且BB'＝∴
＝
+1＝
若CD为平行四边形的一边，如图3，
点E与点A重合，
24
∴＝1．
＝3或1．
综合以上可得
【总结归纳】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25
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