三角函数最值的求法

韩学伟 （云南省昌宁县柯街中学 yncnhxw@126.com 678103）

三角函数的最值是对三角函数的概念、图像和性质以及对诱导公式，同角间基本关系式、两角和差三角函数公式的综合考查，也是函数思想的具体体现。下面从三种类型上对这类问题的求解策略做探讨.仅供参考.

一、yAsinx或yAcosx型 一般是先通过三角公式，将函数式化简为yAsinx或yAcosx，再根据x的取值范围求出函数的最大值及最小值。

222f(x)例1 设x，(sinxcosx)sin(x).求,434224f(x)的最大值和最小值.

1331cos(2x)1332 解析：f(x)(cos2x)4222331 sin2xcos2x

84431 sin(2x).

826x,， 43252x,.

636532时，即x时，f(x)max，  当2x663823当2x时，即x时，f(x)min. 6348点评：先化简转化为yAsinxk的形式，若对自变量没有

，直接可求最大值Ak和最小值Ak.若对变量，先求出变量范围，结合函数图象或三角函数线确定最值.

二、二次函数型

一般是利用三角函数进行换元，转化为二次函数yat2btc在闭区间tm,n上的最值求之.

例2 求y1sinxcosxsinxcosx的值域

解析：设tsinxcosx，则t2,2，

t21由(sinxcosx)t得sinxcosx，

222t211(t1)2， y1t22二次函数的对称轴为t1，开口向上，

1322， 当t2时，ymax(21)222当t1时，ymin0，

322值域为0,.

2点评：利用换元转化时，注意根据三角函数的单调性质确定新元

的取值范围.

三、分式函数型

此类题型解法较多，一是将函数化为sin(x)f(y)的形式，利用三角函数的有界性确定函数的最值；二是数形结合法，将y看成是两点连线的斜率.

2sinx的最大值和最小值.

2cosx解析：原式化为sinxycosx22y，

22y即sin(x)，根据正弦函数的有界性， 21y例5 求函数y故22y1y21，解得4747， y33ymin4747，ymax

33点评：三角函数的有界性是三角函数的重要性质之一，合理运用

这个性质可以简化解题过程，本题也可以利用斜率公式求解.

注：此文发表于“当代中学生报”高二数学·必修4复习，新课标人教版，2010～2011学年第37期（总117期）