恒成立问题之二

一． 二．

恒成立有两大类(1)不等式恒成立(2)方程恒成立

不等式恒成立问题的方法与技巧

1f(x)afmin(x)a,f(x)afmin(x)a(分离参数法）（）（0Fmin（x，a）0，F（x，a）0Fmax（x，a）02）F（x，a） （用分离参数法很难处理，只能整体上构造函数，求函数的最值）a03）方法二的特殊情况：函数ax2bxc（（0a0）恒成立0a020a0）恒成立axbxc（0注意：分离参数法的技巧：很多时候不能将变量纯粹的分离，只要将含变量的移到一边，

含参数的移到一边

三． 方程恒成立的方法与技巧

例1． 已知x2x2a0在R上恒成立，求a的取值范围 变式1。已知x2x2a0在3,上恒成立，求a的取值范围

22变式2。已知x2ax20在R上恒成立，求a的取值范围

分析：例1（1）用二次函数在R上恒成立的问题来处理，（2）分离参数方法来处理 （3）整体上构造函数，求函数的最值

其二，本题辩证的告诉我们：二次函数在R上恒成立问题局限性大，仅限于R上二次函数恒成，优点是不需要分离参数，不需要求最值；分离参数法虽然常用，但不是任何时候都行，如有时不好分离出参数，有时好分离但不好求新函数的最值

例2. 已知函数f(x)ax3232x1(xR),其中a0. 2（1） 若a1，求曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线问题；

（2） 若在区间,上，f(x)0恒成立，求a的取值范围.

22解：（1）y6x9（2）方法1：分离常数法：ax31132x1,令2323x1(2x2)=0，则x12,x22，F(x)在 F(x)23,F'(x)24xx11,0,0,递增 22当x0时，aR 当x21,0时，0aF(x)min5 2-10-5-2-22510当x0,时，aF(x)max5

21综上所述：a0,5 方法2：整体研究函数的最值

61f'(x)3x(ax1)0,得x10,x2

a11若0a2,则,0a2

a211若a2，则0,2a5

a2综上所述：0a5

例3.（分离参数的技巧）

42-10-5510-2-4 （2010天津）设函数f(x)x1，对任意x,，

232xf()4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，求实数m的取值范围 m123232解答：24m1(2)恒成立，令g(x)1(2)，则g(x)在定义域内

mxxxx3515322单调递减，所以g(x)ming()=，所以24m<,解得m

23m34

练习：

例4．（21．本小题满分12分）设f(x)kxk2lnx. x （1）若f(2)0，求过点（2，f(2)）的直线方程； （2）若f(x)在其定义域内为单调增函数，求k的取值范围。

例5．已知f(x)ax2(aR),g(x)2lnx. （1）讨论函数F(x)f(x)g(x)的单调性

（2）是否存在这样的a的值，使得f(x)g(x)2恒成立，若不存在，请说明理由；若存在，求出这样的值；（分离参数法或整体构造函数求最值）

.已知函数g(x)数,f(x)mx(1)求的值;

(2)若yf(x)g(x)在1,上为单调函数,求m的取值范围;

解：（1）略（2）可以分类讨论：分为单调递增：。。。。。。单调递减。。。。。。。转化）为恒成立

方法二：函数在区间上单调转化成导函数在区间上有零点且在零点左右导函数异号，即方程有根问题

练习1

1.（07年山东）当x(1,2)时，不等式x221lnx在1,上为增函数,且(0,),为常

xsinm1lnx(mR).（对零点定理的最高考查程度） x2mx40恒成立，则m的取值范围是——

2.若xR，ax4xa2x1恒成立，则实数a的取值范围是—

3.若不等式x2xay2y对任意实数x,y都成立，则实数a的取值范围________ 4.已知不等式：axx10

1）若对任意x0,1不等式恒成立，求a的取值范围 2）若对任意a0,1不等式恒成立，求x的取值范围

5（04年湖北）设集合P={m|-1222x6．设不等式

x120的解集为A，集合B=x|3x2mx10，若AB,求m的取值

范围（提示：集合A中的每一个元素都满足集合B）

7．已知f(x)2axx在0,1上是增函数，求a的取值范围

3

8．对满足a2的所有实数a，求使不等式xax2ax1恒成立的x的取值范围

29．对任意的xR，sinx2kcosx2k20恒成立，求k的取值范围

10．已知函数f(x)ax22ln(1x)(aR) （1）若f(x)在x1处有极值，求a的值

（2）若f(x)在3,2上是增函数，求a的取值范围

11.已知函数f(x)8x216xk,g(x)2x35x24x，其中k为实数.

错误！未找到引用源。对任意x3,3,都有f(x)g(x)成立，求k的取值范围； （2）存在x3,3,使f(x)g(x)成立，求k的取值范围； （3）对任意x1,x23,3，都有f(x1)g(x2),求k的取值范围； 高考链接

（108湖北卷理7）若f(x)212xbln(x2)在(-1,+)上是减函数，则b的取值范围是（ ） 2A. [1,) B. (1,) C. (,1] D. (,1)

2.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2，若x22,22，

不等式f(xt)2f(x)恒成立，求实数t的取值范围（2,）

注意技巧：2f(x)f(2x)，且函数f(x)在R上单调递增

23.设f(x)a0，函数f(x)xa|lnx1|.

（Ⅰ）当a2时，求函数的单调增区间；

（Ⅱ）若x[1,)时，不等式f(x)a恒成立，实数a的取值范围

难度比较大：可以用分离参数法和整体求函数的最值两种方法解决此题