一、填空题（共11小题）
1、有一块两直角边长分别为3cm和4cm的直角三角形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，有两种方法：一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图（1）；另一种是一组邻边在直角
三角形的两直角边上，另一个顶点在斜边上，如图（2）．两种情形下正方形的面积哪个大？ ____（填（1）或（2））．
2、如图，Rt△ABC（∠C=90°）中有三个内接正方形，DF=9厘米，GK=6厘米，则第三个正方形的边长PQ的长是 _________ 厘米． 3、如图：在⊙O中，经过⊙O内一点P有一条弦AB，且AP=4，PB=3，过P点另有一动弦CD，连接AC，DB．设CP=x，PD=y．（1）求证：△ACP∽△DBP．（2）则y关于x的函数解析式是 _________ ． （3）若CD=8时，则S△ACP：S△DBP的值为 _________ ．
4、已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，连接AC、BC、过O点作AB的垂线，交BC于E，交半圆于F，交AC的延长线于D．如果OA=2，点C在弧AF上运动（不与点A，F重合）．设OE的长为x，△AOD的面积为y，则y和x之间的函数关系式为 _________ ，自变量x的取值范围是 _________ 。
5、如图，平行四边形ABCD中，BC=12cm，P、Q是三等分点，DP延长线交BC于E，EQ延长线交AD于F，则AF= _________ ． 6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，E、F是BC的三等分点，过点C、E、F分别作AB的垂线，垂足分别为D、G、H，连接AE、AF，分别交CD、EG于M、N，记△CME的面积为S1，△ENF的面积为S2，△FHB的面积为S3，则
的值是 _________ ．
7、将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为 _________ ． 8、如图所示，直线l1⊥l2，垂足为点O，A，B是直线l1上的两点，且OB=2，AB=（0°＜α＜180°）．
（1）当α=60°时，在直线l2上找点P，使得△BPA是以∠B为顶角的等腰三角形，此时OP= _________ ．
（2）当α在什么范围内变化时，直线l2上存在点P，使得△BPA是以∠B为顶角的等腰三角形，请用不等式表示α的取值范围： _________ ．
9、如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2011= _________ ．
．直线l1绕点O按逆时针方向旋转，旋转角度为α
10、如图，△ABC的面积是63，D是BC上的一点，且BD：CD=2：1，DE∥AC交AB于E，延长DE到F，使FE：ED=2：1，则△CDF的面积是 _________ ．
11、如图，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=3，BC=4，P是BC边上的动点，设BP=x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP=90°，则x的取值范围是 _________ ．
二、选择题（共2小题）
12、如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，设S△DPB=y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则△ABC的面积为（ ）
A、4
B、6
C、12
D、14
13、如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则AC的长为（ ）
A、9cm
B、14cm
C、15cm
D、18cm
三、解答题（共3小题）
14、将两个等边△ABC和△DEF（DE＞AB）如图所示摆放，点D是BC上的一点（除B、C点外）．把△DEF绕顶点D顺时针旋转一定的角度，使得边DE、DF与△ABC的边（除BC边外）分别相交于点M、N． （1）∠BMD和∠CDN相等吗？
（2）画出使∠BMD和∠CDN相等的所有情况的图形；
（3）在（2）题中任选一种图形说明∠BMD和∠CDN相等的理由．
15、如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=分别与AB、x轴、y轴交与点C、G、D． （1）求点G的坐标； （2）求直线CD的解析式；
，边AB的垂直平分线CD
（3）在直线CD上和平面内是否分别存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q得坐标；若不存在，请说明理由．
16、已知直线l经过A（6，0）和B（0，12）两点，且与直线y=x交于点C． （1）求直线l的解析式；
（2）若点P（x，0）在线段OA上运动，过点P作l的平行线交直线y=x于D，求△PCD的面积S与x的函数关系式；S有最大值吗？若有，求出当S最大时x的值；
（3）若点P（x，0）在x轴上运动，是否存在点P，使得△PCA成为等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案与评分标准 一、填空题
1、有一块两直角边长分别为3cm和4cm的直角三角形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，有两种方法：一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图（1）；另一种是一组邻边在直角 三角形的两直角边上，另一个顶点在斜边上，如图（2）．两种情形下正方形的面积哪个大？ （2） （填（1）或（2）即可）．
分析：（1）利用三角形的面积关系求出AB边上的高，再利用相似三角形的性质求出正方形的边长； （2）设出正方形的边长，再利用相似三角形的性质求出正方形的边长．
解答：解：（1）因为△ABC为直角三角形，边长分别为3cm和4cm，则AB=作AB边上的高CG． 于是
=
，故CG=
cm．易得：△DCG∽△ACB，故：
=
，
=5．
设正方形边长为xcm，得：=，解得：x=cm．
（2）令AC=3，设正方形边长为ycm． 易得：△ADE∽△ACB，于是：
=
，
=，解得：y=
cm．
点评：（1）利用面积法求出直角三角形斜边上的高是解答此题的而关键； （2）可根据△ADE∽△ACB或△BFE∽△BCA来解答． 2、如图，Rt△ABC（∠C=90°）中有三个内接正方形，DF=9厘米，GK=6厘米，则第三个正方形的边长PQ的长是 4 厘米．
分析：易得△FGK∽△KPQ，
．故可求得PQ的值．
解答：解：GF=EF﹣EG=9﹣6=3，设PQ=x，∵GK∥PQ，∴∠FKG=∠KQP，又∵∠FGK=∠KPQ=90°
∴△FGK∽△KPQ，∴，∴，解得x=4．
答：第三个正方形的边长为4厘米． 3、如图：在⊙O中，经过⊙O内一点P有一条弦AB，且AP=4，PB=3，过P点另有一动弦CD，连接AC，DB．设CP=x，PD=y．
（1）求证：△ACP∽△DBP． （2）则y关于x的函数解析式是 y=
．
（3）若CD=8时，则S△ACP：S△DBP的值为 4：9 ．
分析：（1）△ACP和△DBP中，根据圆周角定理即可得到两组对应角相等，由此得证； （2）根据相似三角形得到的比例线段即可求出y、x的函数关系式；
（3）已知CD=CP+PD=8，联立（2）的函数关系式，即可求得CP、PD的长，进而可根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出所求的结果． 解答：证明：（1）∵∠C=∠B，∠A=∠D，∴△ACP∽△DBP；（3分） （2）由（1）可得：CP•PD=AP•PB，即xy=12； ∴y=
（3分）
（3）由题意得；（2分）
得x1=2，x2=6（2分） ∴CP=2，PD=6或CP=6，PD=2（2分）
S△ACP：S△DBP=CP：BP=2：3=4：9或S△ACP：S△DBP=CP：BP=6：3=4：1．（2分） 点评：此题主要考查了圆周角定理以及相似三角形的判定和性质．
4、已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，连接AC、BC、过O点作AB的垂线，交BC于E，交半圆于F，交AC的延长线于D．如果OA=2，点C在弧AF上运动（不与点A，F重合）．设OE的长为x，△AOD的面积为y，则y和x之间的函数关系式为 y= ，
自变量x的取值范围是 0＜x＜2
分析：（1）由AB是直径得出∠ACB是直角，推出∠A和∠B的和为90°，再由OD与AB垂直得出∠A与∠D的和为90°，从而得出角的等量关系，即可得到△OEC∽△OCD，从而推出结论． （2）由△OEC∽△OCD得出边的比例关系，再由三角形的面积公式即可得出y和x之间的函数关系式，再求出自变量x的取值范围即可． 解答：解：∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90° ∵OD⊥AB，∴∠A+∠D=90°，∴∠D=∠B=∠OCB，∵∠EOC=∠COD，∴△OEC∽△OCD ∴
∴OC=OE•OD，∵OC=2，OE=x，∴2=x•OD，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
又∵y=∴y=
∴自变量x的取值范围是0＜x＜2
5、如图，平行四边形ABCD中，BC=12cm，P、Q是三等分点，DP延长线交BC于E，EQ延长线交AD于F，则AF= 3 ．
分析：延长DP交AB的延长线与M，根据DC∥AB，得到△DCP∽△MAP，则
，则AM=2CD，所以BM=CD，
再根据AD∥BE易证△CDE≌△BME，则BE=CE=BC=6cm．又因为AD∥BC，可以推出△AFQ∽△CEQ，则可以得到
，由此可以得到AF=CE=3cm．
解答：解：如图，延长DP交AB的延长线与M， ∵DC∥AB，∴△DCP∽△MAP，∴
，
∴AM=2CD，∴BM=CD，又∵AD∥BE，∴△CDE≌△BME，∴BE=CE=BC=6cm，∵AD∥BC，
∴△AFQ∽△CEQ，则，∴AF=CE=3cm．
故填空答案：3cm．
点评：本题主要考查了三角形的相似．能够想到延长DP交AE的延长线与M，从而把问题转化为求CE的长，是解决本题的关键． 6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，E、F是BC的三等分点，过点C、E、F分别作AB的垂线，垂足分别为D、G、H，连接AE、AF，分别交CD、EG于M、N，记△CME的面积为S1，△ENF的面积为S2，△FHB的面积为S3，则
的值是
．
分析：根据题意可以求出CD、EG、FH的长，△FHB是等腰直角三角形，面积容易得到，△CME与△ENF中EN，CM边上的高都等于BH的长．
根据相似三角形的性质就可以求出EN、CM的长．就可以求出两个三角形的面积． 解答：解：BF=EF=CE=2，△BFH是等腰直角三角形，因而BH=2×
=
，
S3=1，根据CD∥EG∥FH，BF=EF=CE，则△CME与△ENF中，EN、CM边上的高都等于BH=，
△BCD是等腰直角三角形，因而CD=6×=3，根据==，因而EG=CD=2，=，
则MD=EG=，则CM=
，△CME的面积S1=×CM×=，同理S2=，因而的值是．
点评：本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等．善于发现题目中的相似三角形是解决本题的关键．
7、将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为 ．
分析：因为阴影部分的面积=S正方形BCQW﹣S梯形VBFC，根据已知求得梯形的面积即不难求得阴影部分的面积了．
解答：解：∵VB∥ED，∴VB：DE=AB：AD，即VB：5=2：（2+3+5） ∴VB=1，∵CF∥ED，∴CF：DE=AC：AD，即CF：5=5：10，∴CF=2.5 ∵S梯形VBFC=（BV+CF）BC÷2=
，∴阴影部分的面积=S正方形BCQW﹣S梯形VBFC=
点评：本题利用平行线分线段成比例的性质，正方形的性质求解． 8、如图所示，直线l1⊥l2，垂足为点O，A，B是直线l1上的两点，且OB=2，AB=
．直线l1绕点O按逆时针方向旋转，旋转角度为α（0°＜α＜180°）．
（1）当α=60°时，在直线l2上找点P，使得△BPA是以∠B为顶角的等腰三角形，此时OP= （2）当α在什么范围内变化时，直线l2上存在点P，使得△BPA是以∠B为顶角的等腰三角形，请用不等式表示α的取值范围： 45°＜α＜90°或90°＜α＜135° ． 分析：（1）以点B为圆心，AB为半径画圆，与l2的交点即是P点．则在直角三角形OBD中，解直角三角形，即可求解．
（2）根据垂线段最短，从点B向l2作垂线BD，交点为D，则根据特殊角的三角函数可知∠B0P的度数，即可求解． 解答：解：（1）在直线l2上找点P，使得△BPA是以∠B为顶角的等腰三角形，则以点B为圆心，AB为半径画圆即可．与l2的交点就是点P．从B点作OP的高BD，则在直角三角形OBD中，解直角三角形可知：OD=
，所以PO=
﹣1或
+1．
﹣1或+1 ．
（2）根据垂线段最短，从点B向l2作垂线BD，交点为D，则根据特殊角的三角函数可知∠B0P=45°，所以45°≤α＜90°．与l2的交点有两个；当旋转到第二象限时，90°＜α≤135°．
点评：本题综合考查了旋转与等腰三角形的知识，注意要做等腰三角形，腰一端的为顶点画圆是最好的方法． 11、如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2011= •（表示为•亦可） ．
分析：先根据△ABC是等边三角形可求出△ABC的高，再根据三角形中位线定理可求出S1的值，进而可得出S2的值，找出规律即可得出S2011的值． 解答：解：∵△ABC是边长为1的等边三角形， ∴△ABC的高=AB•sin∠A=1×
=
，∵DF、EF是△ABC的中位线，∴AF=，∴S1=××
=
；
同理可得，S2=×；…，∴Sn=（）
n﹣1
；∴S2011=•（表示为•亦可）．
故答案为：S2011=•（表示为•亦可）．
点评：本题考查的是相似多边形的性质，涉及到等边三角形的性质、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及
三角形中位线定理，熟知以上知识是解答此题的关键． 10、如图，△ABC的面积是63，D是BC上的一点，且BD：CD=2：1，DE∥AC交AB于E，延长DE到F，使FE：ED=2：1，则△CDF的面积是 42 ．
分析：根据平行线分线段成比例首先得出BD：BC=DE：AC=BE：AB=2：3，即可得出S△BDE：S△ABC=4：9，再利用EF：AC=4：3，得出S△MEF：S△AMC=16：9，进而求出S△BMC：S△ABC=BC•WM：BC•AN=WM：AN=6：7，从而求出S△AMC=63﹣54=9，分别求出S△BDE与S四边形MEDC，即可得出答案． 解答：解：作MW⊥BC，AN⊥BC，垂足分别为W，N． ∵BD：CD=2：1，DE∥AC， ∴BE：AE=2：1， ∴BD：BC=DE：AC=BE：AB=2：3， ∴S△BDE：S△ABC=4：9， ∴S△BDE=×63=28， ∵FE：ED=2：1=4：2， ∴EF：AC=4：3， ∴S△MEF：S△AMC=16：9， ∴EM：AM=4：3，
假设EM=4x，AM=3x，BE=AB=2AE=2（EM+AM）=14x， ∴BM：AB=18x：3x=18：3， ∴MW：AN=BM：AB=18：21=6：7，
∴S△BMC：S△ABC=BC•WM：BC•AN=WM：AN=6：7， ∵S△ABC=63， ∴S△BMC=54， ∴S△AMC=63﹣54=9， ∵S△MEF：S△AMC=16：9， ∴S△MEF=16， ∵S△BDE=×63=28，
∴S四边形MEDC=63﹣9﹣28=26， ∴△CDF的面积是：26+16=42． 故答案为：42．
点评：此题主要考查了平行线分线段成比例定理以及三角面积和相似三角形面积比与相似比的关系等知识，根据已知作出高线，进而得出高的比值，再得出S△BMC，进而求出S△AMC=63﹣54=9是解决问题的关键． 11、如图，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=3，BC=4，P是BC边上的动点，设BP=x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP=90°，则x的取值范围是 3≤x≤4 ．
分析：根据已知首先找出BP取最小值时QO⊥AC，进而求出△ABC∽△OQC，再求出x的最小值，进而求出PB的取值范围即可．
解答：解：过BP中点以BP为直径作圆， 连接QO，当QO⊥AC时，QO最短，即BP最短， ∵∠OQC=∠ABC=90°，∠C=∠C， ∴△ABC∽△OQC， ∴=
，
∵AB=3，BC=4， ∴AC=5， ∵BP=x，
∴QO=x，CO=4﹣x，
∴=，
解得：x=3，
当P与C重合时，BP=4， ∴BP=x的取值范围是：3≤x≤4， 故答案为：3≤x≤4．
点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系以及三角形的相似的性质与判定和勾股定理等知识，找出当QO⊥AC时，QO最短即BP最短，进而利用相似求出是解决问题的关键． 二、选择题（共2小题） 12、如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，设S△DPB=y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则△ABC的面积为（ ）
A、4 B、6 C、12 D、14
分析：根据函数的图象知BC=4，AC=3，根据直角三角形的面积的求法即可求得其面积． 解答：解：∵D是斜边AB的中点，
∴根据函数的图象知BC=4，AC=3， ∵∠ACB=90°， ∴S△ABC=AC•BC=×3×4=6．
故选B．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
13、如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则AC的长为（ ）
A、9cm B、14cm C、15cm D、18cm 分析：延长FG交CB的延长线于点H．根据平行四边形的性质，得BC=AD=6cm，BC∥AD．根据AAS可以证明△AFE≌△BHE，则BH=AF=2cm，再根据BC∥AD，得解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=6cm，BC∥AD． ∴∠EAF=∠EBH，∠AFE=∠BHE， 又AE=BE， ∴△AFE≌△BHE， ∴BH=AF=2cm． ∵BC∥AD， ∴
，
，求得CG的长，从而求得AC的长．
即，
则CG=12，
则AC=AG+CG=15（cm）． 故选C．
点评：此题综合考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线分线段成比例定理．此题中要能够巧妙构造辅助线．
三、解答题（共3小题） 14、将两个等边△ABC和△DEF（DE＞AB）如图所示摆放，点D是BC上的一点（除B、C点外）．把△DEF绕顶点D顺时针旋转一定的角度，使得边DE、DF与△ABC的边（除BC边外）分别相交于点M、N． （1）∠BMD和∠CDN相等吗？ （2）画出使∠BMD和∠CDN相等的所有情况的图形； （3）在（2）题中任选一种图形说明∠BMD和∠CDN相等的理由．
考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质。 专题：证明题。 分析：（1）当M在AB上时，两角相等；当M在AC上时，两角不相等； （2）根据（1）分类画出图形，即可解答；
（3）根据三角形的内角和和平角的定义，即可得出； 解答：解：（1）可能相等，也可能不相等；
（2）有四种情况，如下：
（3）选④证明： ∵△ABC和△DEF均为等边三角形， ∴∠B=∠EDF=60°， ∴∠ADB+∠BMD=∠ADB+∠CDN=120°， ∴∠BMD=∠CDN．
点评：本题主要考查了等边三角形的性质和旋转的性质，体现了分类讨论思想． 15、如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=
，边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交与点C、
G、D．
（1）求点G的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在直线CD上和平面内是否分别存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q得坐标；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题。
分析：（1）根据DC是AB垂直平分线，得出G点为OB的中点，再根据OB的值，即可求出点G的坐标； （2）先过点C作CH⊥x轴，在Rt△ABO中，根据∠ABO的度数和OB的值求出AB的长，再在Rt△CBH中，求出OH的值，得出点D的坐标，再设直线CD的解析式，得出k，b的值，即可求出直线CD的解析式；
（3）首先判断出存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，再分四种情况进行讨论，根据条件画出图形，分别根据Q点的不同位置求出Q的坐标即可． 解答：解：（1）∵DC是AB垂直平分线，OA垂直AB， ∴G点为OB的中点， ∵OB=
，
∴G（，0）．
（2）过点C作CH⊥x轴于点H，
再Rt△ABO中，∠ABO=30°，OB=，
∴cos30°=，
即AB═×=4，
又∵CD垂直平分AB，
∴BC=2，在Rt△CBH中，CH=BC=1，BH=
，
∴OH=﹣=，
∴C（，﹣1），
∵∠DGO=60°， ∴OG=OB=
，
∴OD=tan60°=4，
∴D（0，4），
设直线CD的解析式为：y=kx+b，则，解得：
∴y=﹣x+4；
（3）存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形．
①如图，当OD=DQ=QP=OP=4时，四边形DOPQ为菱形，设QP交x轴于点E，在Rt△OEP中，OP=4，∠OPE=30°， ∴OE=2，PE=2
，
∴Q（2，4﹣2
）．
②如图，当OD=DQ=QP=OP=4时，四边形DOPQ为菱形，延长QP交x轴于点F，在Rt△POF中，OP=4，∠FPO=30°， ∴OF=2，PF=2
，
∴QF=4+2
∴Q（﹣2，4+2）．
③如图，当PD=DQ=QO=OP=时，四边形DOPQ为菱形，在Rt△DQM中，∠MDQ=30°，
∴MQ=DQ=
∴Q（，2）．
④图，当OD=DQ=QP=OP=4时，四边形DOPQ为菱形， 设PQ交x轴于点N，此时∠OQP=∠ODQ=30°，
在Rt△ONQ中，NQ=OQ=2，
∴ON=2，
∴Q（2，﹣2）；
综上所述，满足条件的点Q共有四点：（2，4﹣2），（﹣2，4+2），（，2），（2，﹣2）；
点评：此题考查了一次函数的综合应用；解题的关键是对（3）中Q点的不同位置分别进行求解，不要漏掉． 16、已知直线l经过A（6，0）和B（0，12）两点，且与直线y=x交于点C． （1）求直线l的解析式；
（2）若点P（x，0）在线段OA上运动，过点P作l的平行线交直线y=x于D，求△PCD的面积S与x的函数关系式；S有最大值吗？若有，求出当S最大时x的值；
（3）若点P（x，0）在x轴上运动，是否存在点P，使得△PCA成为等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题。 分析：（1）利用待定系数法将A（6，0）和B（0，12）代入解析式，求出即可； （2）将两函数解析式联立，得出点C的坐标，再利用△OPD∽△OAC，进而求出
=
，再利用二次函数最值求出
即可；
（3）分别根据P1C=CA，P3A=AC，P2A=AC，P4C=P4A时结合图形求出即可． 解答：解：（1）设直线L解析式为y=kx+b，将A（6，0）和B（0，12）代入，得：
，
解得：，
∴直线L解析式为y=﹣2x+12；
（2）解方程组：
，
得：，
∴点C的坐标为（4，4）， ∴S△COP=x×4=2x； ∵PD∥L， ∴△OPD∽△OAC， ∴=
，
而=，
∴=，
即=，
∴△PCD的面积S与x的函数关系式为： S=﹣x+2x，
2
∵S=﹣（x﹣3）+3，
∴当x=3时，S有最大值，最大值是3．
（3）存在点P，使得△PCA成为等腰三角形， ∵点C的坐标为（4，4），A（6，0），
根据P1C=CA，P3A=AC，P2A=AC，P4C=P4A时分别求出即可， 当P1C=CA时，P1（2，0）， 当P2A=AC时，P2（6﹣2
，0），
2
当P3A=AC时，P3（6+2
，0），
当P4C=P4A时，P4（1，0）， ∴点P的坐标分别为： P1（2，0），P2（6﹣2
，0），P3（6+2
，0），P4（1，0）．
点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及三角形的相似的性质与判定和二次函数的最值、勾股定理等知识，题目综合性较强，相似经常与函数综合出现，利用数形结合得出是解决问题的关键．
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