有理数第一讲(正负数、有理数分类、数轴)(学生版)

有理数第一讲

【知识框架】

【入门测】

1、计算下面各题： （1）34-35+12 （2）2147235

（3）

294579 （4）78712(69714)

2、解方程：

（1）2x22 （2）3x50

（3）2x7965 （4）35x15x415

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一、有理数

（一）认识正数与负数和0

【笔记】

1、正数：像+40，+20等的数，它们都大于0.（“+”号可省略不写）

2、负数：像-10，-20等的数，在正数前加上“-”（读作负）号，它们都小于0. （“-”号不可省略）

3、0：既不是正数也不是负数.

4、正数与负数是表示相反意义的量 【例1】下列各数中为负数的是（ ） A. 0 B. -1 C. 13 D. 2.5 【例2】

（1）小能同学参加航模比赛赢得第一名，获得500元奖学金，记作+500元，那么，

他购买模型配件支出60元，记为 .

（2）珠穆朗玛峰是世界第一高峰，高于海平面8844.43米，记为海拔+8844.43米.

吐鲁番盆地是世界最低的盆地，它的海拔高度为-1米，表示 .

【过关检测】

1、在-1、-3、0、1这几个数中负数的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C.2个 D. 3个 2、在下列各数：○1+8.3，○2-4，○3-0.8，○418，○50，○6，○7-a中，一定是负数的有 . 3、下列说法正确的是（ ） A. –a一定是负数

B. 一个数不是正数就是负数 C. -0是负数

D. 在正数前面加“-”号，就成了负数

4、下列选项中，具有相反意义的量是（ ） A. 盈利5万元与亏损10万元 B. 胜两局与平三局

C. 气温升高3℃与气温为-3℃ D. 向东行20米与向南行20米

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5、杨梅开始采摘啦！每筐杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，则这4筐杨梅的总质量是（ ）

A. 19.7千克 B. 19.9千克 C. 20.1千克 D. 20.3千克

6、一批自动铅笔笔芯的直径要求可以有0.02mm的误差，现抽查6个样品，超过规定的毫米值记为正数，不足值记为负数。检查结果如表，则符合要求的产品数量为（ ）

1 2 3 4 5 6 0.031 0.017 0.023 0.021 0.015 0

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

（二）认识有理数

【笔记】

1、小学知识回顾： 整数：5、2、0、-1…… 分数：

12、3、-7…… 有限小数：0.1、0.2 ……

无限循环小数：0.3、0.5……无限循环小数 无限不循环小数：、2 ……

2、有理数的分类:可按定义分，也可按符号分： 按定义分：

正整数零自然数整数有理数（按定义分） 负整数分数正分数负分数

3

按符号分：

正有理数正整数正分数有理数（按符号分类）零 负有理数负整数负分数备注：

小数怎么分：

1、分数：分数包括所有的有限小数及无限循环小数 2、无限不循环小数不属于有理数，属于无理数。 （无理数会在后续七年级下册的书本中学到） 无理数的三种情况： ○

1；（其他含的数） ○21.121121112…； ○32等

3、含“非”的四个概念 非负数：正数、0； 非正数：负数、0； 非负整数：正整数、0； 非正整数：负整数、0

备注：非负整数、非正整数这两个概念不包含分数. 含“非”的概念都包含0 【例1】请将下列数进行分类:

-12，1.11111，9.3，0，+2004，2，1.121221222…，227，-2 整数有 ； 分数有 ； 有理数有 ； 【例2】下列说法中正确的是（ ） A. 正整数和负整数统称整数 B. 分数包括所有小数

C. 正分数、负分数和0统称分数 D. 整数和分数统称有理数

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【例3】含“非”概念判断：

（1）非正数是除了正数以外的所有数（ ）

（2）非正整数就是除了正整数以外的所有数（ ） （3）非负数一定大于0（ ） （4）非负正数就是正整数（ ） （5）非正整数只包括0和负整数（ ） 【例4】

（1）是正数而不是整数的有理数是 ； （2）是整数而不是正数的有理数是 ；

（3）既不是正数，也不是负数的有理数是 ； （4）既不是分数，也不是负数的有理数是 .【过关检测】

1、对下列各数进行分类：

27，-1，8.5，-14，-23,0.5，-3.14,0，+6，47 整数有 ； 分数有 ； 非正数有 ； 非负整数有 ； 2、既是正数，又是分数的数是（ ） A. +2 B. 0 C. 3.5 D. -214 3、下列说法正确的是（ ） A. 有最小的负整数 B. 有最大的非负整数 C. 没有最大的正整数 D. 没有最小的正整数

4、下列说法正确的是（ ）

A. 非负正数就是正整数，非正整数就是负整数 B. 非正整数就是除了正整数以外的所有数 C. 0既是非负整数又是非正整数

D. 没有最大的正整数，也没有最大的非正整数

5、有理数中，是整数而不是正数的数是 ； 有理数中，是负数而不是分数的数是 .

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二、数轴

（一）用数轴表示数

【笔记】

1、数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的一条直线. 数轴三要素：原点，正方向，单位长度. 2、画数轴步骤：

○1画一条水平的直线；

○2通常向右为正方向，用箭头表示； ○3直线上适当位置取一实心点作原点；

○4选取适当长度为单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同

一数轴的单位长度一致.

3、确定整数点的方法：直接读出；

确定不是整数点的方法：看相邻两整数. 4、数轴比较大小：

左边的数＜右边的数；负数＜0＜正数

5、观察数轴发现：没有最大的数，没有最小的数，有最大的负整数：-1，有最小的正整数：1 【例1】下列数轴的画法中正确的有（ ）个

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

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【过关检测】

1、下列所画数轴对不对？如果不对，请指出错在哪里？

2、如图，写出数轴上点A、B、C、D、E表示的数.

3、画出数轴并表示下列有理数：

-2,2，-1,312,0

4、数轴上表示3的点在原点的哪一侧？表示数-2的点在原点的哪一侧？设A是一个负数，表示-A的点在原点的哪一侧？

5、观察数轴，思考：有没有最大的正整数？有没有最大的负整数？有没有最小的正整数？有没有最小的负整数？如果有，各是什么？

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（二）用数轴求点之间的距离

【笔记】（结合数轴用具体数字理解）

1、数轴上的点a到原点的距离： ○1当a为正数，a到原点的距离是a；

○2当a为负数，a到原点的距离是a的数字部分； ○3当a为0，a到原点的距离是0. 【总结】

当a为非负数时到原点的距离即为本身； 当a为负数时到原点的距离为数字部分. 2、数轴上的点a与b两点的距离：（a＜b） ○1当a，b是正数，两个点的距离为b-a；

○2当a是负数，b是正数，两个点的距离是b+（a的数字部分）; ○3当a，b是负数，两个点的距离是（a的数字部分）-（b的数字部分） 3、○1已知两点求距离只有一种情况；

○2已知一点的距离求另一点需要分类讨论（如图像炸烟花）

【例1】

（1）数轴上表示-4的点到原点的距离为 . （2）数轴上表示-5与-11的两点间的距离为 . （3）数轴上表示-7和+3的两点之间的距离为 .

【例2】如图，数轴上A,B两点之间的距离是8，那么点B表示的数是 .

【例3】数轴上到-4的距离为2的数是 .

8

【例4】已知点A在数轴表示的数是-2，点B距离点A 5个单位长度，点C距离点B

2个单位长度，那么点C表示的数为 .

【过关检测】

1、数轴上，已知点A对应的数为-3，点B对应的数为5，则AB两点间的距离为 .

2、将一刻度尺如图所示放在数轴上，数轴上的两点A，B恰好与刻度尺上的“0cm”和“7cm”分别对应，若点A表示的数为-3，则点B表示的数对应为 .(数轴的单位长度为1cm)

3、数轴上有A、B两点，若A与原点的距离为3，则点A对应的数为 . 4、数轴上有A、B两点，若A与原点的距离为3，且A、B的距离为1，求点B对应的数为 .

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【出门测】

1、按有理数分类方式填空：

( ( ( ) ( ) ) 有理数（按定义分） )( ) ( ( ) )( )( )( )有理数（按符号分类）( )( ) ( )( )( )2、-4.5 , 6 , 0 , 2.4 ， ， 12，0.313 ， 3.14 ，-11，以上各数

中， 属于负数， 属于非正数， 属于非负有理数。

3、判断下列说法正确与否

○

1一个有理数不是整数就是分数（ ） ○

2一个有理数不是正数就是负数（ ） ○

3一个整数不是正的，就是负的（ ） ○

4一个分数不是正的，就是负的（ ） 4、画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把数用“＜”连接 +5，-3.5，12，112，4，0，2.5

5、数轴上点A对应的数为-3，那么与A相距1个单位长度的点B所对应的数 是 ．

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【课后习题】

一、选择题

1、表示相反意义量的是（ ） A、“前进8m”与“前进6m” B、“盈利50元”与“亏损160元” C、“黑色”与“白色” D、“你比我高3cm”与“我比你重5千克” 2、下列说法中，错误的是（ ）

A、 零是非负有理数 B、自然数包括零

C、正整数与负整数统称为整数 D、整数与分数统称为有理数 3、海水涨了-4cm的意义是（ ）

A、海水涨了4cm B、海水下降了4cm C、海水水位没有变化 D、无法确定 4、下列说法正确的是（ ）

A、一个数前面加上“-”号，这个数就是就是负数 B、带负号的一定是负数 C、零既不是正数也不是负数 D、若a是正数，则-a不一定是负数 5、-a一定是（ ）

A、正数 B、负数 C、正数或负数 D、正数或零或负数 6、如图，在数轴上点A表示的数可能是（ ）

A、1.5 B、1.5 C、2.6 D、2.6

7、电子跳蚤落在数轴上的某点Ko处，第一步从Ko向左跳1个单位到K1，第二步从K1向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3向右跳4个单位到K4……按此规律跳了100步时，电子跳蚤在数轴上的数是0，则Ko所表示的数是（ ）

A、0 B、100 C、50 D、-50 二、填空题

8、孔子出生于公元前551年，如果用-551年表示，那么下列中国历史名人的出生年代应表示为：

(1)司马迁出生于公元前145年：_____． (2)李白出生于公元701年：_____． (3)欧阳修出生于公元1007年：_____． 9、（1）高出海平面342米记为+342米，那么-20米表示的是 ； （2）某工厂增产1200吨记为+1200吨，那么减产13吨记为 ，产量不增不减记为 。

10、在数轴上表示-4的点位于原点的 边，与原点的距离是 个单位长度. 11、如果全班某次数学成绩的平均成绩为83分，某同学考了85分，记作+2分，那

么得90分记作 分，-5分表示该同学的得分是 分. 12、下列所画数轴正确的是 .

13、数轴上与原点距离是5的点有 个，表示的数是 .

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14、从数轴上表示-1的点出发，向左移动两个单位长度到点B，则点B表示的数是 ，再向右移动4个单位长度到达点C，则点C表示的数是 . 三、解答题

15、把下列各数填入表示它所在的数集的圈里：

-18，

 ，3.1416，0，,2004， ，-0.142，95%，5.7 ，-π

正数集合 整数集合 负分数

16、摩托车厂周计划每天生产250辆摩托车，由于工作轮休，每天上班的人数不一定相等，实际每天生产量（与计划量相比）的增长值如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增长值 -5 +7 -3 +4 +10 -9 -25 根据上面的记录，回答： （1）哪几天生产的摩托车比计划量多？星期几生产的摩托车最多，是多少辆？ （2）星期几生产的摩托车最少？是多少辆？

17、有4箱水果，以每箱15千克为标准，超过的部分记为正，不足的记为负，这4箱水果的记录分别为+3，-4，-1，+3，求这4箱水果的总重量。

18、超市、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，超市在书店西边20米处，玩具店位于书店东边50米处．小明从书店出来沿街向东走了50米，接着又向东走了-80米，此时小明的位置在何处？在数轴上标出超市、书店、玩具店的位置，以及小明最后的位置．

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