人教版高一数学上册《函数模型的应用实例》导学案

学习过程

一、复习提问

我们学过的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的一般形式是什么？

二、新课

例3、一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示。 （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行 驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出檅应的图象。 解：(1)阴影部分面积为：

50×1+80×1+90×1+75×1+65×1＝36

阴影部分面积表示汽车在5小时内行驶的路程为 360km。

（2）根据图有：

0t150t2004　　　　80(t1)20　　1t2s90(t2)2134　　2t3

75(t3)2224　　3t44t565(t4)2299　　画出它的函数图象P121。在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因

此，我们应当注意提高读图的能力。本例题是分段函数是刻画现实问题的重要模型。

例4、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可 以为有效控制人口增长依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状 态下的人口增长模型：y＝y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数， r表示人口的年平均增长率。

表3－8是1950――1959年我国的人口数据资料

（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001） 用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型 与实际人口数据是否相符；

（2）如果按表3－8的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？

分析：分别求出1950到1959年的每一年的增长率，再算出平均增长率，得到从 口增长模型y=55196e0.0221t，作出原数据的散点图，作出模型的函数图象，可以看出 这个模型与数据是否吻合，用Excel电子表格作出图象展示给学生看。第二问中，13 亿是130000万人，将y＝130000代入所求出的函数模型，即可用计算器算出大约要在 39年后达到13亿人口。

例5、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进 价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示： 销售单价/ 元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240

请根据以上根据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？

解：由表中可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的 基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量为： 480－40（x－1）＝520－40x（桶）

由于x＞0，所且520－40x＞0，即0＜x＜13

y＝（520－40x）x－200＝－40x2＋520x－200， 0＜x＜13 由二次函数的性质，易知，当x＝6.5时，y有最大值。 所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。

例6、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表所示：

身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170

体重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05

(1)根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未 成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式。

（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么 这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在我校男生的体重是否正常？ 解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图，根据点的分布特征，可 考虑用y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm关系的函数模型。 不妨取其中的两组数据（70，7.90），（160,47.25）代入y＝a·bx得：

70a27.9ab，用计算器解得： 160b1.0247.25ab这样，我们就得到一函数模型：y21.02x

将已知数据代入上述函数解析式，或作出函数的图象，可以发现，这个函数模型 与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高 的关系。

（2）将x＝175代入y21.02x，得：

y21.02175≈63.98

由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以这个男生偏胖。 练习：P126

作业：P127 7、8、9