第三章 练习题

例1：某糖厂用自动打包机装糖。已知每袋糖的重量（单位：千克）服从正态分布X~N,2。今随机抽查9袋，称出它们的重量并计算得到x48.5,s*2.5。取显著性水平0.05。在下列两种情形下分别检验H0:50 H1:50

(1)24 (2)2未知

糖的重量X~N,2，现在已知x48.5,s*2.5,n9,显著性水平0.05，在两种情形下检验：H0:50 H1:50(1)24 (2)2未知解：

解：(1)计算检验统计量的观测值un 临界值u1x02u0.97521.96，因为2.251.96，所以拒绝原假设948.5502.25

即不能认为糖的重量的平均值是50千克，即打包机工作不正常。糖的重量X~N,2，现在已知x48.5,s*2.5,n9,显著性水平0.05，在两种情形下检验：H0:50 H1:50(2)2未知 x048.550解：计算检验统计量的观测值tn91.8s*2.5 临界值tn1t0.97582.306，因为1.82.306，所以不能12拒绝原假设，即不能认为打包机工作不正常。例2：在上题中，试在显著性水平0.1下检验H0:24 H1:24

x48.5,s*2.5,n9,显著性水平0.1，H0:24 H1:24*2n1s解：计算检验统计量的观测值20212.5

临界值21n120.9813.362，因为12.513.362，所以不能拒绝原假设，即不能认为打包机工作不正常.例3：监测站对某条河流每日的溶解氧（DO）质量浓度记录了30个数据，并由此算得x2.52,s2.05。已知这条河流的每日DO质量浓度服从N,2，试在显著性水平0.05下检验H0:2.7 H1:2.7。

溶解氧质量浓度服从N,2，现在已知x2.52,s2.05,n30,显著性水平0.05，检验：H0:2.7 H1:2.7解：显然2未知，且ns2n1s*2,由此算得s*2.085解：

计算检验统计量的观测值tn 临界值t12300.473s*2.085n1t0.975292.0452，因为0.4732.0452，所以x02.522.7

不能拒绝原假设，即可以认为溶解氧质量浓度还是2.7mg/L.

例4．某种产品的重量X~N12,1单位：克，更新设备后，从新生产的产品中 随机抽取100个，测得平均重量x12.5克,如果方差不变，问更新设备后，产品的平均重量是否有显著变化0.1? 解：

检验H0:12,H1:12unx010012.5125, u1u0.951.64521

uu0.95,所以拒绝原假设，即认为产品的平均重量有显著变化。

例：从某厂生产的一批灯泡中随机抽取20个，分别测试其寿命，算得平均寿命，假设灯泡的寿命服从正态分布x1960小时，标准差s=200（小时）

其中,2均未知。在显著性水平0.05下能否断言这批灯泡的X~N,2，

平均寿命达到国家标准2000小时？

例：（续）该厂的统计工作者考虑到厂方的利益，建立假设

H0:2000,H1:2000（他要设法使符合国家标准的灯泡被误认为不合格成为第一类错误）

x1960,s200,n20,显著性水平0.05，检验：H0:2000 H1:2000解：计算检验统计量的观测值解：

x0x019602000tnn1190.87s*s200 临界值t0.0519t0.95191.73，因为0.871.73，所以不能拒绝原假设，即可以认为灯泡的寿命符合国家标准.

例5：设某厂生产的铜线的折断力X~N,2，今从一批产品中抽查10根测其折断力，算得x575.2,s*268.16，试问能否认为这批铜线折断力的方差为820.05? 解：

检验H0:282 H1:282n1s*2计算220968.169.585641-222n10.0259=2.7,2n10.975919.02322

2.79.58519.023所以不能拒绝原假设，即可以认为这批铜线折断力的方差为 82.

例6．从一批灯泡中随机抽取36只，分别测试其寿命，算得平均寿命标准差s=490（小时），问：能否认为这批灯泡的平均寿命为2000x1900小时，

小时0.01?假设灯泡的寿命服从正态分布。 解：

H0:2000,H1:2000tnxs36190020001.22,t1n1t0.95352.7238

2490tt0.9535,所以能认为这批灯泡的平均寿命为2000小时

例7．随机地从一批外径为1厘米的钢珠中抽取10只测试屈服强度（单位，得到数据并由此算得x2200,s220。已知钢珠的屈服强度服从N/cm2）

N,2。试在显著性水平0.05下分别检验 （1）H0:2000 H1:2000 （2）H0:200 H1:200

钢珠的屈服强度服从N,2，现在已知x2200，s220，n10，显著性水平0.05，检验：H0:2000 H1:2000解：显然2未知，解：

计算检验统计量的观测值tn 临界值t1x02s220n1t0.97592.262，因为2.8752.262，所以10220020002.875

拒绝原假设，即不能认为钢珠的平均屈服强度还是2000N/cm2.

钢珠的屈服强度服从N,2，现在已知x2200，s220，n10，显著性水平0.05，检验：H0:200 H1:200解：显然未知，解：

92202计算检验统计量的观测值2(xix)10.8920i120021n2

2 临界值12n10.95916.919，因为10.8916.919，所以不能拒绝原假设，即认为钢珠屈服强度的标准差仍是200N/cm2.

例8： 从某厂生产的电子元件中随机地抽取了25个做使用寿命测试（单位h），得到数据并由此算得x100,xi24.9105。已知这种电子元件的使用寿命服从

i125N,2，且国家标准为90h以上。试在显著性水平0.05下检验该厂生产的电子元件是否符合国家标准，即要检验H0:90 H1:90

电子元件的使用寿命服从N,2，现在已知x100，xi1252i4.9105，n25，显著性水平0.05，检验：H0:90 H1:901n22XnX解：解：显然未知，si100n1i12*

计算检验统计量的观测值tnx010090250.5s100 临界值t1n1t0.95241.7109，因为0.51.7109，所以不能拒绝原假设，即可以认为该厂生产的电子元件不符合国家标准.

实际工作中经常会遇到这样的问题，要比较两个正态总体的均值而又不知道它们的方差是否相等。这时可借助于F检验先对“两个正态总体的方差相等”这个假设做检验。如果检验结果是不能拒绝这一假设，那么再继续使用t检验。为了使等方差假定建立在比较可靠的基础上，在作F检验时应选取较大的值作为显著性水平，因为此时F检验的II类风险较小。

例：某厂使用甲、乙两种不同原料生产同一类型的产品。从某天的产品中随机地抽取一些样品作比较。取使用原料甲生产的样品21件，算得

x2.46kg,s10.585kg；取使用原料乙生产的样品16件，算得

y2.55kg,s20.558kg。假定产品的质量服从正态分布。试问：（1）在显著性

水平0.5下，能否认为两个正态总体的方差相等？（2）在显著性水平0.01下，能否认为用这两种不同原料生产的产品的平均重量相同？

例：甲、乙两台机床加工同样的零件。从这两台机床加工的零件中随机地抽取一些样品，测得它们的外径（单位：毫米）为

机床甲20.519.819.720.420.120.019.019.9机床乙19.720.820.519.819.420.619.2

试问这两台机床加工的零件的外径有无显著差异？假定零件的外径服从正态分布，且两个方差相等，取显著性水平0.05。

例：在漂白工艺中要考察温度对某种针织品断裂强力的影响。在70度与80度下分别重复了8次试验，测得断裂强力数据（单位：千克）如下：

700c20.518.519.520.921.519.521.021.2800c17.720.320.018.819.020.120.219.1

试问在这两种温度下断裂强力有无显著差异？假定断裂强力服从正态分布。

例：某厂产品的不合格率通常是5%。厂方希望知道原料产地的改变是否对产品的质量发生显著的影响。今随机地从一批产品中抽取了100个进行检验，发现7个不合格品，试问厂方由此可以得出什么结论？取显著性水平0.05。

例：设X1,,Xn是取自正态总体N,100的一个样本，要检验

H0:0 H1:0。试确定常数d，使得下列以W1为拒绝域的检验犯第一类错误的概率为0.05：n25,W1x1,例：设X1,,x25:xd。

,Xn是取自总体X的一个样本，XR0,。要检验

H0:2 H1:2。试确定常数d，使得下列以W1为拒绝域的检验犯第一类错误的概率为0.1：n4,W1例：设X1,x,1,x4:x4d。

,Xn是取自正态总体N,1的一个样本，要检验

H0:0 H1:0。拒绝域W1x,1,xn:nxu1

（1） 试证犯第一类错误的概率为； （2） 试求PX1,,XnW1,0；

（3） 当0.05,n4时，试求1-0.1，分析结果。