《导数在生活中的优化问题举例》的教学和反思

《导数在生活中的优化问题举例》的教学和反思

作者：丁仕杰

来源：《吉林省教育学院学报·上旬刊》2013年第11期

摘要：利用导数解决实际应用问题是导数教学的一个难点，也是高考的热点，解决这个问题首先是要准确建模，其次是合理利用导数求最值。本文通过容积一定的易拉罐的优化设计引导学生合理利用导数解决实际问题，并结合高考题引导学生对实际问题处理一般方法的掌握。 关键词：导数；优化；应用问题；建模

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1671—1580（2013）11—0036—02 人教A版选修2-2的1.4节是《导数在生活中的优化问题举例》。“优化问题”是现实生活中常碰到的问题，比如速度最快、距离最小、费用最低、用料最省、效率最高等。而解决此类问题的方法多样，学生较为熟悉的是线性规划问题、二次函数最值问题或结合函数图像解决最值。本节课的教学目标是：1.通过生活中的优化问题的学习，使学生体会导数在解决生活中的优化问题的广泛作用和强大实力，促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；2.通过实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高，突出导数的应用研究。本节课的难点主要有两个：难点之一是数学建模问题；难点之二是学生的“用导数求函数最值”知识是否扎实。教材主要在最值、利润、最大容量三个方面举例说明，这三道题虽然都来自实际生活，但内容相对陈旧，而且有些问题用导数过于牵强，不能很好地吸引学生眼球。

比如例题1，海报版面尺寸的设计问题，虽然与同学平时生活联系比较紧，但从目标函数来看，S（x）=2x+512x+8x>0，只要有点不等式知识的学生都会毫不犹豫地选择均值不等式快速简洁求解，而此处再考虑用导数去求解，显然繁琐，没有必要。对于例题2，利润最大化的问题，材料比较新颖，但所选择的模型——球形的饮料盒，在现实生活中基本上是不存在的。而实际上，现实生活中的饮料盒，大多都是方形（纸盒）和圆柱形的（易拉罐），因此我想能不能从中选择一个更合适问题切入呢？

认真思考后，发现课本P37习题A组作业第3题其实就是这样一个很好的问题：圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高和直径应该怎样选择，才能使得所用材料最省？这道题与实际生活可能更符合些，但问题不够新颖，如果直接选用此题作为例题，可能不能有效地激发学生的学习兴趣和探究欲望。而新课程数学教学的理念提倡以探究为主要方式，让学生体验数学发现和创造的历程，因此，直接把这道题来组织教学，就无法充分体现素质教育与课程改革的思想。

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根据参考书对这道作业题的引申：某种圆柱形饮料罐的容积一定，且上下底面的厚度为侧壁厚度的两倍，当圆柱的高与底面直径之比为何值时，用料最省？答案是2：1。受此启发，我猜想：本题的生活原形是否就是我们常喝的可乐易拉罐呢？带着猜想，我测量了易拉罐的尺寸，结果易拉罐的高和底面直径的比几乎就是2：1。于是，结合教材，我对教学内容做出了如下设计：

导入：1.简要复习回顾应用题的一般解题程序：审题，建模，求解，反馈。2.以前学过的常用的数学模型：函数，方程，不等式，数列，线性规划等。3.导数求解最值的基本步骤。 设置问题情景：师：“我今天带来了一罐可乐，不过不是请大家喝的，它与我们今天要学习的内容有关。我们先来看一段材料。”（多媒体展示）目前我们年产易拉罐超过50亿只，每只易拉罐约重15克，试想，如果在生产过程中，每只易拉罐能省1克材料，则全国每年可节省5000吨的材料，就可节省资金上亿元。

师：“因此，大家不要小看这区区1克的材料，如果你能对易拉罐的设计进行优化，让每只易拉罐的重量减少1克，不仅能节省大量的资源，还能产生巨大的经济效益。现在我就请你来当一回设计师，给易拉罐的形状做一回设计。”

（多媒体展示）例1.假设某种易拉罐是标准的圆柱形，在容积一定的前提下，如何确定它的高与直径，才能使它的用料最省？

（评述）通过这样的改编，让学生直接感受到数学来自生活，又应用于生活和生产实践，可以培养学生应用数学的意识，激发学生学习数学的兴趣。而该问题情景是从学生熟悉的身边事物易拉罐出发提出问题，可以引起学生对结论迫切探究的欲望，从而充分发挥学生的主观能动性。

应用性问题是教学中的难点，也是高考的热点问题之一，高考题对于每一个学生都具有很强的挑战性。结合几何中优化问题的主线，我设置了例题2：（2006年江苏高考题19）请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1米的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3米的正六棱锥，试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？

最后，我对本节课做了总结：1.生活中的优化问题本质都是一样的，都是用数学的方法来解决实际问题，都有相同的解题程序，即审题、建模、解模、反馈。2.解题的关键是建立目标函数，包括选择适当的参数，建立函数关系式，给出函数的定义域。3.学习了导数之后，在解优化问题时，我们又多了一种有效的方法。4.注意常用数学思想的应用，如化归思想、换元思想。5.留下一道题作为课后思考：在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

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素质教育的核心就是创新教育，这已然成为全社会的共识。要培养学生的创新意识、创新精神，首先就要求教师具有创新精神，要能科学、合理、正确地使用好教材，提高课堂效率，发展学生的思维能力，我想这也是每个中学教师都所面临的共同挑战。 [参考文献]

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