主要内容
] 阻力产生的原因及分类 ] 两种流态
] 实际流体运动微分方程式（N－S方程） ] 因次分析方法、相似原理 ] 水头损失的计算方法
第一节 流动阻力产生的原因及分类
一、基本概念
1、湿周：管子断面上流体与固体壁接触的边界周长。以 χ 表示。 单位：米
2、水力半径：断面面积和湿周之比。
R=A
χ单位：米
π例： 圆管： R=4da2a= 正方：R== πd44a4
d2
圆环流： 明渠流：
−d2
2
πR=
(D
42
π(D+d)1
)(D−d)a
2= R=
4
2a
=
a
4
3、绝对粗糙度：壁面上粗糙突起的高度。
4、平均粗糙度：壁面上粗糙颗粒的平均高度或突起高度的平均值。以Δ表示。 5、相对粗糙度：Δ/D （D——管径）。
4-1
二、阻力产生的原因
1、外因：
（a）管子的几何形状与几何尺寸。
面积： A1＝a2 A2＝a2 A3＝3a2/4 湿周： χ1=4a χ2=5a χ3=4a
水力半径： R1＝0.25a > R2＝0.2a > R3＝0.1875a 实验结论： 阻力1 < 阻力2 < 阻力3 水力半径R，与阻力成反比。R↑，阻力↓ （b）管壁的粗糙度。 Δ↑ ，阻力↑ （c）管长。 与 hf 成正比。L↑，阻力↑ 2、内因：
流体在流动中永远存在质点的摩擦和撞击现象，流体质点由于相互摩擦所表现出的粘性，以及质点撞击引起速度变化所表现出的惯性，才是流动阻力产生的根本原因。
沿程阻力：粘性造成的摩擦阻力和惯性造成的能量消耗。
局部阻力：液流中流速重新分布，旋涡中粘性力做功和质点碰撞产生动量交换。
三、阻力的分类
1、沿程阻力与沿程水头损失
（1） 沿程阻力：沿着管路直管段所产生的阻力（管路直径不变，计算公式不变） （2） 沿程水头损失：克服沿程阻力所消耗的能量∑hf＝hf1+ hf2+ hf3 2、局部阻力与局部阻力损失
（1） 局部阻力：液流流经局部装置时所产生的阻力。 （2） 局部水头损失：∑hj＝hj1+ hj2+ hj3 3、总水头损失：hw＝∑hf+∑hj
4-2
第二节 两种流态及转化标准
一、流动状态——流态转化演示实验：雷诺实验
结果：（a）速度小时，色液直线前进，质点做直线运动——层流 （b）速度较大时，色液颤动，质点做曲线运动——过渡区 （c）速度大时，色液不连续，向四周紊乱扩散，质点做无规则运动 ——紊流（湍流） 由此得出以下三个概念：层流、紊流、过渡状态 （1）. 层流：
流体质点平行向前推进，各层之间无掺混。主要以粘性力为主，表现为质点的摩擦和变形。为第一种流动状态。 （2）. 过渡状态：
层流、紊流之间有短暂的过渡状态。为第二种流动状态。 （3）. 紊流：
单个流体质点无规则的运动，不断掺混、碰撞，整体以平均速度向前推进。主要以惯性力为主，表现为质点的撞击和混掺，为第三种流动状态。
二、沿程水头损失与流速的关系
实验方法：在实验管路A、B两点装测压管测压降，用实测流量求流速。
hf=(p1−p2)
γQ A实验数据处理：把实验点描在双对数坐标纸上
Q=VA⇒V=回归方程式：
lghf=lgK+mlgV
4-3
o
m=1,θ=45（1）. 层流时，
（2）. 紊流时，m=1.75～2，θ＝60°
（3）. 实验还证明，不能用临界速度作为判别流态的标准，因为由层流到紊流变化时的Vcup和由紊流到层流转化时的Vcdown不同，且有Vcup > Vcdown
（4）. 流动介质变化时，Vc也不同，由此得出，Vc不能作为判别流态的标准。
三、判别流动状态的标准 Re
1、 雷诺实验中所发生的现象与下列因素有关，流体密度ρ，粘性系数μ，平均流速V，管径D，即 流动现象＝f（ρ，μ，V，D） 利用π定理可得：
流动现象＝f（ ρVD/μ ）＝f（Re） 即流动现象只与雷诺数Re有关。 对于圆管，雷诺数 Re=V——管内流速 d——管径 μ——粘性系数
工程上一般取Re临＝2000，
当Re ≤2000时，为层流， 当Re >2000时，为紊流。
2、Re 的物理意义：作用在质点上的惯性力与粘性力的比值。 证明： QF=ma
∴[F]=[ρ]L3[Vs]=ρL2V2QT=μA
ρVdVd= μν[][](1)
du
dy
⎡du⎤⎡V⎤
∴[T]=⎢ρνA⎥=⎢ρνL2⎥=[ρνLV](2)
dy⎦⎣L⎦⎣
[F]=ρL2V2=⎡LV⎤
(3)⎢⎥[T][ρνLV]⎣ν⎦
[]式中 L 为特征长度，对于圆管，L＝d 。
3、单位：无量纲数
4-4
第三节 实际流体运动微分方程式——Navier－Stokes方程式
一、简单回顾
流体平衡微分方程式：Xi−
1∂p
=0 ρ∂xi
——理想/实际、可压/不可压、绝对静止/相对静止
理想流体运动微分方程式：Xi−
1∂pduxi
=
ρ∂xidt
——只适用于理想流体
实际流体与理想流体的区别在于存在着粘性力，因此，在推导粘性流体运动方程时要考虑粘性表面力
比较项 粘性 法向应力 切向应力 变形 微小六面体表面 受力个数
理想流体 无
实际流体 有
px＝py＝pz＝pn
τ=0 不变形 法向力6个 切向力0个
px≠py≠pz≠pn
τ≠0 变形 法向力6个 切向力12个
二、 Navier－Stokes方程式——粘性不可压缩流体运动微分方程式
1、方程推导：
（1）取研究对象：微元体
从运动着的流体中取出一块微小的长方体
ABCDEFGH 边长：dx，dy，dz 质量力：ρdxdydz
设长方体 ：中心点压强：p；粘性应力：τ
4-5
（2）受力分析
质量力
表面力： 法向力（压力）：P＝ p A
切向力（内摩擦力）：T＝ τ A
A、质量力
单位质量流体所受的质量力在三个坐标轴方向的分量为：X，Y，Z.
B、表面力：表面力有两部分。
① 由压强形成的压力，单位质量流体所受的压力在三个坐标方向的分量分别
−
1∂p
;ρ∂x
−
1∂p
;ρ∂y
−
1∂p
ρ∂z
② 流体的粘滞力而引起的流体间的相互作用力，此粘滞力在每个面上有三个分
量。则得到受力分析表4－1
其中，第一个下脚标表示作用面的法线方向
第二个下脚标表示应力方向 法向力以拉力为正
受力分析表4－1
面 正应力 切向应力 （τxx−AE −∂τdx∂τxxdx∂τdx ）−（τxz−xz）（τxy−xy）−∂x2∂x2∂x2BH （τxx+∂τdx∂τxxdx∂τdx）（τxz+xz）（τxy+xy） ∂x2∂x2∂x2∂τyxdy∂τyzdy∂τyydy （τyy−）−（τyx−）−（τyz−）AC −∂y2∂y2∂y2FH （τyy+∂τdy∂τdy∂τyydy ）（τyz+yz）（τyx+yx）∂y2∂y2∂y2（τzz−AG −∂τdz∂τdz∂τzzdz）−（τzx−zx）−（τzy−zy） ∂z2∂z2∂z2DH （τzz+∂τdz∂τzzdz∂τdz）（τzx+zx）（τzy+zy） ∂z2∂z2∂z2 4-6
粘滞应力在 x 轴方向的投影之和：
∂τxxdx∂τxxdx⎤∂τzxdz∂τzxdz⎤⎡⎡+−−++−−dydzdxdyττττ（）（）（）（）xxxxzxzx⎥⎥⎢⎢∂x2∂x2⎦∂z2∂z2⎦⎣⎣
∂τyxdy∂τyxdy⎤⎡
+（−dzdx（τyx−）⎢τyx+∂y2）⎥∂y2⎦⎣
∂τyx⎛∂τxx∂τyx∂τzx⎞∂τxx∂τzx
=dxdydz+dxdydz+dxdydz=⎜dxdydz（2）++⎟⎟⎜∂x∂y∂z∂y∂z⎠⎝∂x
则单位质量流体所受的粘滞应力在 x 轴方向投影之和为：
1⎛∂τxx∂τyx∂τzx⎞
⎜⎟++ （3） ⎜⎟ρ⎝∂x∂y∂z⎠
⎛∂u∂u⎞据Stokes公式： τij=μ⎜i+j⎟ 得：
⎟⎜∂x⎝j∂xi⎠τxx∂ux⎛∂uy∂ux⎞⎛∂uz∂ux⎞+， τyx=μ⎜， +=τμ=2μ⎟⎜⎟ zx⎜∂x⎟∂x∂z∂y∂x⎝⎠⎝⎠代入（3）式得：
1⎛∂τxx∂τyx∂τzx⎜++ρ⎜∂x∂y∂z⎝⎛∂2ux∂2ux∂2ux⎞⎟⎟=ν⎜⎜∂x2+∂y2+∂z2⎠⎝⎞∂⎛∂ux∂uy∂uz⎞⎟⎜∂x+∂y+∂z⎟⎟ （4） ⎟+ν∂x⎜⎝⎠⎠
∂ux∂uy∂uz++=0 对于不可压流体，∂x∂y∂z则
1⎛∂τxx∂τyx∂τzx⎞2
⎜⎟++=∇νux （5） ⎜⎟∂y∂z⎠ρ⎝∂x
——此式为单位质量流体所受的粘滞力在 x方向的分量。
同理可求其在 y、z 方向的分量为ν∇uy ，ν∇2uz
2
4-7
于是根据牛顿第二定律，对于单位质量流体，在各坐标方向上各作用力的投影之和应等于此流体在各个坐标方向上的惯性分力。则有：
X−
du1∂p
+ν∇2ux=x
dtρ∂x
duy1∂p2
+ν∇uy=Y− （6）
dtρ∂yZ−
1∂pdu
+ν∇2uz=z
dtρ∂z
——Navier－Stokes方程式：不可压缩流体运动微分方程式。
二、Navier－Stokes方程式说明：
1、对于理想流体ν＝0，(6)式变成Eulerian运动微分方程式。 2、当u＝0时，N－S方程变成Eulerian平衡微分方程式。 3、适用条件：不可压缩流体
4、方程可解性：方程中有四个未知数 p，ux，uy，uz，需与另外一个方程联立求解。N－S方程求解是一个复杂问题，大部分情况下不能求解。
可求解经典的层流问题： 圆管层流
平行平板间流体层流 同心圆环间流体层流
5、方程物理意义：单位质量的流体所受质量力、压力、粘性力（包括粘性切向力和粘性附加法向力）在各坐标轴上的分力之代数和等于加速度分量。
4-8
第四节 因次分析和相似原理
由于流体流动十分复杂，至今对一些工程中的复杂流动问题，仍不能完全依靠理论分析来求得解答。因此，实验常常是流动研究中最基本的手段，而实验的理论基础则是相似原理，实验资料的数据分析则要应用因次（量纲）分析。
一、因次分析
1、概念
（1）单位：量度各种物理量数值大小的标准。
基本单位：相互独立、不能互换的单位。
导出单位：由基本单位根据物理方程或定义而导出的单位。 （2）因次：即量纲，是标志性质不同的各类物理量的符号。
如 长度因次用 [L] 表示。
（3）基本因次：某种单位制中基本单位对应的因次，它具有独立性。
如国际单位制： [M]，[L]，[T]
（4）因次式：因次表达式。
2、因次齐次性原理（和谐性原理）——因次分析的基本原理 能正确反映物理现象的方程，各项的因次必须一致。
V12V22p2
+α1=z2++α2+hw1−2 如伯努利方程：z1+γγ2g2g
p1
因次齐次性用途： （1）. 物理量因次的推导 （2）. 检验新建立的公式的正确性
（3）. 建立物理方程式，求导公式中物理量的指数 （4）. 有效安排实验
3、因次分析方法之一——雷利（Rayleigh）法
适用于变量等于或少于4个：直接应用因次齐次性原理来分析。
例： 在圆管层流中，沿壁面的切应力τ0与管径 d、流速 V 及粘性系数 µ 有关，用量纲分析法导出此关系的一般表达式。
解：n＝4，应用雷利法，假设变量之间可能的关系为一简单的指数方程：
τ0=kdxVyμz （k为实验系数）
按MLT写出因次式为：[ML−1T−2]=[L]x[LT−1]y[ML−1T−1]z 对因次式的指数求解 对于M： 1＝z
L：－1＝x＋y－z T：－2＝－y－z
4-9
所以 x＝－1，y＝1，z＝1 代入函数式得：τ0=K
VμVμ （实验已证实：τ0=8） dd
4、因次分析方法之二——BuckinghamΠ定理（白金汉的Π定理）
（1）Π定理适用于：变量多于4个的复杂问题分析。
（2）Π定理内容：某一物理过程包含有n个物理量，涉及到m个基本因次，则这个物理现象可由n个物理量组成的n－m个无因次量所表达的关系式来描述，即 f（ Π1， Π2，… ，Πn－m）＝0 （3）应用Π定理的步骤（5步）： ① 确定影响此物理现象的各个物理量
f(x1,x2,L,xn)=0
② 从n个物理量中选取m个基本物理量作为m个基本因次的代表。m一般为3，应使其分别具有质量因次、时间因次（运动因次）、长度因次，如ρ、V、d ③ 从三个基本物理量以外的物理量中，每次轮取一个，连同三个基本物理量组合成一个无量纲的 Π 项，一共写出 n－3 个 Π 项。
bc
π1=x4x1ax2x3
1
12
2
1
bcπ2=x5x1ax2x3
2
M
④ 据因次齐次性求各 Π项的指数 ai，bi，ci ⑤ 写出描述物理现象的无因次关系式
F(π1,π2,L,πn−m)=0
例题1：流体螺旋桨推力问题涉及的变量符号因次如下表，试利用因次分析方法建立变量间的无因次关系式。
（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）
变量 轴推力 直径 速度 转数 重力加速度 密度 粘度
符号 因次
P D V n g ρ ν
MLT－2 L LT－1 T－1 LT－2 ML－3 L2T－1
4-10
解：
a n＝7
f（P，D，V，n，g，ρ，ν）＝0 b 选ρ， V， D为基本的物理量 c 建立n－m＝7－3＝4个π项
π1=PρaVbDc
1
1
1
π2=nρaVbDc
2
2
2
π3=gρVD
对于Π1项：
a3b3c3
π4=νρVD
a4b4c4
d 据因次齐次性求各指数 ai，bi，ci
[M0L0T0]=[MLT−2][ML−3]a1[LT−1]b1[L]c1
则等式两边对应指数相等。 对于M：0＝1+a1
L： 0＝1－3a1+b1+c1 T： 0＝－2－b1
所以 a1＝－1， b1 ＝－2， c1 ＝－2 则： π1=P/ρV2D2
同理： π2=nD/V,π3=Dg/V2,π4=ν/VD
⎛PnDDgν⎞⎟=0 则： F⎜,,,⎜ρV2D2VV2VD⎟⎝⎠例2. 已知液体在管路中流动，压力坡度
Δp
，与下列因素有关：ρ，V，D，µ，L
Δ。试用因次分析方法确定变量间的函数关系式，并得出计算hf的公式
解：（1）
Δp
=f(D,ρ,μ,V,Δ) L
⎡Δp⎤−2−2−3
[]=[MLT]；[D]=[L]；ρ=[ML]； ⎢⎥⎣L⎦
[μ]=[ML−1T−1]；[V]=[LT−1]；[Δ]=[L]
（2）选ρ， V， D为基本的物理量 （3）建立3个无因次π项
π1=μρaVbDc11221π2=ΔρaVbDcπ3=对于Π1项：
2 Δpa3b3c3ρVDL[M0L0T0]=[ML−1T−1][ML−3]a1[LT−1]b1[L]c1
4-11
对于 M： 0＝1+a1
L： 0＝－1－3a1+b1+c1 T： 0＝－1－b1
所以 a1＝－1， b1 ＝－1， c1 ＝－1
π1=μρVD 对于Π2项：
[M0L0T0]=[L][ML−3]a2[LT−1]b2[L]c2
对于 M：0＝a2
L： 0＝1－3a2+b2+c2 T： 0＝－b2
所以 a2＝0， b2 ＝0， c2 ＝－1
πΔ2=D 对于Π3项：
[M0L0T0]=[ML−2T−2][ML−3]a3[LT−1]b3[L]c3对于 M：0＝1+a3
L： 0＝－2－3a3+b3+c3 T： 0＝－2－b3
所以 a3＝－1， b3 ＝－2， c3＝1
π3=ΔpDLρV2 （4）所以，ΔpD⎛LρV2=φ⎜⎜μ⎝ρVD,Δ⎞D⎟⎟⎠=φ⎛⎜1Δ⎞⎝Re,D⎟⎠ Δp⎛12L=φ⎜⎝Re,Δ⎞D⎟ρV⎠D (5) hΔpL⎛1Δ⎞ρV2L⎛12f=Lγ=φ⎜⎝Re,D⎟⎠Dγ=2φ⎜⎝Re,Δ⎞D⎟LV⎠D2g 令λ=2φ⎛⎜1⎝Re,Δ⎞D⎟⎠，则 hLV2f=λD2g——达西公式 λ——沿程阻力系数
4-12
⑥ Π定理的实用价值：
对于一些复杂的物理现象，即使无法建立微分方程，但只要知道这些现象包含哪些物理量，就能求出它们的无因次综合量——相似准数，从而提供了找出这些物理现象的规律性的可能性。
二、相似原理
1、相似原理：研究模型与实物之间相似关系的基本原理。
2、相似运动：如两个流动相应点上所有表征流动状况的相应物理量都维持各自的固定比例关系，则这两个流动是相似的。
3、动力学相似包括：几何相似、运动相似和动力相似。 n——原型 m——模型
4、几何相似
（1）定义：原型与模型之间对应的几何尺寸成比例，对应角度相等。 （2）长度比尺： δnl=ll=原型长度 m模型长度（3）面积比尺： δA2nlnA=A=2=δ2l mlm（4）体积比尺： δV3nlnV=V=3=δ3l mlm5、运动相似
（1）定义：原型与模型之间对应的运动参数的方向一致，大小成比例。 （2）时间比尺： δtnt=t m（3）速度比尺： δvnv=v=lntnl=δl mmtmδt（4）加速度比尺：δa2nlntnδla=a=2=2 mlmtmδt6、动力相似
（1）原型与模型之间对应的受力方向一致，大小成比例。 （2）力的比尺：
δFnρ32nVF=nan=ρnln⋅lntnρ32=δρδ3δll=δρδ22F=lδv mρmVmammlm⋅lmtmδ2 t（3）动力相似充要条件： Nen = Nem 无因次牛顿数：Ne=Fρl2v2（作用在流体质点上的合外力与惯性力之比） 1） 2）
3）
4） 5）
6） 7） 8） 4-13
（ （ （ （ （ （ （ （ F——其它物理力，包括：万有引力产生的重力G，流体粘滞力产生的粘性力T，
受相邻物体的压力P，压缩性产生的弹性力R，流体表面张力σ，等。
惯 因为液体运动和流态的变化是惯性力和其它各种物理力相互作用的结果，性力企图维持原来的运动状态，而其它各种物理力企图改变流动状态。则惯性力的大小体现了合外力的综合作用结果，力的无因次准数应以惯性力为一方比上其它力表示。
（8）式的意义：
两个几何相似的流动，如果动力相似，则牛顿数必相等。反之，牛顿数相等的两个几何相似的流动，必为动力相似。
（4）完全动力相似：所有外力均满足动力相似条件，即牛顿数相等。 （5）局部动力相似：部分外力满足动力相似条件。
7、相似准数：无因次数
由于实际情况的限制，达到完全的动力相似困难。因此，进行模型实验时，常只考虑某些起主要作用的力，根据起主要作用外力种类，常用的相似准数有： （1）. 雷诺数Re：作用在流体上的外力中，粘性力起主导作用，如低速有压管流，设计模型实验时，需Re 相等
F=μA[F]=[μl2Ne′=du dyV]=[μlV] lμlVμνF ===Fiρl2V2ρlVlV令 Re=lVν：雷诺数。 L为特征长度。
物理意义：惯性力与粘性力之比。
（2）. 佛劳德数 Fr ：以重力为主时，Fr 相等——明渠流、堰流 因为 F＝Mg 所以 [F]=[ρl3g]
Fρl3ggl== 222FiρlVVV2令Fr=：佛劳德数。
gl物理意义：惯性力与重力之比。
（3）. 欧拉数Eu：以压力为主时，Eu 相等——研究水中物体的受力 因为 [F]=[pA]=[pl2]
4-14
plFp==所以 Fiρl2V2ρV2令 Eu=2p：欧拉数。 ρV2物理意义：压力与惯性力之比。
（4）. 韦伯数We：表面张力相似时，We相等
σlσ =222ρlVρlVρlV2 ：韦伯数。 令 We=σ（5）. 柯西数Ca：弹性力 K l 2 相似时，Ca相等
Kl2ρV2l2V2令 Ca=：柯西数。
K/ρK——流体弹性系数。
=K 2ρV例：油泵抽贮油池中的石油，为保证不发生漩涡及吸入空气，必须用实验方法
确定最小油位h，已知原型设备中吸入管直径dn=250mm，νn=0.75×10-4m2/s，
Qn=140L/s，实验在1：5的模型中进行，试确定 (1) 模型中γm=？， Qm=？，Vm=？
(2) 若模型中出现漩涡的最小液柱高度hm=60mm，求hn=？ 分析：重力、惯性力、粘性力，特征长度为d 解：
Ren = Rem ，Frn=Frm
⎧Vn⋅dnVm⋅dm
=⎪ννm⎪n
⎨
⎪gn⋅dn=gm⋅dm
22
⎪VVm⎩nVn=
Qn
140×10−3
(1)
(2)
==2.85m/s
11×3.14×0.252πdn2
44
1d
gn=gm，m=
dn5
Vm＝1.27m/s，代入（1）得
4-15
νm=0.068×10-4m2/s
1
πdm2=2.5L/s 4
hn= hm•5＝300mm Qm=Vm
4-16
第五节 圆管层流分析
当 Re ≤ 2000时，为层流：常发生在粘度较高或速度较低的情况下。 主要内容：
流速分布 流量计算公式 切应力分布规律 沿程水头损失的计算 一、流速分布
由实际不可压流体的运动微分方程求出。 Navier—Stokes方程：
⎛∂2ux∂2ux∂2ux⎞dux1∂p
+ν⎜2+2+2⎟X−⎟=dt ∂∂∂xyzρ∂x⎜⎝⎠
⎛∂2uy∂2uy∂2uy⎞duy1∂p
Y−+ν⎜2++2⎟=2⎟⎜ρ∂y⎝∂x∂y∂z⎠dt
⎛∂2uz∂2uz∂2uz⎞duz1∂p
+ν⎜2+2+2⎟Z−⎟=dt ∂∂∂xyzρ∂z⎜⎝⎠
以下根据圆管层流的运动特点对N－S方程进行简化 （1）. 液流沿水平等径管运动：ux＝u，uy＝uz＝0 （2）. 水平运动且为稳定流：X＝Y＝0，Z＝－g
∂ux∂uy∂uz++=0 （3）. ρ=C： ∂x∂y∂z∂2ux∂ux=0 =0， 2∂x∂x（4）. 对于稳定流动
∂ux=0 ∂t∂uy∂t=0
∂uz=0 ∂tdux∂ux∂u∂u∂u
=+uxx+uyx+uzx=0 dt∂t∂x∂y∂z
4-5
同理：
duydt
=
duz
=0 dt
则 Navier—Stokes方程变成：
⎛∂2ux∂2ux⎞1∂p
−+ν⎜+2⎟=0 （1） 2⎜∂z⎟ρ∂x⎝∂y⎠−
1∂p
=0 （2） ρ∂y
1∂p
=0 （3） ρ∂z
−g−
以下由（1）式推导速度分布公式。 因为ux＝ u，所以
⎛∂2u∂2u⎞∂p
=μ⎜ ⎜∂y2+∂z2⎟⎟ （4）∂x⎝⎠
对于等径管，压强沿轴向变化率为定值，而（4）式中等号左边只与x有关，∂p右边只与y和z有关，故应为定值！则
∂xΔp∂pp2−p1−(p1−p2) （5） ===−
LLL∂x
由于管道的对称性，ux（y，z）＝ux（r），因此，引进圆柱坐标（二维）
∂2u∂2u∂2u1∂u1∂2u
+=++ （6） ∂y2∂z2∂r2r∂rr2∂θ2
∂2u∂u
由于对称， =0 即u=u(r) =0 ， 2
∂θ∂θ⎛∂2u1∂u⎞Δp
⎟=μ⎜+则（4）式变成：− 2⎜⎟ （7）L∂rr∂r⎝⎠所以 −
Δp1d⎛du⎞
=μ⎜r⎟ （8）
Lrdr⎝dr⎠
积分（8）式： r
duΔp2
=− r+C1 （9）dr2μL
所以 u=−
Δp2
r+C1lnr+C2 （10） 4μL
4-6
代入边界条件：r＝0，u 必须有极限值 r＝R，u＝0 则：C1=0,
C2=
Δp2
R （11）
4μL
Δp22R−r （12） 4μL所以 u=()
二、最大流速
r=0,
三、流量
Δp2ΔpD2
um=R= （13）
4μL16μL
dQ=u⋅2πr⋅drQ=∫dQ=∫四、平均流速
R0
π(p1−p2)R4πΔpD4 （14）Δp22
R−r⋅2πr⋅dr==4μL8μl128μl
()QΔpD2umax
V=== （15）
A32μl2
五、切应力
牛顿内摩擦定律：τ=±μ⎞Δpdudu⎛duu2−u1
⎟⎜=Q0r=−μ=<⎟⎜dydr⎝drr2−r1⎠2L
（16）
当 r＝R 时，τ＝τ0
Δpτ0=R （17）
2L则
τr
= （18） τ0R
结论：有效断面上，切应力随 r 成线性关系。 六、水头损失 对于水平等径管 hf=
Δp
γ
ΔpD2Δp32μlV
又 V= =
32μlγγD2
4-7
则 hΔp
32μlV32μLV2f=γ=γD2=ρD⋅D⋅2g⋅2V
结论：层流状态，水头损失与速度呈线性关系。
64LV2LV2
所以 hf=ReD2g=λD2g
——达西公式
其中 λ=
64
Re
为层流沿程水力摩阻系数。 说明：结论与管路的放置位置无关。
4-8
第六节 紊流理论分析
一、紊流的产生
由于粘性的存在，限制了流体质点的扰动，从而在一定雷诺数限度内能维持层流状态。
1. 粘滞性对漩涡的产生、存在和发展具有决定性的作用。惯性力（升力）使涡体脱离本层，粘滞力阻止涡体运动。因此，当
Re较小时，粘滞力起主要作用，涡体不能发展运动（上移）；当Re很大时，粘性力起次要作用，惯性力占主导地位，漩涡随时间的进程而增强，发展成为紊流。
2. 两层流体有速度差别亦是造成不稳定的主要原因。
3. 在剪切流动中，横向压力梯度的存在导致漩涡的产生。
二、紊流的基本特征和研究方法
1. 紊流的特征——紊流的随机性
紊流状况下，流体质点运动非常紊乱，其运动速度的大小和方向随时改变。表现为各点速度和压力的脉动现象——紊流的随机性。
2. 紊流流动的基本性质
（1）. 紊流能量的输运性。紊流动量输运表现为紊流的粘性；紊流内能输运表现为紊流的热传导。
（2）. 紊流流动的耗散性（能量损失）。它有两项，平均粘性耗散项；脉动耗散项。
（3）. 紊流流动的有旋性。紊流流场中的输运是通过漩涡来传递的。从理论上讲，没有旋涡就不能维持紊流。
4-31
3、研究方法——统计平均方法
虽然在某一瞬时，紊流运动仍然服从N—S方程，但由于紊流的随机性，求解N－S方程是困难的。
实验证明，虽然紊流具有随机性，但是，在条件相同时，进行无数次实验，其运动参数的算术平均值还是趋于一致，即，虽然个别的实验结果无规律性，但大量实验结果的算术平均值具有一定的规律性。所以，只有大量实验的统计平均才能给出具有决定性的结果。因此，统计方法在紊流问题的研究中具有重要的意义。
在紊流理论中，有三种统计平均方法：时均法，体均法，统计平均法
（1）时均法 ——在紊流流场中某一固定点上，于不同时刻测量该处的速度。
图中两条曲线为两次实验结果，由图，每次实验的速度变化都极不规则，在相当长的时段内的平均却是相同的。
z 定义：
(t)=1
u
T∫
t0+T
t0
u(x,y,z,t)dt
(t)u
——随机速度用时均法算出的平均值
T ——理论上应为无穷大时段
u(x,y,z,t)——随机速度（真实速度）
z 时均法的适用范围：
只能用来描述对时均值而言的定常流动。
z 应用时均法的条件：
(t)与 t 及 T（只要足够长）无关，即(t)不再是时间的函数——稳定紊流。
0
uu
4-32
（2）. 体均法
湍流的随机性不仅表现在时间上，在空间分布上也具有随机性。
若在管流轴线 L 段上同时测量各点轴向速度分布。在不同时刻可以测到不同的速度分布，但在 L 内求速度的平均值，则任意两次试验的平均值相同。
z 一维体均法的定义：
(x)1x0+L
=∫u(ξ,t)dξ uLx0
(x)
——沿x轴向L段上的平均速度 u
L ——足够长的距离
u(ξ,t)——在相同条件下，任一次实验的速度分布
适用范围：积分与x0、L无关 z 空间体均法定义：
(V)1
=uiV
∫∫∫u(ξ,η,ς,t)dξdηdς
iV
(V)
——(x，y，z)点处的体均值 ui
V ——包含某空间点（x，y，z）在内的足够大的体积 ui(ξ,η,ς,t)——在相同条件下，任一次实验的速度分布 适用范围：均匀的紊流流场。
（3）. 统计平均法
因为时均法适用于定常流场，体均法适用于均匀流场，而对于一般不定常非均匀流场只有采用统计平均法。 将重复多次的试验结果作算术平均。
(p)
1
ui(x,y,z,t)=lim
N→∞N
∑u(x,y,z,t)
iK=1
N(K)
(p)
ui(x,y,z,t)——用概率平均法算得的平均值 ui(x,y,z,t)——第k次实验的流场分布函数
4-33
N ——重复次数
(K)
三、脉动值与平均值的性质
1. 平均值的平均仍为原平均值。
1V=
N
∑VK=1
N
K
=
1
⋅NV=V N
2. 瞬时量之和的平均等于各量平均值之和。
A+B=A+B
3. 脉动值的平均值等于零。
QV′=V−V∴V′=V−V=V−V=0
4. 脉动值与任一平均值乘积的平均等于零。
VV′=0
5. 两瞬时量积的平均等于两瞬时量平均的积加上脉动量积的平均。
AB=AB+A′B′
证明：
1AB=
N
1
()AB=∑NK=1
N
1
′′()()AABB++=∑NK=1
N
∑(AB+AB′+A′B+A′B′)=AB+A′B′K=1
N
6. 紊流值的各阶导数的平均值等于平均值的各阶导数。
∂A∂A∂2A∂2A=;=2;…… 2∂t∂t∂t∂t
∂A1
=证明：
∂tN
∂Ai1∂N∂⎛1
==A⎜∑∑i∂∂tNt∂tK=1K=1⎝N
N
⎞∂AA ∑i⎟=
∂tK=1⎠
N
7. 脉动量的各阶导数的平均值等于零
∂A′∂2A′
=0;=0;…… ∂t∂t2
四、稳定紊流基本方程
1. 紊流连续性方程（时均、瞬时流动）
∂ux∂uy∂uz+=0+∂x∂z∂y∂u′∂u′∂u′x+y+z=0∂x∂z∂y
rdivu=0 rdivu′=0 4-34
2. 紊流时均流动运动方程
∂uxi∂uxi∂uxi∂uxi1∂p2
由N－S方程：Xi−+ν∇uxi=+ux+uy+uz
ρ∂xi∂t∂x∂y∂z对N－S方程取时均，整理可得。 以x方向为例 （1）. 等号左边：
1
T
∫
t0+T
t0
Xdt−
11ρT
∫
t0+T
t0
1∂p
dt+ν∂xT
∫
t0+T
t0
∇2uxdt=X−
1∂p+ν∇2ux ρ∂x
（2）. 等号右边第一项：
∂ux1t0+T∂ux
dt=∫t0T∂t∂t
等号右边后三项：
∂uy∂∂ux∂ux∂ux∂∂ux∂u∂
()()+uy+uz=++(uzux)−uxzuxuxux−uxuxuy−ux
∂x∂y∂z∂x∂x∂y∂y∂z∂z∂∂∂
=(uxux)+(uyux)+(uzux)∂x∂y∂z所以
ux
∂u∂u∂ux∂∂∂
+uyx+uzx=(uxux)+(uyux)+(uzux)∂z∂x∂y∂z∂y∂x
∂∂∂2
′′′uxux+u′uuuuuzux+u′=+++xyxyxzux
∂x∂y∂z
()()()则
X−
整理可得：
∂u∂∂∂1∂p2
′′′+ν∇2ux=x+uxux+u′+uu+uu+uzux+u′xyxyxzux
ρ∂x∂x∂x∂y∂z
()()()ρX−
=ρ同理：
⎞∂⎛∂ux∂⎛∂ux∂p∂⎛∂ux⎞2⎞′′′′⎜⎟μρuuμρuu+−+−+⎜μ−ρu′⎜⎟xyx⎟zx⎟⎜zz∂∂∂x∂x⎝∂x⎠⎝⎠∂y⎝∂y⎠
∂ux∂∂∂
+ρ(uxux)+ρ(uyux)+ρ(uzux)∂t∂x∂y∂z
⎞⎞∂⎛∂uy∂⎛∂uy∂p∂⎛∂uy2⎞′′′′′⎜⎜⎟⎟ρY−+⎜μρuuμρuμρuu+−+−−xy⎟y⎟zy⎟⎜∂z⎟⎜∂yxyz∂∂∂y∂x⎜∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠=ρ∂uy∂t+ρ∂
(uxuy)+ρ∂(uyuz)+ρ∂(uzuy)∂x∂y∂z
4-35
ρZ−
=ρ⎞∂⎛∂uz∂p∂⎛∂uz⎞∂⎛∂uz2⎞′′′′⎜⎟+⎜μ+−ρu′−+−uuuuμρμρ⎟⎜xzyz⎟z⎟⎜∂y∂x∂x⎝∂x∂∂∂yzz⎠⎝⎠⎝⎠
∂uz∂∂∂
+ρ(uxuz)+ρ(uyuz)+ρ(uzuz)∂t∂x∂y∂z
——雷诺方程
与N－S方程相比，它多了以下六项：
2
′′由于脉动而产生的附加法向应力：ρu′x,ρuy,ρuz
2
2
′′′′′由于脉动而产生的切向应力：ρu′xuy,ρuyuz,ρuzux 统称为：雷诺应力
四、紊流切应力与附加切应力
1、附加切应力——雷诺应力，产生的原因
产生动量交换和能量消耗，从而引起 流体质点混杂，附加阻力。
2、简单平行流动附加切应力 Ox 轴取在物面上，时均流速为ux 则有：ux=ux(y),uy=uz=0 现在考虑面 y＝yi 上的雷诺应力
′τ附=−ρu′xuy,′u′x,uy异号 ⎞⎛据质量守恒，
⎟⎜
⎜ρ(u′⋅a⋅1+u′⋅b⋅1)=0⇒u′,u′异号⎟
xyxy⎠⎝
3、紊流中总的摩擦应力τ
，总的摩擦应力应等于粘性摩擦应力与附 对于简单平行流动（如水平圆管）加切应力之和。
τ=μdu
′−ρu′xuy
dy
其中粘性摩擦应力是由流体的分子运动造成。 当Re↑，μdu↓，不计 dy
4-36
五、混合长度假说
由于紊流运动的复杂性，不能从理论上精确的确定附加切应力。人们只是在一些比较合乎实际的假设的基础上，着手解决这一问题，其中普朗特提出的方法较为明了，应用也最多。
1、假设的指导思想
′ 把附加切应力项ρu′使之易xuy中的脉动速度转换成以时均速度表达的形式，于求解。
因在定常层流直线运动中，由分子动量输送引起的粘性切应力为τxy=μdu
。 dy
与此对应，在紊流的平均流动的流线为平行直线时，认为脉动引起的附加切应力可表示成：
τ附=μi
其中μi为紊流粘性系数。
du dy
2、混合长度
当流体质点在y方向脉动，由一层跳入另一层时，要经过一段不与其它任何流体质点相碰的距离l，以自己原来的动量和新位置周围的质点相混，完成动量交换。流体质点从一层跳入另一层所经过的这一段距离 l 称为混合长度，它是流体质点在横向混杂运动中，其自由行程的平均值。
3、Prandtl混合长度假说
（1）. 流体质点的纵向脉动速度u′x近似等于两层流体的时均速度之差。
u′x=ldux dy（2）. 横向脉动速度u′y和纵向脉动速度u′x成比例。
′u′y=C′u′x=Cldux dy 4-37
如图c，展示两个流体质点同时从y＋l，y－l层脉动到y层上，此时，质点
⎛dux⎞⎜1的时均速度比y层慢 u′=x⎟，而质点2的时均速度比y层快 ⎜dyl⎟⎠1⎝⎛dux⎜⎜dy⎝⎞ l⎟⎟。⎠2′ 如图a，若2质点在1质点之前，则它们将以相对速度u′x1+ux2
分开，就引起y层两侧流体质点脉动到y层上以填补1、2两质点分开后留下的空隙。
′ 如图b，若 2 质点在 1 质点之后，两质点将以相对速度u′x1+ux2
靠近，这就将排挤 y 层上流体质点向 y 层两侧运动。因此，u′y与u′x有关，且量级相同，即 u′y∝u′x
（3）. l∝y，即l 正比于距离壁面的距离。
′τ附=−ρu′xuy=−ρ紊流运动粘性系数
1
T
∫
t0+T
t0
2⎛dux
′⎜=u′udtClρxy⎜dy
⎝dux⎞2duxdux
⎟Cl=ρ=μ i⎟dydydy⎠
2
2⎛dux⎞′⎜注：u′u=−Clxy⎜dy⎟⎟ ⎝⎠2⎛dux⎞duduxdux
⎟而：τ=μx+Cρl2⎜=μ+μ i⎜dy⎟dydydy⎝⎠
2
六、速度分布
1、概念：
（1）.层流边层：当流动是紊流状态时，在贴近管壁的地方仍有一层流体底层δ层。
δ层=30
d
,λ为水力摩阻系数 Reλ4-38
（2）. 水力光滑：当δ层>绝对粗糙度Δ时， Δ对流动阻力影响不计，称为水力光滑。
（3）. 水力粗糙：当δ层< Δ时， Δ对流动阻力有很大影响，称为水力粗糙。
2、速度分布
⎛dux⎞du⎟因为 τ=μx+Cρl2⎜ （1） ⎜⎟dy⎝dy⎠据Prandtl假设，令l＝ky，c＝1，考虑壁面附近流动的不同情况分别讨论如下。
2
（1）. 光滑壁面附近完全发展湍流速度场
据壁面附近流动情况分成三个区域研究：近壁层流底层区、过渡区、紊流核心区
由实验知，ai＝5，ae＝30，其中y*称作摩擦长度。
y*=切应力速度： u*=νu* （2）
τ0 （3） ρy*<5）
a、近壁层流底层区速度分布（y 由于在层流边层内雷诺应力远小于粘性摩擦力，则（1）式变成：
τ0=μdux （4） dyduxτ0τ011==⋅=u*2⋅ （5） μρννdyux=ux⋅2yν=u*⋅y （6） νu*4-39
层流底层速度分布：
uxy =u*y*b、紊流核心区速度分布（yy*>30）
忽略粘性项，则（1）式变成
τ0=ρl2⎜⎜所以
⎛dux⎞22⎛dux⎞⎟⎟ρ =Ky⎜⎟⎜⎟ （7）dydy⎝⎠⎝⎠22dux1u=u* , x=Klny+C′ dyKyu*令C′=C+y1ln* Kyux1y =ln*+C （8）
u*Ky紊流核心区速度分布公式：C由实验定，1932年，尼古拉兹作了大量精确实验得出在30 < yy*<1000 K、范围内，
1=2.4,KC=5.8 故（8）式写成：
uxy =2.4ln*+5.8 （9）
u*yuxy =5ln*+5.5 （10）
u*y当yy*>103时，
c、过渡区（5 uxy =5ln*+3.05 （11） u*y（2）. 粗糙壁面附近完全发展紊流速度分布 由完全发展紊流核心区的速度结果式（8） uxy1uΔ111u1u111=lny+C′=lny+C′+ln*−ln*−lnΔ+lnΔ=ln+ln*+C′′KKνKνKKKΔKνu*K （12） 4-40 尼古拉兹得出： 1（ⅰ）. Δ<4y*时，=2.5,KC′′=5.5 uxyuΔy =2.5ln+2.5ln*+5.5=2.5ln*+5.5 （13） u*Δyν——与Δ无关 （ⅱ）. Δ>60y*时， 1=2.5,KC′′=8.5−Δ1ln* Kyuxy（14） =2.5ln+8.5 Δu*（3）. 对于圆管，Re↑，u ~→V Re=105,V=0.82 umaxV=0.86 umaxV=0.90 umaxRe=106,Re=108,对于圆管进行计算时，可令 y＝r0－r，代入公式（9）、（10）、（11）、（13）、（14）进行计算。 七、圆管紊流速度分布近似指数表达式 ⎛y⎞实验证明： u=um⎜⎜r⎟⎟ ⎝0⎠num——轴心处最大流速； y——坐标值； ro——半径； n——指数 对于水力光滑管： 11Re=105,n=;105 第七节 圆管紊流沿程水力摩阻的实验分析 一、圆管沿程水头损失计算通式 由于紊流运动的复杂性，水力摩阻系数的计算无精确公式，它的计算一般借助于经验公式。 公式推导方法： （1）找出影响水力摩阻的各种因素 （2）利用因次分析方法找出其函数关系式 （3）实验处理 （4）导出公式 1. 影响能耗因素 ΔP d ρ µ ML-1T-1 V LT-1 L L Δ ML-1T-2 L ML-3 L 2. 选基本物理量：ρ、V、d 3. 组成4个π项 π1=ΔPρxVydz 1 1 1 π2=μρxVydz 2 2 2 π3=LρVd 4. 据因次齐次性求各π项 x3y3z3 π4=ΔρVd x4y4z4 π1=5. ΔPμΔL,π=,π=,π= ρV22ρVd3d4d⎛μLΔ⎞ΔPf=⎜⎜ρVd,d,d⎟⎟ρV2⎝⎠ρV2∴hf==γγΔP⎛μLΔ⎞f⎜⎜ρVd,d,d⎟⎟ ⎝⎠LΔ⎞V2ΔP⎛∴hf==2f⎜Re,,⎟γdd⎠2g⎝实验证明： hf ∝ L/D 则 Δ⎞LV2⎛hf=2f⎜Re,⎟d⎠d2g ⎝Δ⎞⎛令 λ=2f⎜Re,⎟ d⎠⎝ 4-42 LV2则 hf=λ ——达西公式 d2g——沿程水头损失计算公式 二、计算沿程水力摩阻系数λ的经验公式 Δ⎞⎛1、确定λ=2f⎜Re,⎟的实验方法 d⎠⎝ 因为λ与Re和Δ/D有关，所以实验分2步： （1） 选定一个管子后， Δ/D定，然后做λ~f1（Re）关系曲线； （2） 一个管子定完后，另选一个不同粗糙度的管子重复以上实验。 对于水平管： LV2=λhf= d2gλΔpλ=hfd⋅2gL⋅V2Vd=Δpd⋅2g L⋅V2γν于是可得如图曲线λ~Re关系 改变Δ，作多条λ~Re关系曲线，即得莫迪图。 Re= 2、曲线分析 ab段：六线重合，λ值与相对粗糙度无关。 在层流区Re ≤2000，λ=f(Re)=bc段：层流向紊流过渡区， λ变化规律不明显。 cd段：接近直线， λ与相对粗糙度无关，且直线斜率为(－1/4)，即λ与Re0.25成反比，称为水力光滑区。 64 Re 一般Re≤ 105时，λ= Re>105时，f g 左方：混合摩擦区。 0.3164 Re0.251λ=2lgλRe−0.8 ()因λ与Re和Δ/d都有关，判断公式 59.7665−765lgε ， ε=Δ < 1 ⎡6.8⎛Δ⎞1.11⎤ =−1.8lg⎢+⎜⎟⎥ （4） λ⎢⎦⎣Re⎝3.7d⎠⎥ ——伊萨耶夫公式 f g 右方：水力粗糙区。因λ与Re无关，而只和Δ/d有关，判断公式： 665−765lgε Re>ελ= 12 （5） ⎛⎜⎝ 2lg3.7d⎞Δ⎟ ⎠——尼古拉兹公式 3、公式适用范围得确定：图解法 P117 图4－25 4、λ值图解法——伊萨耶夫算图 三、实用经验公式： P119 四、非圆管的水力摩阻计算 方法：把非圆管等效成圆管来计算 原则：水力半径相等，阻力相同 R=d当4⇒d当＝4R（d当为当量直径） 所以 Re=Vd当ν→λ→hf 4-44 第八节 局部水头损失 一、局部阻力产生的原因 1、液流速度重新分布，产生能耗； 2、产生旋涡，粘性力做功产生能耗； 3、流体质点混掺，产生动量交换，消耗能量。 二、局部水头损失计算公式 V2 1、hj=ζ 2g ζ——局部水力摩阻系数 l当V2 2、hj=λ d2gl当——当量长度 （1） l当 称为当量长度 ：hj相当l当长度等径管产生的沿程水头损失hf 。 ζ＝λl当ζd l当= dλ（2）ζ的确定方法 hj=z1−z2 hjV22g (p1−p2)V12−V22 ++ γ2g ζ= 三、ζ查表说明 1、由表4－8查的ζ0是在λ0=0.022的情况下测定的，则一般情况下要进行如下转换： ζ=ζ0表4－8适用于紊流计算。 λ0.022 2、表4－9所查的ζ0值需修正，它与Re有关，修正系数ϕ(Re) ζ=ϕ(Re)ζ0 表4－9适用于层流计算。 4-5 四、突然扩大管水头损失的理论分析 已知：Q，A1，V1， A2，V2，γ 求：hj＝？ 解：取1－1~2－2断面列方程 hj=z1−z2(p1−p2)V12−V22++ （1） γ2g取1－1~2－2为控制体，运用动量方程： p1A1−p2A2=(p1−p2)A2=ρQ(V2−V1) （2） (p1−p2)= γQ (V2−V1)=V2(V2−V1) （3） A2gg 把（3）式代入（1）式得到局部水头损失的计算公式 V2(V2−V1)V12−V22(V2−V1)hj=0++= g2g2g 2 ——包达公式 hj= (V2−V1)2 2g 222⎛A1⎞V12⎛V1A2⎞V2V2=⎜⎜A−1⎟⎟2g=ζ12g=⎜⎜1−A⎟⎟2g=ζ22g 1⎠⎝2⎠⎝ 22 例1： 流速由V1变为V3的突然扩大管，为了减小阻力，可分两次扩大，问中间级V2取多大时，所产生的局部阻力最小？比一次扩大的阻力小多少？ 解：① 求V2 一次扩大的：hj1= (V1−V3)2 2g 两次扩大的：hj2= (V1−V2)2(V2−V3)2 2g + 2g 当V1、V3确定时，产生的最小阻力的值V2由下式求出： 4-6 dhj2dV2∴V2= = 1 [−2(V1−V2)+2(V2−V3)]=02g V1+V3 2 2 ②hj2所以， V+V3⎞⎛⎛V1+V3⎞ −V3⎟⎜V1−1⎟⎜ (V1−V3)22⎠2⎝⎝⎠ +== 2g2g4g 2 hj2hj1 = 1 即分两次扩大最多可减少一半损失。 2 例2． 如图所示，水在压强作用下从密封的下水箱沿竖直管道流入上水箱中，已知h＝ 50cm，H＝3m，管道直径D＝25mm，λ＝0.02，各局部阻力系数分别为ζ1＝0.5，ζ2＝5.0，ζ3＝1.0，管中流速V＝1m/s，求：下水箱的液面压强。（设稳定流动） 解：以下水箱液面为基准面，列两液面的伯努利方程： 0+ p0 γ+0=(H+h)+0+0+hw LV23+0.512=0.02××=0.143m 沿程水头损失：hf=λD2g0.0252g局部水头损失： 12 hj=(ζ1+ζ2+ζ3)=(1.0+5.0+0.5)×=0.332m 2g2g V 2 总水头损失：hw＝hf+hj＝0.475m 所以，p0=γ[(H+h)+hw]=9800×(3+0.5+0.475)=38955Pa 4-7 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容