2020-2021学年广东省(惠州一中、汕头金山中学、深圳实验学校)四校高一下学期期中联考数学试题

2020-2021学年广东省（惠州一中、汕头金山中学、深圳实验学

校、珠海一中）四校高一下学期期中联考数学试题

一、单项选择题

1．已知向量a1,1，b1,t，且ab，则t（ ） A．2

B．2

C．1

D．1

2．设复数z满足2zA．第一象限

21i，则在复平面内z对应的点位于（ ） iB．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

3．已知z13icosππisin，则argz（ ） 66

C．

A．

π 3 B．

π 22π 3 D．

5π 64．如图，在△ABC中，AD1AB，点F是BC的中点，设ABa，ACb，则DF（ ） 4

A．

13ab 42B．

11ab 42 C．

33ab 42 D．

31ab 42E为BC的中点，则异面直线CB1与DE所成角的余弦值5．已知ABCDA1BC11D1为正方体，

为（ ） A．

6 3 B．

2 2 C．

25 5 D．

10 106．已知BC2，ABAC2，则△ABC的面积的最大值为（ ） A．2

B．2

C．3

D．3

7．已知点A2,1，B3,4，C1,1，D3,3，与AB同向的单位向量为e，则向量CD在向量AB方向上的投影向量为（ ） A．35e

B．32e

C．3e

D．5e

试题gm

高中数学

8．已知点E在正方体ABCDA，F是AA1的中点，若1BC11D1的侧面AA1B1B内（含边界）

D1ECF，则tanBCE的最小值为（ ）

A．5 5

B．21

C．31

D．3 5二、多项选择题

9．以下是真命题的是（ ）

A．已知a，b为非零向量，若abab，则a与b的夹角为锐角 B．已知a，b，c为两两非共线向量，若abac，则abc C．在三角形ABC中，若acosAbcosB，则三角形ABC是等腰三角形

D．若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的垂足是底面三角形的外心

M的平面为，以下描述10．已知点M为正方体ABCDA1BC11D1内（含表面）的一点，过点

正确的有（ ）

A．与AA1和B1C1都平行的有且只有一个

B．过点M至少可以作两条直线与AA1和B1C1所在的直线都相交 C．与正方体的所有棱所成的角都相等的有且只有四个 D．过点M可以作四条直线与正方体的所有棱所成的角都相等

11．已知圆锥SO的母线长为2，底面半径为3，平面SAB为轴截面，点M为底面圆周上一动点（可与点A，B重合），则（ ） A．三棱锥SABM体积的最大值为1 B．直线OM与SA所成角的范围为,

62C．三角形SAM面积的最大值为3 ππD．三角形SAM为直角三角形时所在平面与底面所成角的正弦值为

2 23,2，则以下可能是b与ab的12．若a，b是两个非零向量，且abab，3夹角的是（ ） A．

π 6 B．

π 4 C．

π 3 D．

5π 12三、填空题

试题gm

高中数学

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

absinC，则acsinAsinBB______．

14．已知a，b是单位向量，且2ab3,1，则ab______．

15．已知三角形ABC的斜二侧画法的直观图是边长为2的正三角形ABC（如图所示），则

CACB______．

16．在三棱锥DABC中，已知平面BCD平面ABC，CBD90，BCA45，

AB22，BD2，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为______．

四、解答题

17．已知A1,1，B1,4，Ca,b．

（1）若A，B，C三点共线，求a与b满足的关系式； （2）若AC2AB，求点C的坐标．

N在同一平面内，BN4，BAM30，B，M，18．如图，已知点A，且AM2，AB23，ABN120．

（1）求MN的长； （2）求△AMN的面积．

19．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知baac．

2（1）求A的取值范围；

（2）若a1，求bc的取值范围．

33（可能会用到的公式：sin33sin4sin，cos34cos3cos）

20．如图，在四棱锥PABCD中，AD2，ABBCCD1，BC//AD，PAD90，

PBA为锐角，平面PBA平面PBD．

（1）证明：PA平面ABCD；

试题gm

高中数学

（2）若AD与平面PBD所成角的正弦值为

2，求二面角PBDC的余弦值． 4

21．如图，四棱锥PABCD的底面为平行四边形，E是PB的中点，过A，D，E的平面与平面PBC的交线为l． （1）证明：l//平面PAD；

（2）求平面截四棱锥PABCD所得的上、下两部分几何体的体积之比．

22．如图直角坐标系内，A在半径为1的上半圆上，C2,0，△ABC是以A为直角的等腰直角三角形，设AOx，且0180． （1）求CA（用表示）； （2）求B点的坐标（用表示）； （3）求△BCO的面积的最大值．

参考答案

1．答案：C 3．答案：B 5．答案：D 7．答案：B 9．答案：BD

2．答案：A 4．答案：B 6．答案：C 8．答案：A 10．答案：CD

试题gm

高中数学

11．答案：ABD 13．答案：

12．答案：ABC 14．答案：π 3

10 215．答案：26

16．答案：20π

17．答案：解：（1）AB2,3，ACa1,b1，

因为A，B，C三点共线，所以AB向量与AC也共线，所以2b13a1， 所以a与b满足的关系式为3a2b50．

（2）由ACAB，可得AC2AB，或AC2AB， 当AC2AB时，有a1,b122,3a3，b7； 当AC2AB时，有a1,b122,3a5，b5； 所以点C的坐标为3,7或5,5．

18．答案：解：（1）连BM，在△ABM中，由余弦定理可得，

BMAM2AB22AMABcos302，

所以ABM30，所以MBN90，所以MNBM2BN225．

（2）S△ABN113ABBNsinB2346， 222S△ABM111ABAMsinA2323， 22211MBBN244， 22S△MBN所以△AMN的面积为S△ABNS△ABMS△MBN23．

22219．答案：解：（1）由题意bac及余弦定理bac2accosB可得

2ac2acosB，

试题gm

高中数学

由正弦定理

acb， sinAsinCsinB可得sinAsinC2sinAcosBsinAB2sinAcosBsinBA， ∵A，B0,π，∴B2A，∴Cπ3A，∴A（2）由（1）可得

ππ,． 64sinBsin3A2sinAcosA3sinA4sin3A15bc4cosA，

sinAsinA44∵A12131ππ， ,,，∴cosA4242464所以bc12,23．

20．答案：解：（1）证明：在平面PBA内过A作AEPB于E， 因为平面PBA平面PBD，又平面PBA平面PBDPB， 所以AE平面PBD，

∵BD平面PBD，所以AEBD， 过B，C分别作BM、CNAD于M、N， 易得DBA90，即ABBD，

∵ABAEA，且AB、AE平面PBA，所以BD平面PBA，∵PA平面PBA， 所以BDPA，因为PAAD，ADBDD，

PA平面ABCD．

（2）二面角PBDC的平面角与二面角PBDA的平面角互补， 由（1）可得，PBA为二面角PBDA的平面角，

在Rt△AED中，ADE为AD与平面PBD所成的角，由其正弦值为

2， 4可得AE222，因为AB1，所以BE，所以cosPBA， 222试题gm

高中数学

所以二面角PBDC的余弦值为2． 221．答案：解：（1）证明：∵AD//BC，所以AD//平面PBC， 因为平面与平面PBC的交线为l，且AD，所以AD//l， 因为l平面PAD，所以l//平面PAD． （2）设l与PC交于F，易得F为PC的中点， 连DF，DE，DB，EC， 设四棱锥PABCD的体积为V， 所以VEABDVEBDCV， 4V， 8又VEBCDVDBEC2VDEFC，∴VDEFC所以平面截四棱锥PABCD所得的下面部分几何体的体积为

VVV5V3V，所以上面部分的体积为， 44888所以平面截四棱锥PABCD所得的上、下两部分几何体的体积之比为3:5．

22．答案：（1）Acos,sin，CAcos2,sin，

AC23（2）（法一）设ACB，由余弦定理可得，AC54cos，cos，

4AC2由正弦定理可得，sinsin， AC22πcossincossin2， 所以yB2ACsin2AC42222πxB2ACcos22ACcossin2cossin， 242B点的坐标为cossin,cossin2．

（法二）假设此直角坐标系为复平面直角坐标系，

试题gm

高中数学

所以CA对应的复数为CAcos2isin， 所以CBCA2cosππisincossin2cossin2i， 44所以B的坐标为cossin,cossin2． （3）S△BCO1π2cossin22sin2， 24所以，当π时，△BCO的面积取最大值，且为22． 4试题gm