2014-2015学年湖北省武汉市黄陂区部分学校联考八年级（上）
月考数学试卷（10月份）
一、选择题
1．已知如图，∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于（ ）
A．120° B．115° C．110° D．105°
2．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．AD=AE D．AB=AC
3．如图所示，在△AFD和△BEC中，点A，E，F，C在同一直线上，有下列四个论断中选哪三个作为条件不能证明△ADF和△BCE全等（ ） （1）AD=CB；（2）AE=CF；（3）∠B=∠D；（4）AD∥BC．
B．∠AEB=∠ADC C．BE=CD
A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（3）（4）
4．等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则其余两边长为（ ） A．4cm，4cm B．2cm，6cm
C．5cm，3cm D．4cm，4cm或2cm，6cm
5．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8
6．三角形三个内角的度数分别是（x+y）°，（x﹣y）°，x°，且x＞y＞0，则该三角形有一个内角为（ ）
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A．30° B．45° C．90° D．60°
7．等腰三角形的腰长为a，底为x，则x的取值范围是（ ） A．0＜x＜2a B．0＜x＜a C．0＜x＜ D．0＜x≤2a
8．已知三角形的三个外角的度数比为2：3：4，则它的最大内角的度数为（ ） A．90° B．110° C．100° D．120°
9．有长为2cm、3cm、4cm、5cm的四根木棒，选其中的3根作为三角形的边，可以围成的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数是（ ） A．9 B．8 C．7 D．6
二、填空题 11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC= 度．
12．如图所示，∠B=∠D=90°，要证明△ABC与△ADC全等，还需要补充的条件是 ．（填上一个条件即可）
13．一个多边形除了一个内角∠x，其余内角的和等于2750°，那么，这个多边形的一个内角∠x为 度．
14．在△ABC中，若AB=5，AC=3．则中线AD的长的取值范围是 ．
15．在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D，且BD：DC=5：3，则D到AB的距离为 cm． 16．已知：如图，在平面上将△ABC绕B点旋转到△A′BC′的位置时，AA′∥BC，∠ABC=70°，则∠CBC′为 度．
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三、解答题
17．如图所示，直线AD和BC相交于O，AB∥CD，∠AOC=95°，∠B=50°，求∠A和∠D．
18．如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB． （1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举； （2）求证：CF=EF．
19．如图所示，已知AC=BD，∠CAB=∠DBA．求证： （1）△CAB≌△DBA； （2）△CAO≌△DBO．
20．如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点．PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF=EF．
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21．已知：如图，△ABC中AC=AB，AD平分∠BAC，且AD=BD．求证：CD⊥AC．
22．在△ABC中，AB=AC，DAE三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证：DE=BD+CE．
23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
24．已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，
（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形； （2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
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2014-2015学年湖北省武汉市黄陂区部分学校联考八年
级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知如图，∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于（ ）
A．120° B．115° C．110° D．105° 考点： 三角形的外角性质；三角形内角和定理． 分析： 利用三角形的内角和外角之间的关系计算． 解答： 解：∵∠B=45°，∠C=38°， ∴∠ADF=45°+38°=83°，
∴∠DFE=∠A+∠ADF=32°+83°=115°． 故选B．
点评： 主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
2．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．AD=AE B．∠AEB=∠ADC C．BE=CD D．AB=AC 考点： 全等三角形的判定． 专题： 推理填空题．
分析： 根据AAS即可判断A；根据三角对应相等的两三角形不一定全等即可判断B；根据AAS即可判断C；根据ASA即可判断D．
解答： 解：A、根据AAS（∠A=∠A，∠C=∠B，AD=AE）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；
B、三角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确；
C、根据AAS（∠A=∠A，∠B=∠C，BE=CD）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；
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D、根据ASA（∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误； 故选：B．
点评： 本题考查了对全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定方法只有SAS，ASA，AAS，SSS，共4种，主要培养学生的辨析能力．
3．如图所示，在△AFD和△BEC中，点A，E，F，C在同一直线上，有下列四个论断中选哪三个作为条件不能证明△ADF和△BCE全等（ ） （1）AD=CB；（2）AE=CF；（3）∠B=∠D；（4）AD∥BC．
A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（3）（4） 考点： 全等三角形的判定．
分析： 利用全等三角形的判定方法对四个选项分别证明即可． 解答： 解：A、（1）AD=CB；（2）AE=CF；（3）∠B=∠D；满足的是SSA，故不能证明全等； B、（1）AD=CB；（2）AE=CF；（4）AD∥BC， ∵AE=CF，
∴AF=CE，∵AD∥BC， ∴∠A=∠C，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS）； 故B可以证明； C、（2）AE=CF；（3）∠B=∠D；（4）AD∥BC； ∵AE=CF， ∴AF=CE， ∵AD∥BC， ∴∠A=∠C，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（AAS）； 故C可以证明； D、（1）AD=CB；（3）∠B=∠D；（4）AD∥BC． ∵AD∥BC， ∴∠A=∠C，
在△ADF和△CBE中，
，
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∴△ADF≌△CBE（ASA）； 故D可以证明； 故选A．
点评： 本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．
4．等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则其余两边长为（ ） A．4cm，4cm B．2cm，6cm
C．5cm，3cm D．4cm，4cm或2cm，6cm
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系． 专题： 分类讨论．
分析： 本题没有明确说明已知的边长是否是腰长，则有两种情况： ①底边长为2；
②腰长为2，再根据三角形的性质：三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边判断是否满足，若满足则为答案．
解答： 解：①底边长为2，腰长=（10﹣2）×=4，满足三角形的性质；
②腰长为2，底边长=10﹣2×2=6，∵2+2=4＜6，因此不满足三角形的性质 综上：其余两边长为：4，4． 故选A．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
5．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 考点： 多边形内角与外角．
分析： 多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和都等于360°，故可列方程求解．
解答：解：设所求多边形边数为n， 则（n﹣2）•180°=3×360°﹣180°， 解得n=7． 故选：C．
点评： 本题考查根据多边形的内角和和外角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
6．三角形三个内角的度数分别是（x+y）°，（x﹣y）°，x°，且x＞y＞0，则该三角形有一个内角为（ ）
A．30° B．45° C．90° D．60° 考点： 三角形内角和定理．
分析： 根据三角形内角和为180°，将三个内角相加即可求得x的值，即可解题． 解答： 解：∵三个内角的度数分别是（x+y）°，（x﹣y）°，x°，三角形内角和为180°， ∴x+y+x﹣y+x=180， ∴3x=180，
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x=60， 故选D．
点评： 本题考查了三角形内角和为180°的性质，本题中求得x的值是解题的关键．
7．等腰三角形的腰长为a，底为x，则x的取值范围是（ ） A．0＜x＜2a B．0＜x＜a C．0＜x＜ D．0＜x≤2a
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 根据两腰相等和三角形的三边关系得到a﹣a＜x＜a+a，可得到答案． 解答： 解：∵是等腰三角形， ∴两腰相等，
∴三角形的三边分别为a、a、x，
由三角形三边关系可得a﹣a＜x＜a+a， 即0＜x＜2a， 故选A．
点评： 本题主要考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
8．已知三角形的三个外角的度数比为2：3：4，则它的最大内角的度数为（ ） A．90° B．110° C．100° D．120° 考点： 三角形的外角性质．
分析： 根据三角形的外角和等于360°列方程求三个外角的度数，确定最大的内角的度数即可．
解答： 解：设三个外角的度数分别为2k，3k，4k，根据三角形外角和定理，可知2k°+3k°+4k°=360°，得k=40°， 所以最小的外角为2k=80°，
故最大的内角为180°﹣80°=100°． 故选C．
点评： 此题考查的是三角形外角和定理及内角与外角的关系，解答此题的关键是根据题意列出方程求解．
9．有长为2cm、3cm、4cm、5cm的四根木棒，选其中的3根作为三角形的边，可以围成的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点： 三角形三边关系．
分析： 先写出不同的分组，再根据三角形的任意两边之和大于第三边对各组数据进行判断即可得解．
解答： 解：任取3根可以有一下几组： ①2cm，3cm，4cm，能够组成三角形， ②2cm，3cm，5cm， ∵2+3=5，
∴不能组成三角形； ③2cm，4cm，5cm， 能组成三角形，
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③3cm，4cm，5cm， 能组成三角形，
∴可以搭出不同的三角形3个． 故选：C．
点评： 本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
10．若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数是（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 考点： 多边形内角与外角．
分析： 多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解． 解答： 解：设所求正n边形边数为n， 则1080°=（n﹣2）•180°， 解得n=8． 故选：B．
点评： 本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
二、填空题 11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC= 45 度．
考点： 直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．
分析： 根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°．
解答： 解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E ∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°， 又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等） ∴∠EAF=∠DBF，
在Rt△ADC和Rt△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS）， ∴BD=AD，
即∠ABC=∠BAD=45°． 故答案为：45．
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点评： 三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
12．如图所示，∠B=∠D=90°，要证明△ABC与△ADC全等，还需要补充的条件是 AB=AD或BC=CD或∠BAC=∠DAC或∠ACB=∠ACD ．（填上一个条件即可）
考点： 直角三角形全等的判定． 专题： 开放型． 分析： 要证明△ABC与△ADC全等，现有一角一边分别对应相等，还缺少一个条件，可选边，也可选角．
解答： 解：添加AB=AD或BC=CD，依据HL，可证明△ABC与△ADC全等；∠BAC=∠DAC或∠ACB=∠ADC，依据AAS，可证明△ABC与△ADC全等．
故需要补充的条件是AB=AD或BC=CD或∠BAC=∠DAC或∠ACB=∠ACD．（答案不唯一） 故填AB=AD或BC=CD或∠BAC=∠DAC或∠ACB=∠ACD．
点评： 本题考查了直角三角形全等的判定；熟练掌握三角形全等的方法、结合图形进行添加条件是正确解答本题的关键．
13．一个多边形除了一个内角∠x，其余内角的和等于2750°，那么，这个多边形的一个内角∠x为 130 度．
考点： 多边形内角与外角．
分析： 利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可． 解答： 解：设多边形的边数为n，由题意有 （n﹣2）•180﹣x=2750， 整理得：180n=3110+x， ∵n为正整数， ∴n=18．
∴∠x=（18﹣2）×180﹣2750=130度． 故答案为130． 点评： 本题考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180度．
14．在△ABC中，若AB=5，AC=3．则中线AD的长的取值范围是 1＜AD＜4 ．
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考点： 三角形三边关系；全等三角形的判定与性质． 专题： 计算题．
分析： 先作辅助线，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，先证明△ABD≌△ECD，在△AEC中，由三角形的三边关系定理得出答案．
解答： 解：延长AD至点E，使DE=AD，连接EC， ∵BD=CD，DE=AD，∠ADB=∠EDC， ∴△ABD≌△ECD， ∴CE=AB，
∵AB=5，AC=3，CE=5， 设AD=x，则AE=2x， ∴2＜2x＜8， ∴1＜x＜4， ∴1＜AD＜4．
故答案为：1＜AD＜4．
点评： 本题考查了三角形的三边关系定理，难度一般，关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．
15．在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D，且BD：DC=5：3，则D到AB的距离为 6 cm．
考点： 角平分线的性质． 分析： 利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知D到AB的距离为等于CD的长度，求CD长即可．
解答： 解：∵∠C=90°，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D， ∴CD就是D到AB的距离， ∵BD：DC=5：3，BC=16cm， ∴CD=6，
即D到AB的距离为6cm． 故填6．
点评： 本题主要考查角的平分线上的点到角的两边的距离相等的性质．利用线段相等学会线段的转移，利用相等的线段进行线段转移是一种很重要的方法，注意掌握． 16．已知：如图，在平面上将△ABC绕B点旋转到△A′BC′的位置时，AA′∥BC，∠ABC=70°，则∠CBC′为 40 度．
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考点： 旋转的性质．
分析： 此题结合旋转前后的两个图形全等的性质以及平行线的性质，进行计算． 解答： 解：∵AA′∥BC， ∴∠A′AB=∠ABC=70°． ∵BA′=AB，
∴∠BA′A=∠BAA′=70°，
∴∠ABA′=40°，又∵∠A′BA+∠ABC'=∠CBC'+∠ABC'， ∴∠CBC′=∠ABA′， 即可得出∠CBC'=40°． 故答案为：40°．
点评： 本题考查旋转的性质以及平行线的性质．
三、解答题
17．如图所示，直线AD和BC相交于O，AB∥CD，∠AOC=95°，∠B=50°，求∠A和∠D．
考点： 三角形的外角性质；平行线的性质． 专题： 计算题． 分析： 先根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠A，再根据两直线平行，内错角相等得到∠D等于∠A．
解答： 解：在△ABO中，∵∠AOC=95°，∠B=50°， ∴∠A=∠AOC﹣∠B=95°﹣50°=45°； ∵AB∥CD，
∴∠D=∠A=45°．
点评： 本题主要考查三角形的外角性质和两直线平行，内错角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
18．如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB． （1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举； （2）求证：CF=EF．
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考点： 全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题．
分析： （1）根据Rt△ABC≌Rt△ADE，得出AC=AE，BC=DE，AB=AD，∠ACB=∠AED，∠BAC=∠DAE，从而推出∠CAD=∠EAB，△ACD≌△AEB，△CDF≌△EBF， （2）由△CDF≌△EBF，得到CF=EF．
解答： （1）解：△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF；
（2）证法一：连接CE， ∵Rt△ABC≌Rt△ADE， ∴AC=AE．
∴∠ACE=∠AEC（等边对等角）． 又∵Rt△ABC≌Rt△ADE， ∴∠ACB=∠AED．
∴∠ACE﹣∠ACB=∠AEC﹣∠AED． 即∠BCE=∠DEC． ∴CF=EF．
证法二：∵Rt△ABC≌Rt△ADE， ∴AC=AE，AD=AB，∠CAB=∠EAD， ∴∠CAB﹣∠DAB=∠EAD﹣∠DAB． 即∠CAD=∠EAB． ∴△CAD≌△EAB，
∴CD=EB，∠ADC=∠ABE． 又∵∠ADE=∠ABC， ∴∠CDF=∠EBF． 又∵∠DFC=∠BFE， ∴△CDF≌△EBF（AAS）． ∴CF=EF．
证法三：连接AF， ∵Rt△ABC≌Rt△ADE， ∴AB=AD． 又∵AF=AF，
∴Rt△ABF≌Rt△ADF（HL）． ∴BF=DF． 又∵BC=DE，
∴BC﹣BF=DE﹣DF．
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即CF=EF．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
19．如图所示，已知AC=BD，∠CAB=∠DBA．求证： （1）△CAB≌△DBA； （2）△CAO≌△DBO．
考点： 全等三角形的判定． 专题： 证明题．
分析： （1）由条件再加上AB=BA，可以利用SAS来证明；
（2）由（1）的结论可得到∠C=∠D，再加上对顶角相等可证明全等． 解答： 证明：
（1）在△CAB和△DBA中
∴△CAB≌△DBA（SAS）；
（2）由（1）可知△CAB≌△DBA， ∴∠C=∠D，
在△CAO和△DBO中
∴△CAO≌△DBO（AAS）．
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点评： 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．
20．如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点．PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF=EF．
考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题．
分析： 先根据点P在∠AOB的角平分线OC上，PE⊥OB可求出PD=PE，∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°，由全等三角形的判定定理可得出△DPF≌△EPF，进而可得出答案． 解答： 证明：∵点P在∠AOB的角平分线OC上，PE⊥OB，PD⊥AO， ∴PD=PE，∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°， ∴∠DPF=90°﹣∠DOP，∠EPF=90°﹣∠EOP， ∴∠DPF=∠EPF，（2分） 在△DPF和△EPF中
（SAS），
∴△DPF≌△EPF（6分）
∴DF=EF．（8分）
点评： 本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定定理与性质，在解答此题时要注意应用角平分线的性质进行求解．
21．已知：如图，△ABC中AC=AB，AD平分∠BAC，且AD=BD．求证：CD⊥AC．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 专题： 证明题．
分析： 过D作DE⊥AB于E，根据等腰三角形性质推出AE=AB，∠DEA=90°，求出AE=AC，根据SAS证△DEA≌△DCA，推出∠ACD=∠AED即可．
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解答： 解：过D作DE⊥AB于E， ∵AD=BD DE⊥AB ∴AE=AB，∠DEA=90°， ∵AC=AB
∴AE=AC
∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD， 在△DEA和△DCA中，
，
∴△DEA≌△DCA， ∴∠ACD=∠AED， ∴∠ACD=90°， ∴AC⊥DC．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△DEA≌△DCA，主要培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较好，难度适中． 22．在△ABC中，AB=AC，DAE三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证：DE=BD+CE．
考点： 全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题．
分析： 利用∠BDA=∠BAC得到：∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，得出∠CAE=∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案． 解答： 证明：∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中，
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，
∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”“ASA”、、“AAS”；得出∠CAE=∠ABD是解题关键．
23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： 数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC；利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰直角三角形的性质，即可证得：△EAB≌△EDC即可证明． 解答： 数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC．
证明：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°， ∴∠EAD=∠EDA=45°， ∴AE=DE，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°， ∠EDC=∠ADC﹣∠EDA=180°﹣45°=135°， ∴∠EAB=∠EDC， ∵D是AC的中点， ∴AD=CD=AC， ∵AC=2AB， ∴AB=AD=DC，
∵在△EAB和△EDC中
，
∴△EAB≌△EDC（SAS）， ∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，
∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=90°， ∴BE⊥EC．
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点评： 本题主要考查了全等三角形的判定与应用，证明线段相等的问题一般的解决方法是转化为证明三角形全等．
24．已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，
（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形； （2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
考点： 等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质． 专题： 几何综合题．
分析： （1）先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形； （2）还是证明：△BED≌△AFD，主要证∠DAF=∠DBE（∠DBE=180°﹣45°=135°，∠DAF=90°+45°=135°），再结合两组对边对应相等，所以两个三角形全等． 解答： （1）证明：连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，BD=AD． ∴∠B=∠DAC=45° 又BE=AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS）． ∴ED=FD，∠BDE=∠ADF．
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°． ∴△DEF为等腰直角三角形．
（2）解：△DEF为等腰直角三角形．
证明：若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示： 连接AD， ∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵∠BAC=90°，D为BC的中点，
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∴AD=BD，AD⊥BC（三线合一）， ∴∠DAC=∠ABD=45°． ∴∠DAF=∠DBE=135°． 又AF=BE，
∴△DAF≌△DBE（SAS）． ∴FD=ED，∠FDA=∠EDB．
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°． ∴△DEF仍为等腰直角三角形．
点评： 本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．
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