2014-2015学年安徽省安庆市部分示范高中联考高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．设定点F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P（x，y）满足条件|PF1|+|PF2|=6，则动点P的轨迹是（ ）
A． 椭圆 B． 线段 C． 双曲线 D． 椭圆或线段
2．椭圆x+3y=6的焦距为（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
3．某公司共有工作人员200人，其中职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，现要从中抽取20个人进行身体健康检查，如果采取分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应抽取的人数为（ ）
A． 16，3，1 B． 16，2，2 C． 8，15，7 D． 12，3，5
4．已知抛物线的方程为y=2ax，且过点（1，4），则焦点坐标为（ ） A． （1，0） B． （ 5．若双曲线
﹣
=1（a＞0）的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），则双曲线的离心率为（ ）
，0） C． （0，
） D． （0，1）
2
2
2
A． B． C． 2 D．
6．给出如图的程序框图，那么输出的数是（ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
7．已知a，b是实数，则“a=1且b=2”是“a+b﹣2a﹣4b+5=0”的（ ） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
8．与双曲线x﹣
2
2
2
=1有共同渐近线，且过点（2，）的双曲线方程是（ ）
A．
﹣y=1 B．
2
﹣=1 C． ﹣=1 D． ﹣=1
9．如图，M是三棱锥P﹣ABC的底面△ABC的重心，若（ ）
=x+y+z，则x+y﹣z的值为
A． B． C． D． 1
10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的长度之和为（ ）
A． 1 B． C． 2
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．命题“∃x∈Z，x+2x﹣3≤0”的否定是 ．
12．点P（﹣1，3，﹣4）在坐标平面yOz上射影的坐标为 ．
2
D．
13．已知抛物线C的焦点在x轴正半轴上且顶点在原点，若抛物线C上一点（m，2）（m＞1）到焦点的距离是，则抛物线C的方程为 ．
14．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB=AC=1，PA=2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为 ．
15．已知F1，F2为椭圆
+
=1（3＞b＞0）的左右两个焦点，若存在过焦点F1，F2的圆与直
线x+y+2=0相切，则椭圆离心率的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16．已知双曲线
的右焦点为F，过点F作直线PF垂直于该双曲
线的一条渐近线l于
．求该双曲线的方程．
17．已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5） 求：（1）求以向量（2）若向量a分别与向量
18．若直线y=kx﹣2与抛物线y=3x交于A，B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．
19．对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图： 分组 频数 频率 2
为一组邻边的平行四边形的面积S；
垂直，且|a|=
，求向量a的坐标．
﹣=1 D． ﹣=1
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 与双曲线x﹣
2
=1有共同渐近线的双曲线的方程可设为x﹣
2
=m（m≠0），代入已知
点的坐标计算即可得到． 解答： 解：与双曲线x﹣
2
=1有共同渐近线的双曲线的方程
可设为x﹣代入点（2，
2
=m（m≠0），
），可得，m=4﹣1=3，
﹣
=1．
则有双曲线方程为故选：B．
点评： 本题考查双曲线的方程和性质，考查具有相同渐近线的双曲线的特点，考查运算能力，属于基础题．
9．如图，M是三棱锥P﹣ABC的底面△ABC的重心，若（ ）
=x
+y
+z
，则x+y﹣z的值为
A． B． C． D． 1
考点： 平面向量的基本定理及其意义． 专题： 空间向量及应用．
分析： 可想着再用
=
表示，根据重心的性质及向量加法的平行四边形法则，
，从而便可得到
，从
而得到x=y=z=，所以可求出x+y﹣z． 解答： 解：如图，连接AM； M为△ABC的重心； ∴∴又∴∴故选：A．
； ． =
； =
；
；
点评： 考查重心的性质，向量加法的平行四边形法则，以及向量的加法运算，向量的减法运算，空间向量基本定理．
10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的长度之和为（ ）
A． 1 B． C． 2
D．
考点： 棱柱的结构特征．
专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： 利用B1E⊥平面ABF，可以证明△B1EB≌△BGC，所以CG=BE，从而可得CE与DF的长度之和为1．
解答： 解：∵B1E⊥平面ABF， ∴B1E⊥BG，△B1EB≌△BGC，∴CG=BE， ∵CG=DF，BE+CE=1， ∴CE与DF的长度之和为1． 故选：A．
点评： 本题以正方体为载体，考查线面位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．命题“∃x∈Z，x+2x﹣3≤0”的否定是 “∀x∈Z，x+2x﹣3＞0” ．
考点： 命题的否定． 专题： 简易逻辑．
分析： 根据全称命题的否定是特称命题，写出它的否定命题即可． 解答： 解：根据特称命题的否定是全称命题，得； 命题“∃x∈Z，x+2x﹣3≤0”的否定是 “∀x∈Z，x+2x﹣3＞0”．
故答案为：“∀x∈Z，x+2x﹣3＞0”．
点评： 本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，是基础题目．
12．点P（﹣1，3，﹣4）在坐标平面yOz上射影的坐标为 （0，3，﹣4） ．
考点： 空间中的点的坐标． 专题： 空间位置关系与距离．
2
2
2
2
2
分析： 根据点在坐标平面yOz上射影的定义，求出射影的坐标． 解答： 解：点P（﹣1，3，﹣4）在坐标平面yOz上射影 是过点P作直线与平面yOz垂直，直线与平面yOz的交点 即为点P在平面yOz上的射影， ∴该点的坐标为（0，3，﹣4）． 故答案为：（0，3，﹣4）．
点评： 本题考查了空间直角坐标系的应用问题，是基础题目．
13．已知抛物线C的焦点在x轴正半轴上且顶点在原点，若抛物线C上一点（m，2）（m＞1）到焦点的距离是，则抛物线C的方程为 y=2x ．
考点： 抛物线的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 设抛物线的方程为y=2px（p＞0），将点（m，2）代入抛物线方程，再由抛物线的定义，可得到焦点的距离即为到准线的距离，解m，p的方程，即可求得p=1，m=2，进而得到抛物线方程．
解答： 解：设抛物线的方程为y=2px（p＞0）， 抛物线C上一点（m，2）（m＞1）， 即有4=2pm，①
由抛物线的准线方程为x=﹣， 由抛物线的定义可得，m+=② 由①②解得m=2，p=1． 即有抛物线的方程为y=2x． 故答案为：y=2x．
点评： 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的定义的运用，考查运算能力，属于中档题．
2
2
2
2
2
14．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB=AC=1，PA=2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为
考点： 直线与平面所成的角． 专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： 以A为坐标原点，以AB为x轴，以AC为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，由已知条件分别求出向量所成角的正弦值．
解答： 解：以A为坐标原点，以AB为x轴，以AC为y轴，以AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点， AB=AC=1，PA=2，
∴A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2）， D（，0，0），E（，，0），F（0，，1）， ∴
=（0，0，2），
=（0，，0），
=（﹣，，1），
和平面DEF的一个法向量，利用向量法能求出直线PA与平面DEF
．
设=（x，y，z）是平面DEF的一个法向量，
则，
取x=1，则=（（1，0，），
设PA与平面DEF所成的角为θ，则sinθ=|cos＜
，＞|=|
|=
．
故答案为：．
点评： 本题考查线面角，考查向量法，正确求出平面的法向量是关键．
15．已知F1，F2为椭圆
+
=1（3＞b＞0）的左右两个焦点，若存在过焦点F1，F2的圆与直
线x+y+2=0相切，则椭圆离心率的最大值为
考点： 椭圆的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
．
分析： 通过题意可过焦点F1，F2的圆的方程为：x+（y﹣m）=m+c，利用该圆与直线x+y+2=0相切、二次函数的性质及离心率公式，计算即得结论． 解答： 解：由题可知过焦点F1，F2的圆的圆心在y轴上， 设方程为：x+（y﹣m）=m+c，
∵过焦点F1，F2的圆与直线x+y+2=0相切， ∴d=r，即解得：c=﹣
2
2
2
2
2
2222
=+2m+2，
，
∴当c最大时e最大， 而﹣
+2m+2=﹣（m﹣2）+4≤4，
2
∴c的最大值为2， ∴e的最大值为， 故答案为：．
点评： 本题考查求椭圆的离心率、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16．已知双曲线
的右焦点为F，过点F作直线PF垂直于该双曲
线的一条渐近线l于
考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题．
．求该双曲线的方程．
分析： 先设F（c，0），由题意得出：，解方程组
得P点的坐标与已知条件对照即可解得a，b，最后写出双曲线方程．
解答： 解：设F（c，0），
解方程组得„6分
又已知∴
．
∴双曲线方程为„10分
点评： 本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，b是解题的关键．
17．已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5） 求：（1）求以向量（2）若向量a分别与向量
考点： 平面向量的综合题．
为一组邻边的平行四边形的面积S；
垂直，且|a|=
，求向量a的坐标．
专题： 计算题．
分析： （1）由已知中空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），我们分别求出向量
，
，
的坐标，进而根据它们三个的模相等，判断出三角形ABC为等边三角形，
为一组邻边的平行四边形的面积S；
垂直，且||=
，设出向量的坐标，
进而得到以向量
（2）根据（1）中结论，易向量分别与向量进而构造方程组，解方程组即可求出向量的坐标．
解答： 解：（1）∵空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5） ∴∵|
=（﹣2，﹣1，3），|=|
|=|
|=
为一组邻边的平行四边形的面积
=（1，﹣3，2），
=（3，﹣2，﹣1）
∴△ABC为等边三角形，故以向量S=
=7
（2）设=（x，y，z），由已知中向量分别与向量垂直，且||=，
∴
解得x=y=z=±1
=（1，1，1）或=（﹣1，﹣1，﹣1）
点评： 本题考查的知识点是向量模的运算及向量垂直的坐标表示，是平面向量的综合题，熟练掌握平面向量模的计算公式，及向量平行和垂直的坐标运算公式是解答本题的关键．
18．若直线y=kx﹣2与抛物线y=3x交于A，B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．
考点： 抛物线的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
2
分析： 设A（x1，y1），B（x2，y2），由于，．相减可得：
，把
可得出．
解答： 解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴
，
．
=k，y1+y2=k（x1+x2）﹣4=4k﹣4，代入解出k即
∴，
∵=k，y1+y2=k（x1+x2）﹣4=4k﹣4，
∴k（4k﹣4）=3， 化为4k﹣4k﹣3=0， 解得k=或﹣． ∴直线方程为：
或
．
2
点评： 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图： 分组 计算题；证明题．
分析： （Ⅰ）根据|BC|=2|AC|，且BC经过O可推断出|OC|=|AC|，进而根据
求得C点的坐标，将a及C点坐标代入椭圆方程求得b，则椭
圆的方程可得．
（Ⅱ）根据∠PCQ的平分线总垂直于x轴，可知PC与CQ所在直线关于直线
对称，设直
频数 频率 线PC的斜率为k，则直线CQ的斜率为﹣k，进而可表示出直线PC的方程和直线CQ的方程分
别于椭圆方程联立，根据C点坐标且在椭圆上，可利用韦达定理求得xQ和xp的表达式，进而求得B的坐标，则直线AB的斜率可求得，进而可知kAB=kPQ，推断出向量解答： 解：（Ⅰ）∵|BC|=2|AC|，且BC经过O（0，0）， ∴|OC|=|AC|．又∴∵
，将
，
及C点坐标代入椭圆方程得
，
，
与向量
共线．
∴椭圆E的方程为：
．
（Ⅱ）对于椭圆上两点P，Q， ∵∠PCQ的平分线总垂直于x轴， ∴PC与CQ所在直线关于直线∴直线PC的方程为即
直线CQ的方程为将①代入得∵∴∴
在椭圆上，
是方程③的一个根．
，
，
，③
．①
．②
对称，设直线PC的斜率为k，则直线CQ的斜率为﹣k，
，
∴，
同理可得，，
∴．
∵∴又∴
，
， ， ，
与向量
共线．
∴kAB=kPQ，∴向量
点评： 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．
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