四元数体上斜自共轭矩阵的几个定理

维普资讯 http://www.cqvip.com 第３１卷第１期　辽宁师范大学学报（自然科学版）　Ｖｏ１．３１　Ｎｏ．１　２００８年３月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｌｉａｏｎｉｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｍａｒ．　２００８　文章编号：１０００—１７３５（２００８）Ｏｌ一０００８—０４　四元数体上斜自共轭矩阵的几个定理　伍俊良，　邹黎敏，　陈香萍，　李声杰　（重庆大学数理学院，重庆４０００４４）　摘　要：四元数是爱尔兰数学家哈密顿在１８４３年发现的．实四元数矩阵研究的主要难点是四元数乘法的不可交换　性．四元数在众多的应用问题中存在广泛的联系，如四元数在量子力学，刚体力学方面的应用，在计算机图形图像处理　和识别方面的应用，在空间定位方面的应用等．四元数体上矩阵的研究是四元数代数理论中的一个重要方面，本文研　究实四元数体上斜自共轭矩阵的性质，给出实四元数体上斜自共轭矩阵的定义．借助四元数体上的Ｓｃｈｕｒ三角分僻　定理和体上矩阵的运算，得到了斜自共轭矩阵的一些性质及判定准则，获得了斜自共轭矩阵的实表示、相似分僻以及　特征值的几个定理．　关键词：四元数体；斜自共轭矩阵；相似分解；性质及判定准则　中图分类号：Ｏ２４１．６　文献标识码：Ａ　近年来，人们对于四元数体上代数问题的研究非常深入，不仅仅是由于四元数乘积的非交换特性这　一现象引起了人们对四元数代数问题的广泛兴趣［１　］，同时由于四元数本身在众多的应用问题中也存　在广泛的联系，如四元数在量子力学，刚体力学方面的应用，四元数在计算机图形图像处理和识别方面　的应用，四元数在空间定位方面的应用等，也促使人们对四元数代数问题加以研究　吨］．　自共轭四元数矩阵的研究是四元数代数理论中的一个重要方面，特别在自共轭四元数矩阵的特征　值、奇异值、合同、正定性以及自共轭四元数矩阵的子式等方面有着广泛的研究［ｇ　．但很少有文献对斜　自共轭四元数矩阵进行研究．本文借助于四元数体上斜自共轭矩阵的概念，给出了斜自共轭四元数矩阵　的一些性质与判定准则；得到了斜自共轭四元数矩阵的实表示、酉相似分解以及特征值的几个定理．　文中用Ｒ表示实数域，Ｃ表示复数域，Ｈ表示Ｒ上的四元数体，Ｒ和Ｈ上，ｌ阶矩阵的全体分别记为　Ｒ献　和Ｈ　，Ａ’一　表示Ａ的共轭转置，ａ—ａｏ＋口ｌ　＋口２Ｊ＋口３ｋ表示实四元数（口ｏ，ａｌ，ａ２，ａ３为实数），　用ａ和　分别表示Ｈ上任意，ｌ维四元数列向量和，ｌ阶单位矩阵，Ｒｅ（ａ）表示ａ的实部，ａ　表示ａ的共　轭四元数，ａ’表示ａ的共轭转置向量，Ｎ（口）一ａ’ａ和Ｎ（ａ）一ａ’ａ分别表示ａ和ａ的范数，Ｒ［　］表示　实数域上关于未定元　的一元多项式环．　１　定义与引理　定义１　设Ａ∈Ｈ　，如果Ａ’一一Ａ，则称Ａ是Ｈ上的一个，ｌ阶斜自共轭矩阵，其全体记为Ｈ（ｎ，　＊，一）．　定义２　设Ａ∈Ｈ　，如果Ａ’一Ａ，则称Ａ是Ｈ上的一个ｎ阶自共轭矩阵，其全体记为Ｈ（ｎ，＊）．　定义３　设Ａ∈Ｈ　，如果Ａ’Ａ—ＡＡ’一Ｉ　，则称Ａ是Ｈ上的一个ｎ阶酉矩阵，其全体记为Ｈ（ｎ，　）．　定义４［１　对任意四元数矩阵Ａ—Ａ１＋Ａ２ｉ＋Ａ３Ｊ＋Ａ　ｋ∈Ｈ　，Ａ　∈Ｒ　（ｆ一１，２，３，４），定义　Ａ＿１　一Ａ２　一Ａ３　一Ａ４　Ａ２　Ａ１　一Ａ４　Ａ３　Ｍ　（Ａ）一　Ａ３　Ａ４　Ａ１　一Ａ２　∈Ｒ“　，实矩阵Ｍ　（Ａ）称为矩阵Ａ的实表示矩阵（简称实表　Ａ４　一Ａ３　Ａ２　Ａ１　收稿日期：２００７－０５—１８　基金项目：国家自然科学基金资助项目（６０５７４０７３；１０４７１１４２）；重庆市科委科学研究基金资助项目（ＣＳＴＣ，２００５ＣＦ９０５７）　作者简介：伍俊良（１９５８一），男，四川人，重庆大学副教授．Ｅ－ｍａｉｌ：ｚｌｍｌｏｈｒ＠１６３．ｃｏｎｌ　维普资讯 http://www.cqvip.com 第１期　伍俊良等：　四元数体上斜自共轭矩阵的几个定理　９　示）．　引理　设Ａ∈Ｈ　，则存在Ｕ∈Ｉ－ｌ（ｎ，　），使得　Ｕ　『　Ａ　Ｕ　『　，其中　，　２，　３，…　∈Ｃ．　一　　一２　主要结果　定理１　对于任意的Ａ∈Ｈ　，若下列三个条件中任意两个成立，则另一个也成立：　蚴　¨　¨　¨　．．　①Ａ∈Ｉ－ｌ（ｎ，＊，一）；②Ａ’Ａ—　；③Ａ。一～　．　证：因为Ａ∈Ｉ－Ｉ（ｎ，＊，一）且Ａ　Ａ—　，则可得Ａ。一ＡＡ一一Ａ’Ａ一一　，若Ａ∈Ｉ－Ｉ（ｎ，＊，一）　‰　‰；　且Ａ。一一　，又可得Ａ　Ａ一一ＡＡ一一Ａ。一　，最后，若Ａ。Ａ—　且Ａ。一一　，则有Ａ’一Ａ。Ｅ—　Ａ’（～ＡＡ）一一（Ａ’Ａ）Ａ一一Ａ，所以由定义１有Ａ∈Ｉ－Ｉ（ｎ，＊，一），故定理得证．　定理２　若Ａ∈Ｉ－Ｉ（ｎ，＊，一），贝０　Ｑ一（　～Ａ）（　＋Ａ）　∈Ｉ－Ｉ（ｎ，　）．　证：由于Ａ∈Ｉ－Ｉ（ｎ，＊，一），则Ａ。一一Ａ以及　一Ａ与　＋Ａ可交换，故　Ｑ。Ｑ一［（　一Ａ）（Ｌ＋Ａ）　］’（　一Ａ）（　＋Ａ）　一（Ｌ—Ａ）＿１（　＋Ａ）（　一Ａ）（Ｌ＋Ａ）　一（　一Ａ）　（　一Ａ）（　＋Ａ）（　＋Ａ）　一　同理可证ＱＱ。一　，由定义３可知Ｑ∈Ｉ－Ｉ（ｎ，　）．　定理３　设Ａ∈Ｉ－Ｉ（ｎ，＊）且Ａ可逆，Ｂ∈Ｈ（ｎ，＊，一），Ａ，Ｂ可交换，则（Ａ＋Ｂ）（Ａ—Ｂ）　与（Ａ＋　Ｂ）　（Ａ—Ｂ）都是酉矩阵．　证：令Ｑ一（Ａ＋Ｂ）（Ａ—Ｂ）～，易知Ｑ’一（Ａ＋Ｂ）　（Ａ—Ｂ）　又由于Ａ，Ｂ可交换，即　一ＢＡ，所以有（Ａ＋Ｂ）（Ａ—Ｂ）一（Ａ—Ｂ）（Ａ＋Ｂ），从而有　Ｑ’Ｑ一（Ａ＋Ｂ）　（Ａ—Ｂ）（Ａ＋Ｂ）（Ａ—Ｂ）　一（Ａ十Ｂ）　（Ａ＋Ｂ）（Ａ—Ｂ）（Ａ—Ｂ）　一　同理可得ＱＱ’一　，从而Ｑ一（Ａ＋Ｂ）（Ａ—Ｂ）　为酉矩阵．由上面显然可知Ｑ’一（Ａ＋Ｂ）　（Ａ　—Ｂ）也为酉矩阵．　定理４　若Ｑ∈Ｉ－Ｉ（ｎ，　）且　＋Ｑ可逆，则存在Ａ∈Ｉ－Ｉ（ｎ，＊，一）使得Ｑ一（　一Ａ）（　＋Ａ）～．　证：令Ａ一（　一Ｑ）（　＋Ｑ）～，因为Ｑ∈Ｉ－Ｉ（ｎ，　），故　（　＋Ｑ）　Ｑ・（　一　）一（　＋Ｑ）　・Ｑ（　一　一Ｑ’，所以　）一一（　＋Ｑ）　（　一Ｑ）　（＊）　Ａ　一［（　一Ｑ）（　＋Ｑ）　］’一［（　＋Ｑ）　］。（　一Ｑ）。　一因为　＋Ｑ与　一Ｑ可交换，从而（　＋Ｑ）　与　一Ｑ可交换，于是由（＊）式可得Ａ‘一一（　＋　Ｑ）　（　一Ｑ）一一（　一Ｑ）（　＋Ｑ）　一一Ａ，故Ａ∈Ｉ－Ｉ（ｎ，＊，一）．又由于　（　～Ａ）（　＋Ａ）　：［　一（　一Ｑ）（　＋Ｑ）　］・［　＋（　一Ｑ）（　＋Ｑ）　］　：［　一（　一Ｑ）（　＋Ｑ）　］・［（　＋Ｑ＋　一Ｑ）（　＋Ｑ）　］　１　：［　一（　一Ｑ）（　＋Ｑ）　］・妻（　＋Ｑ）一Ｑ，　厶　故Ｑ一（　一Ａ）（　＋Ａ）　定理５　设Ａ∈Ｉ－Ｉ（ｎ，＊，一），则Ａ酉相似于对角矩阵，即存在Ｕ∈Ｈ（ｎ，　），使得　Ｕ‘ＡＵ—ｄｉａｇ（　ｌ，　２，　３，…，　），其中　，　２，　３，…，　∈Ｃ为Ａ的　个右特征值．　证：因为Ａ∈Ｉ－Ｉ（ｎ，＊，一），所以Ａ∈Ｈ　，由引理１知，存在Ｕ∈Ｉ－Ｉ（ｎ，　），使得　维普资讯 http://www.cqvip.com

１０　辽宁师范大学学报（自然科学版）　第３１卷　即　于　Ａ　ｑｌｚ　ｑ１３是　　ｑｌ—　Ｏ　＝　２　Ｕ　ｑｚ３　ｑ２一　　一３　ｑ３一　Ｕ’，所以Ａ’：＝＝Ｕ　Ｕ’　Ｏ　●　：　ｑ矗　Ｎ（　）＋∑Ｎ（ｑ　）　＊　＿２　Ｕ’ＡＡ’Ｕ—　Ｎ（　：）＋∑Ｎ（ｑ：ｊ）　』一３　Ｎ（　，ｒ１）＋Ｎ（ｑ（，广１）　）　＊　Ｎ（　）　Ｎ（　１）　＊　Ｎ（　２）＋Ｎ（ｑｌ２）　２　－２－ｑ　约－．－．孙　ｑ　Ｕ。Ａ’ＡＵ—　Ｎ（　）＋∑Ｎ（ｑ　）　膏１　＊　Ｎ（　）＋∑Ｎ（ｑ　）　因为Ａ∈Ｈ（ｎ，＊，一），故Ａ’Ａ＝ＡＡ’，比较上面两式各主对角元素，则得Ｎ（ｑｄ）＝０，即ｑ　：０，（１≤　ｉ＜Ｊ≤７１），故定理成立．　定理６　Ａ∈Ｈ（ｎ，＊，一），则Ａ的右（左）特征值的实部为０．　证：设Ａ∈Ｈ（ｎ，＊，一），　是它的任意一个右特征值，而ａ＝（口　，ａ：，…，ａ　）　≠０是属于右特征值　的一个特征向量，即Ａａ＝　两边同时乘上ａ’，得ａ’Ａａ—ａ’　＝ａＮ（ａ），又因为　（口’Ａａ）’＝口’Ａ’口＝一口’Ａａ＝一　Ｎ（口）　即　’Ｎ（口）＝一　（口），又因为口＝（口１，ａ２，…，ａ　）　≠０，故Ｎ（口）≠０，所以　一一　’　即　为０或是纯虚数，也就是Ｒｅ（Ａ）一０．　推论ｌ　Ａ，Ｂ∈Ｈ（ｎ，＊），则ＡＢ一１３ｔｔ的右特征值只能是０或纯虚数．　证：因为Ａ，Ｂ∈Ｈ（ｎ，＊），所以由运算和定义知ＡＢ一１３ｔｔ∈Ｈ（ｎ，＊，一），所以由定理６可知ＡＢ　—ＢＡ的右特征值只能是０或纯虚数　推论２　若Ａ＝Ａ　＋Ａ２ｉ＋Ａ３Ｊ＋Ａ４ｋ，Ｂ＝Ｂ　＋Ｂ２ｉ＋Ｂ３＿『＋Ｂ４愚∈Ｈ（ｎ，＊），其中Ａ　，Ｂ　是实　对称矩阵，Ａ　，Ｂ　（　＝２，３，４）是实反对称矩阵，则　（Ａ）　（Ｂ）一　（Ｂ）Ｍ　（Ａ）的特征值只能是０或　纯虚数．　证：易知Ｍ　（Ａ），ＭＲ（Ｂ）是４７ｌ阶实对称矩阵，所以　ＥＭＲ（Ａ）　（Ｂ）一　（Ｂ）ＭＲ（Ａ）］一ＥＭＲ（Ａ）ＭＲ（Ｂ）］一ＥＭＲ（Ｂ）　（Ａ）］＝　（Ｂ）　（Ａ）一　（Ａ）　（Ｂ）＝一ＥＭＲ（Ａ）　（Ｂ）一　（Ｂ）Ｍ尺（Ａ）］　故　（Ａ）ＭＲ（Ｂ）一　（Ｂ）ＭＲ（Ａ）是实反对称矩阵，所以其特征值只能是０或纯虚数．　定理７　Ａ∈Ｈ（ｎ，＊，～），则Ａ酉相似于复对角矩阵，即存在Ｕ∈Ｈ（ｎ，　），使得　Ｕ’ＡＵ＝ｄｉａｇ（　ｌ，　２，　３，…，　）　其中　，　２，　．．，　∈Ｃ为Ａ的７１个右特征值且　，　２，　．．，　只能是０或是纯虚数．　证：此定理为定理５，定理６的综合推论．　维普资讯 http://www.cqvip.com 第１期　伍俊良等：　四元数体上斜自共轭矩阵的几个定理　１１　注：定理７类似于自共轭矩阵的一个非常重要的定理（文１定理４．３．１），定理７的证明方法也可作为　文１定理４．３．１的另外一种证明方法．　定理８　Ａ∈Ｈ（ｎ，＊，一），则存在多项式厂（ｚ）∈Ｒ［ｚ］，使得厂（Ａ）一一Ａ，厂（一Ａ）一Ａ．　证：由定理５知，存在【，∈Ｈ（ｎ，●　　），使得Ｕ　ＡＵ＝ｄｉａｇ（　一，　，　”，　￡），其中　”，　０，　一，　ｚ∈Ｃ，ｍ＋ｚ一　．不妨设　三一　等于　●　－．，　为　一，　￡中所有不相同的元素（￡≤ｚ）．令　ｇｉ（ｚ）一　ｘ—　ｆ　ｆ—　ｆ　慌　＋　ｘ—　ｆ　（　ｆ—　ｆ）（　ｆ—　）　，　２，…，ｔ　则ｇ　（ｚ）（　一１，２，…，　）是Ｒ上的多项式，于是　厂（ｚ）一∑　ｇｉ（ｚ），厂（　）一０，ｉ一１，２，…，ｍ，ｆ（２ｊ）一　，ｆ（２　）一　ｊ，．『一１，２，…，ｔ　—ｌ　因为Ａ—Ｕｄｉａｇ（　ｌ，…，　，　ｌ，…，　￡）【，。，所以Ａ　一Ｕｄｉａｇ（　，…，　，＝：，　，…，　）【，。　则可得厂（Ａ）一Ａ　，ｆ（Ａ　）一Ａ，又因为Ａ∈Ｈ（ｎ，＊，一），故厂（Ａ）＝一Ａ，厂（一Ａ）一Ａ，定理得证．　参考文献：　［１］　庄瓦金．体上矩阵理论导引［Ｍ］．北京：科学出版社，２００６：６．Ⅱ　　［２］　ＤＡＶＤ　Ｗ．ＬＥｗＩｓ　Ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ　Ａｌｇｅｂｒａｓ三　　ａｎｄ　ｔｈｅ　Ａｌｇｅｂｒａｉｃ　Ｌｅｇａｃｙ　ｏｆ　Ｈａｍｉｌｔｏｎ’ｓ　ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｉｒｉｓｈ　Ｍａｔｈ　Ｓｏｃ　Ｂｕｌｌｅｔｉｎ。２００６。　５７：４１－６４．　［３］　姜同松，陈丽．四元数体上矩阵的广义对角化［Ｊ］．应用数学和力学，２００２（１１）：１２０３—１２１０．Ⅱ鬻　　［４－１　王庆贵．四元数变换及其在空间机构位移分析中的应用［Ｊ］．力学学报，１９８３（１）：１２０１—１２０８．　［５］　张光枢．刚体有限转动合成的可交换性［Ｊ］．力学学报，１９８２（４）：１１０６—１２５６．　［６］　ＢＯＥＨＭ　Ｗ．Ｏｎ　ｃｕｂｉｃｓ：ａ　ｓｕｒｖｅｙ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｇｒａｐｈｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｍａｇｅ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，１９８２．１９：２０１—２２６．　［７］　ＧＥＲＡＬＤ　Ｆａｒｉｎ．Ｃｕｒｖｅｓ　Ｓｕｒｆａｃｅｓ　ｆｏｒ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ａｉｄｅｄ　Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　Ｄｅｓｉｇｎ［Ｍ］．Ｓａｎ　Ｄｉｅｇｏ　ＣＡ：Ａｃａｄｅｍｉｃ　Ｐｒｅｓｓ，１９９０．　［８３　Ｊ０ＨＮＳＯＮ　Ｃ　Ｒ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｄｅｆｉｎｉｔｅ　ｍａｔｒｉｃｅｓ［Ｊ］．Ａｍａｒ　Ｍａｔｈ　Ｍｏｎｔｈｌｙ，１９７０，７７：２５９—２６４．　［９３　屠伯埙．四元数体上矩阵的弱直积与弱圈积［Ｊ］．复旦大学学报：自然科学版，１９９１（３）：３３１—３３９．　［１Ｏ］　庄瓦金．四元数矩阵的特征值与奇异值不等式［Ｊ］．数学进展，１９８８（４）：４０３—４０６．　［１１］　伍俊良．四元数体上矩阵的弱直积与弱圈积德特征值和奇异值不等式［Ｊ］．重庆师范学院学报：自然科学版，１９９４（１２）：６０—６５．　［１２］　杨忠鹏．四元数矩阵乘积的奇异值与特征值不等式［Ｊ］．数学研究与评论，１９９２（１２）：６１７—６２２．　［１３］　屠伯埙．四元数体上自共轭阵的中心化基本定理及其应用［Ｊ］．数学杂志，１９８８（８）：１４３—１５０．　［１４］　姜同松，魏木生．四元数矩阵的实表示与四元数矩阵方程［Ｊ］．数学物理学报，２００６（４）：５７８—５８４．　Ｔｈｅｏｒｅｍｓ　ｏｆ　ｓｋｅｗ　ｓｅｌｆ－ｃｏｎｊ　ｕｇａｔｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｏｎ　ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ　ｄｉｖｉｓｉｏｎ　ａｌｇｅｂｒａ　、７ｌ　Ｊｕｎ—ｌｉａｎｇ，　ＺＯＵ　Ｌｉ—ｒａｉｎ，　ＣＨＥＮ　Ｘｉａｎｇ—ｐｉｎｇ，Ｌｌ　Ｓｈｅｎｇ—ｊ　ｔｅ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｐｈｙｓｉｃｓ　ｏｆ　Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ　４０００４４。Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ　ｗａｓ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　Ｉｒｉｓｈ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎ　Ｈａｍｉｌｔｏｎ（１８０５—１８６５）ｉｎ　１８４３．Ａｓ　ｉｔ　ｉｓ　ｅｘｐｅｃｔｅｄ，ｔｈｅ　ｍａｉｎ　ｏｂｓｔａｃｌｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｔｕｄｙ　ｏｆ　ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ　ｍａｔｒｉｃｅｓ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｎｏｎ—ｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｍｕｌｔｉ—　ｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎｓ．Ｂｅｃａｕｓｅ　ｏｆ　Ｉｔｓ　ｗｉｄｅ－ｒａｎｇｉｎｇ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｍａｎｙ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｓｃｉｅｎｃｅ，ｓｕｃｈ　ａｓ　ｔｈｅ　ｑｕａｎｔｕｍ　ｐｈｙｓｉｃｓ，ｇｅｏｓｔａｔｉｃ，ｔｈｅ　ｆｉｇｕｒｅ　ａｎｄ　ｐａｔｔｅｒｎ　ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｐａｃｅ　ｔｅｌｅｍｅｔｒｙ　ａｎｄ　ｓｏ　ｆｏｒｔｈ，ｔｈｅ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｉｎ　ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ　ａｌｇｅｂｒａ　ｉｓ　ｖａｌｕａｂｅ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｆ　ｍａｔｒｉｘｅｓ　ｉｓ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｌｙ　ａｎ　ｉｍ—　ｐｏｒｔａｎｔ　ａｓｐｅｃｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ　ｄｉｖｉｓｉｏｎ　ａｌｇｅｂｒａ．Ｔｈｅ　ｐｕｒｐｏｓｅ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｉｓ　ｔｏ　ｄｉｓｃｕｓｓ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ　ｏｆ　ｓｋｅｗ　ｓｅｌｆ－ｃｏｎｊ　ｕｇａｔｅ　ｍａｔｒｉｘ．Ｔｈｅ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｋｅｗ　ｓｅｌｆ—ｃｏｎｊ　ｕｇａｔｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｏｎ　ｒｅａｌ　ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ　ｄｉｖｉｓｉｏｎ　ａｌｇｅｂｒａ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ．Ｂａｓｉｎｇ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｆａｍｏｕｓ　Ｓｃｈｕｒ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｏｎ　ｒｅａｌ　ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ　ｄｉｖｉｓｉｏｎ　ａｌｇｅｂｒａ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｏｐｅｒ—　ａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍａｔｒｉｘ，ｓｏｍｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ａｎｄ　ｊｕｄｇｉｎｇ　ｃｒｉｔｅｒｉｏｎｓ　ｏｆ　ｓｋｅｗ　ｓｅｌｆ－ｃｏｎｊｕｇａｔｅ　ｍａｔｒｉｘ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　Ｓｅｖｅｒａｌ　ｔｈｅｏｒｅｍｓ　ａｂｏｕｔ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｖａｌｕｅ，ｓｉｍｉｌａｒ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｒｅａｌ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ｏｆ　ｓｋｅｗ　ｓｅｌｆ－　ｃｏｎｊ　ｕｇａｔｅ　ｍａｔｒｉｘ　ａｒｅ　ｇａｉｎｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ　ｄｉｖｉｓｉｏｎ　ａｌｇｅｂｒａ，ｓｋｅｗ　ｓｅｌｆ－ｃｏｎｊ　ｕｇａｔｅ　ｍａｔｒｉｘ，ｓｉｍｉｌａｒ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ