高中知识总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C 中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合Ax|x22x30，Bx|ax1

若BA，则实数a的值构成的集合为

（答：1，0，13）

3. 注意下列性质：

（1）集合an1，a2，„„，an的所有子集的个数是2；

（2）若ABABA，ABB； （3）德摩根定律：

CUABCUACUB，CUABCUACUB

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于x的不等式ax5x2a0的解集为M，若3M且5M，求实数a 的取值范围。

（∵3M，∴a·3532a0

a1，539，25）

∵5M，∴a·5552a0 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()，“且”()和

“非”().

若pq为真，当且仅当p、q均为真

若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真 若p为真，当且仅当p为假

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数yx4xlgx32的定义域是

（答：0，22，33，4） 10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定 义域是_____________。 （答：a，a）

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

如：fx1exx，求f(x).

令tx1，则t0

∴xt21 ∴f(t)et21t21

∴f(x)ex21x21x0

12. 反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

如：求函数f(x)1xx0x2x0的反函数

（答：f1(x)x1x10） xx 13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf1(b)a f1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)b

14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？

（yf(u)，u(x)，则yf(x)（外层）（内层）

当内、外层函数单调性相同时f(x)为增函数，否则f(x)为减函数。） 如：求ylog1x22x的单调区间

2 （设ux22x，由u0则0x2 且log1u，ux121，如图：

2 u O 1 2 x

当x(0，1]时，u，又log1u，∴y

2 当x[1，2)时，u，又log1u，∴y

2 ∴„„）

15. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？

如：已知a0，函数f(x)x3ax在1，上是单调增函数，则a的最大值是（ ） A. 0

B. 1

C. 2 D. 3

（令f'(x)3x2a3xaa3x30 则xa3或xa3 由已知f(x)在[1，)上为增函数，则a31，即a3

∴a的最大值为3）

16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）

若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称

若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。

如：若f(x)a·2xa22x1为奇函数，则实数a

（∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0

即a·20a22010，∴a1） 又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)2x 4x1， 求f(x)在1，1上的解析式。

（令x1，0，则x0，1，f(x)2x 4x1

又f(x)为奇函数，∴f(x)2x4x12x14x 2xx(1，0) 又f(0)0，∴f(x)x41x0）

2x4x1x0，1 17. 你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期 函数，T是一个周期。）

如：若fxaf(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期） 又如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb 即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx) 则f(x)是周期函数，2ab为一个周期 如：

18. 你掌握常用的图象变换了吗？ f(x)与f(x)的图象关于y轴对称 f(x)与f(x)的图象关于x轴对称 f(x)与f(x)的图象关于原点对称

f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称

f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称 f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称 将yf(x)图象左移a(a0)个单位yf(xa)右移a(a0)个单位yf(xa)

上移b(b0)个单位yf(xa)b下移b(b0)个单位yf(xa)b

注意如下“翻折”变换：

f(x)f(x)f(x)f(|x|)

如：f(x)log2x1

作出ylog2x1及ylog2x1的图象

y y=log2x O 1 x

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x x=a

（1）一次函数：ykxbk0 （2）反比例函数：ykkxk0推广为ybxak0是中心O'(a，b) 的双曲线。

（3）二次函数yax2bxca0ab24acb2x2a4a图象为抛物线 顶点坐标为b2a，4acb24a，对称轴xb2a 开口方向：a0，向上，函数y4acb2min4a

a0，向下，y4acb2max4a

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax2bxc0，0时，两根x21、x2为二次函数yaxbxc的图象与x轴 的两个交点，也是二次不等式ax2bxc0(0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

0 如：二次方程ax2bxc0的两根都大于kb2ak

f(k)0 y (a>0) O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于kf(k)0 （4）指数函数：yaxa0，a1 （5）对数函数ylogaxa0，a1 由图象记性质！ （注意底数的限定！）

y y=ax(a>1) (01) 1 O 1 x (0利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

y k O k x

20. 你在基本运算上常出现错误吗？ 指数运算：a01(a0)，ap1ap(a0) m annam(a0)，amn1nam(a0)

对数运算：logaM·NlogaMlogaNM0，N0 logMaNlogaMlogaN，logn1aMnlogaM 对数恒等式：alogaxx 对数换底公式：loglogcbnabloglognamblogab

cam 21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）

如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。 （先令xy0f(0)0再令yx，„„）

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。 （先令xytf(t)(t)f(t·t) ∴f(t)f(t)f(t)f(t) ∴f(t)f(t)„„）

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2„„

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。） 如求下列函数的最值：

（1）y2x3134x （2）y2x4x3 （3）x3，y2x2x3

（4）yx49x2设x3cos，0，

（5）y4x9x，x(0，1] 23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？ （l·R，S1扇2l·R12·R2）

R 1弧度 O R

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sinMP，cosOM，tanAT

y B S T P α O M A x

如：若80，则sin，cos，tan的大小顺序是

又如：求函数y12cos2x的定义域和值域。

（∵12cos2x）12sinx0 ∴sinx22，如图：

∴2k54x2k4kZ，0y12 25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

sinx1，cosx1

y ytgx x    O  22

对称点为k2，0，kZ ysinx的增区间为2k2，2k2kZ 减区间为32k2，2k2kZ 图象的对称点为k，0，对称轴为xk2kZ ycosx的增区间为2k，2kkZ

减区间为2k，2k2kZ

图象的对称点为k2，0，对称轴为xkkZ

ytanx的增区间为k2，k2kZ 26. 正弦型函数y=Asinx+的图象和性质要熟记。或yAcosx （1）振幅|A|，周期T2|| 若fx0A，则xx0为对称轴。

若fx00，则x0，0为对称点，反之也对。 （2）五点作图：令x依次为0，2，，32，2，求出x与y，依点（x，y）作图象。

（3）根据图象求解析式。（求A、、值）

(x1)0 如图列出(x

2)2 解条件组求、值

正切型函数yAtanx，T||

27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。 如：cosx262，x3，2，求x值。 （∵x32，∴76x653，∴x654，∴x1312） 28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ 如：函数ysinxsin|x|的值域是

（x0时，y2sinx2，2，x0时，y0，∴y2，2） 29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变换） 平移公式：

 （1）点P（x，y）a(h，k)x'xh平移至P'（x'，y'），则y'yk  （2）曲线f(x，y)0沿向量a(h，k)平移后的方程为f(xh，yk)0 如：函数y2sin2x41的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的 图象？

（y2sin2x41横坐标伸长到原来的2倍y2sin212x41 左平移个单位2sinx414y2sinx1上平移1个单位y2sinx 纵坐标缩短到原来的12倍ysinx） 30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1sin2cos2sec2tan2tan·cotcos·sectan4 sin2cos0„„称为1的代换。 “k·2”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，

“奇”、“偶”指k取奇、偶数。 如：cos94tan76sin21

又如：函数ysintancoscot，则y的值为 A. 正值或负值

B. 负值

C. 非负值

D. 正值

sinsin （ycossin2cos10，∵0）

coscoscos2sin1sin 31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系：

sinsincoscossin令sin22sincos coscoscossinsin令cos2cos2sin2 tantantan1tan·tan 2co2s112sin2 1cos22tanco2stan21tan2 2sin21cos2

2

asinbcosa2b2sin，tanba sincos2sin4 sin3cos2sin3 应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，

尽可能求值。） 具体方法：

（1）角的变换：如，222„„

（2）名的变换：化弦或化切

（3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

如：已知sincos1cos21，tan23，求tan2的值。

（由已知得：sincos2sin2cos2sin1，∴tan12 又tan23

2 ∴tan2tantantan3121tan·tan1） 123·182 32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？ 余弦定理：a2b2c22bccosAcosAb2c2a2 2bc

（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

a2 正弦定理：asinAbsinBcsinC2RRsinAb2RsinB

c2RsinC S12a·bsinC ∵ABC，∴ABC

∴sinABsinC，sinAB2cosC2 如ABC中，2sin2AB2cos2C1 （1）求角C；

（2）若a2b2c22，求cos2Acos2B的值。 （（1）由已知式得：1cosAB2cos2C11 又ABC，∴2cos2CcosC10

∴cosC12或cosC1（舍） 又0C，∴C3

（2）由正弦定理及a2b2122c得：

2sin2A2sin2Bsin2Csin2334 1cos2A1cos2B34 ∴co2sAcos2B34） 33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。 反正弦：arcsinx2，2，x1，1 反余弦：arccosx0，，x1，1

反正切：arctanx2，2，xR 34. 不等式的性质有哪些？

（1）ab，c0acbcc0acbc

（2）ab，cdacbd （3）ab0，cd0acbd （4）ab01111ab，ab0ab （5）ab0anbn，nanb

（6）|x|aa0axa，|x|axa或xa 如：若1a1b0，则下列结论不正确的是（）

A.a2b2B.abb2

C.|a||b||ab|D.abba2 答案：C

35. 利用均值不等式：

a2b22aba，bR2；ab2ab；abab2求最值时，你是否注意到“a，bR”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(ab)其中之一为定

值？（一正、二定、三相等） 注意如下结论： 2

a2b2ab2ab2ababa，bR

当且仅当ab时等号成立。 a2b2c2abbccaa，bR 当且仅当abc时取等号。 ab0，m0，n0，则

bbmanaaam1bnb 如：若x0，23x4x的最大值为

（设y23x4x2212243 当且仅当3x423x，又x0，∴x3时，ymax243）

又如：x2y1，则2x4y的最小值为

（∵2x22y22x2y221，∴最小值为22） 36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。 如：证明1112232„1n22 （1122132„„1111n211223„„n1n 11121213„„11

n1n

21n2） 37.解分式不等式f(x)g(x)aa0的一般步骤是什么？ （移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。） 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

如：x1x12x230

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分a1或0a1讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。） 例如：解不等式|x3|x11 （解集为x|x12） 41.会用不等式|a||b||ab||a||b|证明较简单的不等问题

如：设f(x)x2x13，实数a满足|xa|1 求证：f(x)f(a)2(|a|1)

证明：|f(x)f(a)||(x2x13)(a2a13)|

|(xa)(xa1)|(|xa|1) |xa||xa1||xa1|

|x||a|1 又|x||a||xa|1，∴|x||a|1 ∴f(x)f(a)2|a|22|a|1

（按不等号方向放缩）

42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 如：af(x)恒成立af(x)的最小值 af(x)恒成立af(x)的最大值

af(x)能成立af(x)的最小值

例如：对于一切实数x，若x3x2a恒成立，则a的取值范围是

（设ux3x2，它表示数轴上到两定点2和3距离之和 umin325，∴5a，即a5

或者：x3x2x3x25，∴a5） 43. 等差数列的定义与性质

定义：an1and(d为常数)，ana1n1d

等差中项：x，A，y成等差数列2Axy

前n项和Sa1annn1n2na1n2d

性质：an是等差数列

（1）若mnpq，则amanapaq；

（2）数列a2n1，a2n，kanb仍为等差数列； Sn，S2nSn，S3nS2n„„仍为等差数列；

（3）若三个数成等差数列，可设为ad，a，ad； （4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则amS2m1b； mT2m1 （5）an为等差数列Snan2bn（a，b为常数，是关于n的常数项为 0的二次函数）

Sn的最值可求二次函数S2nanbn的最值；或者求出an中的正、负分界项，即：

当a10，d0，解不等式组an0a可得Sn达到最大值时的n值。n10

当a10，d0，由an0a0可得Sn达到最小值时的n值。

n1 如：等差数列an，Sn18，anan1an23，S31，则n

（由anan1an233an13，∴an11 又Sa1a332·33a21，∴a123

 ∴Saa11n1nnn2a2an1·n32218 n27）

44. 等比数列的定义与性质 定义：an1aq（q为常数，q0），ana1qn1 n 等比中项：x、G、y成等比数列G2xy，或Gxy

na1(q1) 前n项和：Sna11qn1q(q1)（要注意!）

性质：an是等比数列

（1）若mnpq，则am·anap·aq （2）Sn，S2nSn，S3nS2n„„仍为等比数列 45.由Sn求an时应注意什么？

（n1时，a1S1，n2时，anSnSn1） 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ 例如：（1）求差（商）法

如：a1n满足2a11122a2„„2nan2n51

解：n1时，12a1215，∴a114

n2时，12a11122a2„„2n1an12n152 12得：12nan2

∴an2n1

∴a14(n1)n2n1(n2)

［练习］

数列an满足SnSn153an1，a14，求an （注意到a1n1Sn1Sn代入得：SnS4 n 又S14，∴Snn是等比数列，Sn4 n2时，anSnSn1„„3·4n1

（2）叠乘法

例如：数列aan1nn中，a13，a1，求an nn 解：

a2a·a3„„ana1·2„„n1，∴an1n 1a2n123na1 又a313，∴ann

（3）等差型递推公式

由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法

n2时，a2a1f(2) aa32f(3)„„„„两边相加，得：

anan1f(n) ana1f(2)f(3)„„f(n)

∴ana0f(2)f(3)„„f(n) ［练习］

数列an，a11，a1n3nan1n2，求an （an123n1） （4）等比型递推公式

ancan1dc、d为常数，c0，c1，d0 可转化为等比数列，设anxcan1x ancan1c1x

令(c1)xd，∴xdc1 ∴adnc1是首项为a1dc1，c为公比的等比数列 ∴adc1adn1n1c1·c ∴adn1dna1c1cc1 ［练习］

数列an满足a19，3an1an4，求an （a4n1n831）

（5）倒数法

例如：a2an11，an1a2，求an

n 由已知得：1aan211n12a n2an ∴1a1n1a12 n 1为等差数列，1a1，公差为1 na12 1a1n1·1212n1 n ∴a2nn1 47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 如：nan是公差为d的等差数列，求1k1aka k1 解：由1aa1111d0

k·k1akakddakak1nn ∴1k1a111kak1k1da

kak1111111

da„„1a1a2a2a3ann1

11da11an1［练习］ 求和：11121123„„1123„„n （a1n„„„„，Sn2n1） （2）错位相减法：

若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项

和，可由SnqSn求Sn，其中q为bn的公比。

如：S3n1n12x3x24x„„nx1

x·S4nx2x23x34x„„n1xn1nxn2

12：1xSn1xx2„„xn1nxn x1时，S1xnnn1x2nx1x

x1时，Sn123„„nnn12

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

Sna1a2„„an1anSaa相加

nann1„„a21 2Sna1ana2an1„„a1an„„ ［练习］

已知f(x)x21x2，则f(1)f(2)f12f(3)f113f(4)f4

221 （由f(x)f1xxx1x2112x21x211x21 x ∴原式f(1)f(2)f1112f(3)f3f(4)f4

12111312） 48. 你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为： Snp1rp12r„„p1nrpnnn12r„„等差问题  △若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类） 若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足

p(1r)nx1rn1x1rn2„„x1rx x11rn1rn11rx1r ∴xpr1rn1rn1

p——贷款数，r——利率，n——还款期数

49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。 （1）分类计数原理：Nm1m2„„mn （mi为各类办法中的方）法 数 分步计数原理：Nm1·m2„„mn

（mi为各步骤中的方法数）

（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为Amn.

Amnnn1n2„„nm1n!nm!mn

规定：0!1

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不

同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cmn.

CmnAm nnn1„„Amnm1n!mm!m!nm!

规定：C0n1 （4）组合数性质： CmnmnCn，CmnCm1nCmn1，C01nnnCn„„Cn2 50. 解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。 如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

xi89，90，91，92，93，(i1，2，3，4)且满足x1x2x3x4，

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ）

A. 24 B. 15 C. 12

D. 10

解析：可分成两类： （1）中间两个分数不相等，

有C455（种）

（2）中间两个分数相等 x1x2x3x4

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。

∴共有5＋10＝15（种）情况 51. 二项式定理

(ab)nC0n1n1naCnabC2n2b2„Crnrnabr„Cnnnanb

二项展开式的通项公式：Trnrr1Cnabr(r0，1„„n)

Crn为二项式系数（区别于该项的系数） 性质：

（1）对称性：CrnrnCnr0，1，2，„„，n （2）系数和：C01„CnnnCnn2 C1nC3nC5n„C024n1nCnCn„2 （3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

nn221项，二项式系数为Cn；n为奇数时，(n1)为偶数，中间两项的二项式 n1n1系数最大即第n1项及第n11项，其二项式系数为Cn2Cn222

如：在二项式x111的展开式中，系数最小的项系数为（用数字表示）

（∵n＝11

∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第1226或第7项 由Cr11r11x(1)r，∴取r5即第6项系数为负值为最小：

C6511C11426 又如：12x2004ax2„„a20040a1xa2200x4xR，则 a0a1a0a2a0a3„„a0a2004（用数字作答）

（令x0，得：a01

令x1，得：a0a2„„a20041

∴原式2003a0a0a1„„a20042003112004） 52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）必然事件，P)1，不可能事件，P()0

（2）包含关系：AB，“A发生必导致B发生”称B包含A。

A B

（3）事件的和（并）：AB或AB“A与B至少有一个发生”叫做A与B 的和（并）。

（4）事件的积（交）：A·B或AB“A与B同时发生”叫做A与B的积。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。 A·B

（6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A AA，AA

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。

53. 对某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即 P(A)A包含的等可能结果一次试验的等可能结果的总数mn

（2）若A、B互斥，则PABP(A)P(B) （3）若A、B相互独立，则PA·BPA·PB （4）P(A)1P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生

k次的概率：Pk)Ckkn(np1pnk

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。 （1）从中任取2件都是次品；

C22P41C2

1015 （2）从中任取5件恰有2件次品；

C234C6P2C5101021 （3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品” ∴mC22133·464

2 ∴PC24·6433·310344125 （4）从中依次取5件恰有2件次品。

解析：∵一件一件抽取（有顺序） ∴nA522310，mC4A5A6

∴PC2A2345A6104A5 1021 分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。 54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。

要熟悉样本频率直方图的作法： （1）算数据极差xmaxxmin； （2）决定组距和组数； （3）决定分点； （4）列频率分布表； （5）画频率直方图。

其中，频率小长方形的面积组距×频率组距 样本平均值：x1nx1x2„„xn 样本方差：S21x1x2x2x2„„x2nnx

如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为

____________。

（C4C2105C6） 15 56. 你对向量的有关概念清楚吗？

（1）向量——既有大小又有方向的量。

（2）向量的模——有向线段的长度，|a|

 （3）单位向量|aa0|1，a0|

a|0，| （4）零向量0|0

（5）相等的向量长度相等ab方向相同 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。

 b∥a(b0)存在唯一实数，使ba

（7）向量的加、减法如图：

OAOBOC

OAOBBA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

， e1e2是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一

实数对1、2，使得a1e12e2，e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

（9）向量的坐标表示

 i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得

axiyj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：ax，y，即为向量的坐标表示。

 设ax1，y1，bx2，y2

 则abx1，y1y1，y2x1y1，x2y2  ax1，y1x1，y1 若Ax1，y1，Bx2，y2

则ABx2x1，y2y1 |AB|x2x12y2y12，A、B两点间距离公式

57. 平面向量的数量积

（1）a·b|a|·|b|cos叫做向量a与 b的数量积（或内积）。  为向量a与b的夹角，0，

b B O  a D A

数量积的几何意义：

 a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos的乘积。 （2）数量积的运算法则  ①a·bb·a

 ②(ab)ca·cb·c

 ③a·bx1，y1·x2，y2x1x2y1y2

 注意：数量积不满足结合律(a·b)·ca·(b·c)  （3）重要性质：设ax1，y1，bx2，y2  ①a⊥ba·b0x1·x2y1·y20  ②a∥ba·b|a|·|b|或a·b|a|·|b|

 ab（b0，惟一确定） x1y2x2y10

2 ③a|a|2x2y2，|11a·b||a|·|b|

 ④cosa·bx2y1y2|x1a|·|b|x2y2·x2y2

1122［练习］

（1）已知正方形ABCD，边长为1，ABa，BCb，AC c，则

|abc|

答案：22

 （2）若向量ax，1，b4，x，当x时a与b共线且方向相同

答案：2

a、b均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|a3 （3）已知b|

答案：13 58. 线段的定比分点

设P1x1，y1，P2x2，y2，分点Px，y，设P1、P2是直线l上两点，P点在l上且不同于P，若存在一实数，使P1、P21PPP2，则叫做P分有向线段P1P2所成的比（0，P在线段P1P2内，0，P在P1P2外），且

xx1x2xx1x2 1，P为P21P2中点时，yy1y21yy1y

22 如：ABC，Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3

则ABC重心G的坐标是x1x2x3yy2y33，13

※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？ 59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线线∥面面∥面 判定线⊥线线⊥面面⊥面性质

线∥线线⊥面面∥面 线面平行的判定：

a∥b，b面，aa∥面

a b 

线面平行的性质：

∥面，面，ba∥b 三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面，AO为PO在内射影，a面，则 a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO

P  O a 线面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥

a O α b c 面面垂直：

a⊥面，a面⊥

面⊥面，l，a，a⊥la⊥

α a l β

a⊥面，b⊥面a∥b 面⊥a，面⊥a∥

a b  60. 三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

＝0o时，b∥或b

（3）二面角：二面角l的平面角，0o180o

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。） 三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 ［练习］

（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。 证明：coscos·cos

A 61. 空间有几种距离？如何求距离？

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。

如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则： （1）点C到面AB1C1的距离为___________； （2）点B到面ACB1的距离为____________；

（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________； （4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________； （5）点B到直线A1C1的距离为_____________。

α O θ β B C D

（为线面成角，∠AOC=，∠BOC=）

（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。 ①求BD1和底面ABCD所成的角； ②求异面直线BD1和AD所成的角； ③求二面角C1—BD1—B1的大小。

D1 C1 A1 B1 H G D C A B

（①arcsin3o64；②60；③arcsin3）

（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二

面角的大小。

P F D C A E B

（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线„„）

D C A B D1 C1 A1 B1

62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？ 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

RtSOB，RtSOE，RtBOE和RtSBE 它们各包含哪些元素？ S正棱锥侧12C·h'（C——底面周长，h'为斜高） V1锥3底面积×高

63. 球有哪些性质？ （1）球心和截面圆心的连线垂直于截面rR2d2

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！ （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

k1·k21l1⊥l2

66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系？ 圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

（4）S球4R，V球24R3 3联立方程组关于x（或y）的一元二次方程“”0相交；0相切；0相离

（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。 68. 分清圆锥曲线的定义

如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面 积为（ ） A.3B.4C.33D.6

答案：A

64. 熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角y 0，，ktan2y1x，x1x22x12

 P1x1，y1，P2x2，y2是l上两点，直线l的方向向量a1，k （2）直线方程：

点斜式：yy0kxx0（k存在） 斜截式：ykxb 截距式：xayb1 一般式：AxByC0（A、B不同时为零） （3）点PxC 0，y0到直线l：AxByC0的距离dAx0By0A2B2

（4）l2k11到l2的到角公式：tank1k

1k2 l2k11与l2的夹角公式：tank1k

1k2 65. 如何判断两直线平行、垂直？

A1B2A2B1ACl1∥l2

12A2C1 k 1k2l1∥l2（反之不一定成立） A1A2B1B20l1⊥l2

椭圆PF1PF22a，2a2cF1F2第一定义双曲线PF1PF22a，2a2cF1F2

抛物线PFPK第二定义：ePFcPKa 0e1椭圆；e1双曲线；e1抛物线

y a2 b xc O F1 F2 a x

x2y2a2b21ab0

a2b2c2

x2y2a2b21a0，b0

c2a2b2

e>1 e =1 P 0x2222 69.与双曲线a2yb21有相同焦点的双曲线系为xa2yb20 70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。） 弦长公式P1P21k2x21x24x1x2

112k2y1y24y1y2 71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？

如：

y P(x0,y0) K F1 O F2 x l

x2y2 a2b21

PF2PKe，PFa22ex0cex0a PF1ex0a

y A P2 O F x P1 B

y22pxp0

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。 72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如：椭圆mx2ny21与直线y1x交于M、N两点，原点与MN中点连

线的斜率为2m2，则n的值为

答案：

m2n2 73. 如何求解“对称”问题？

（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。 （由axx'2，byy'2x'2ax，y'2by） 只要证明A'2ax，2by也在曲线C上，即f(x')y' （2）点A、A'关于直线l对称AA'⊥lAA'中点在l上

kAA'·kl1AA'中点坐标满足l方程

74.圆x2y2r2的参数方程为xrcos（yrsin为参数）

椭圆x2y2 xacosa2b21的参数方程为ybsin（为参数）

75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。

（直接法、定义法、转移法、参数法）

76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。

（求