二次函数面积问题(整)

1.题型一：割补法

1.1 求解析式

已知抛物线经过点A（4，）和点B（，2），且对称轴为直线l，顶点为C，求解析式。

由对称性可知，顶点C的横坐标为4/2=2，代入抛物线方程得2b+c=-4，又由于抛物线经过点A和B，代入方程可得2b+c=16和-b+c=2.解方程组得b=-3，c=2，代入方程y=-x^2-3x+2即可得到解析式。

1.2 求面积

连接AC、BC、BD，求四边形ADBC的面积。

由于AC和BC在对称轴上，所以它们的长度相等。设AC=BC=x，由顶点C的坐标可知，AC和BC的纵坐标分别为2和-2，因此四边形ADBC的面积为x*4+1/2*x*(-4)=2x。

2.如图，在直角坐标系中，已知直线y=x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点坐标为（-2，），求解析式和四边形AOBM的面积。

2.1 求解析式

由于抛物线经过点A、B、C，所以可以列出三个方程，分别是c=4，a+b+c=0，4a-2b+c=-2.解方程组得a=1，b=-3，c=4，因此抛物线的解析式为y=x^2-3x+4.

2.2 求面积

设抛物线的顶点为M，连接AM和XXX，求四边形AOBM的面积。

由于抛物线的对称轴与x轴垂直，所以顶点M的横坐标为1.5，代入抛物线方程可得纵坐标为4.25.因此，四边形AOBM的面积为1/2*2*4.25=4.25.

3.已知抛物线y=3(x+1)^2-12如图所示

3.1 求交点坐标

抛物线与y轴的交点为(-3,-3)，因为当x=0时，y=-3.抛物线与x轴的交点为(-3±2√3,0)，因为当y=0时，x=-1±√3.

3.2 求面积

设顶点D的坐标为(-1,0)，连接AD和BD，求四边形ABCD的面积。

由于AD和BD在对称轴上，所以它们的长度相等。设AD=BD=x，由顶点D的坐标可知，AD和BD的纵坐标分别为3和-3，因此四边形ABCD的面积为x*6+1/2*x*6=9x。

4.如图，抛物线y=x^2-4x+3交x轴于A、B两点（点A在B左侧），顶点为D点，点C为抛物线上一点，且横坐标是4.

4.1 求坐标

由于抛物线与x轴的交点为A和B，所以A和B的纵坐标均为0，代入抛物线方程可得A和B的横坐标分别为1和3.由顶点D的坐标可知，D的横坐标为2，代入抛物线方程可得D的纵坐标为-1.因此，A的坐标为(1,0)，B的坐标为(3,0)，D的坐标为(2,-1)。

4.2 求面积

连接AC和CD，求△ACD的面积。

由于C的横坐标为4，代入抛物线方程可得纵坐标为7，因此△ACD的面积为1/2*2*7=7.

5.如图，抛物线y=x^2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，与x轴正半轴交于B点，与y轴交于点C，且BO=CO=3AO，△ABC面积为6.

5.1 求b、c的值

由于抛物线与x轴负半轴交于A点，所以A的坐标为(-a,0)，代入抛物线方程可得a^2-ba+c=0.由于抛物线与x轴正半轴交于B点，所以B的坐标为(a,0)，代入抛物线方程可得a^2+ba+c=0.由于BO=CO=3AO，所以C的坐标为(0,3a)，代入抛物线方程可得c=3a^2.

将c代入前两个方程中，解得a=1，b=2，c=3.因此，抛物线的解析式为y=x^2+2x+3.

5.2 求面积

设抛物线的顶点为M，连接BM，求△BCM的面积。

由于BO=3AO，所以OM=2/3*a。因此，M的坐标为(-1/3*a,3/9*a)=(a/3,a)。代入抛物线方程可得M的纵坐标为c+1/3*b-a^2/9=4/3*a^2+2/3.

连接BM，设BM的长度为x，则△BCM的面积为

1/2*x*(4/3*a^2+2/3)=4/9*a^2*x+1/3*x。由于B的坐标为(a,0)，所以BM的长度为√(a^2+x^2)，代入面积公式可得面积为4/9*a^2*√(a^2+x^2)+1/3*x。

6.如图，抛物线y=x^2-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）。

6.1 求坐标

由于抛物线与x轴的交点为A和B，所以A和B的纵坐标均为0，代入抛物线方程可得A和B的横坐标分别为k+2+√(k+1)和k+2-√(k+1)。由于抛物线与y轴的交点为C，所以代入抛物线方程可得k=-3.因此，A的坐标为

(k+2+√(k+1),0)=(√2-1,0)，B的坐标为(k+2-√(k+1),0)=(-√2-1,0)。

6.2 求面积

设抛物线的顶点为M，连接BM，求四边形OBMC的面积。

由于抛物线的对称轴与y轴垂直，所以顶点M的横坐标为1，代入抛物线方程可得纵坐标为k-1.因此，四边形OBMC的面积为1/2*3*(√2-1+√2+1)*2+1/2*2*(√2-1+√2+1)*(k-1)=4√2+k-3.

1.抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，2）和（2，3），且在点（3，4）处的切线平行于直线y＝x＋1.

1）求抛物线的解析式；

2）求抛物线上横坐标为3的点处的纵坐标； 3）求抛物线与直线y＝x＋1的交点坐标。 解析：

1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，代入已知条件得到以下三个方程组：

a＋b＋c＝2 4a＋2b＋c＝3

9a＋3b＋c＝4＋6a＋2b

解得a＝﹣1，b＝3，c＝0，因此抛物线的解析式为y＝﹣x2＋3x；

2）将x＝3代入抛物线的解析式得到y＝3，因此横坐标为3的点处的纵坐标为3；

3）将抛物线的解析式y＝﹣x2＋3x代入直线y＝x＋1的方程得到x2＋2x＋1＝0，解得x＝﹣1为交点的横坐标，代入抛物线的解析式得到交点的纵坐标为2，因此交点坐标为（﹣1，2）。

2.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为V，过点（2，3）的直线与抛物线交于A，B两点，且AV平行于x轴。

1）求抛物线的解析式； 2）求点A，B的坐标；

3）若点P在抛物线上，且线段AP与线段BV平行，求线段AP的长度。

解析：

1）因为抛物线的顶点为V，所以抛物线的解析式为y＝a(x＋p)2＋q，其中p＝﹣b/2a，q＝c﹣ap2；

2）将点（2，3）代入抛物线的解析式得到3＝4a＋2bp＋q，将p＝﹣b/2a代入得到q＝3＋b2/4a，因此抛物线的解析式为y＝a(x＋1)2＋3；

将直线y＝kx＋(3﹣2k)代入抛物线的解析式得到ax2＋(2ak﹣2a)x＋a(k2﹣2k﹢2)＋3﹣2k＝0，因为直线与抛物线有两个交点，所以判别式大于等于0，即：

2ak﹣2a)2﹣4a(a(k2﹣2k﹢2)＋3﹣2k)≥0

化简得到k2﹣2k﹢5/2≥0，因此直线的斜率k的取值范围为k≤1﹢√7/2或k≥1﹣√7/2；

将k代入直线的方程得到点A，B的坐标为（﹣1﹢√7，﹣3﹢2√7）和（﹣1﹣√7，﹣3﹣2√7）；

3）设点P的坐标为（x，y），则线段AP的长度为√[(x﹣2)2＋(y﹣3)2]，线段BV的长度为√[(x＋1﹣√7)2＋(y＋3﹢2√7)2]，因为AP与BV平行，所以它们的斜率相等，即(y﹣3)/(x﹣2)＝(y＋3﹢2√7)/(x＋1﹣√7)，解得y＝(x﹣2)√7﹢3，代入线段AP的长度公式得到线段AP的长度为√[(x﹣2)2＋(x﹣2)2(√7﹢1)2]，化简得到线段AP的长度为√(8+4√7)。

1.如图，一条直线y＝﹣x+c与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，一条抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B、C。

1）求点A的坐标和抛物线的解析式。

点C的坐标为（0，c），将其代入直线方程可得c=3，因此点C的坐标为（0，3）。将点B的坐标代入直线方程可得c=-3，因此直线方程为y=-x-3.将点A（a，a^2+ba+c）代入抛物线方程可得a^2+ba+c=a，因此a^2+(b-1)a+c=0.由于抛物线经过点B（3，0），将其代入方程可得9a+3b+c=0.联立两个方程可解得a=1，b=-2，c=4，因此抛物线的解析式为y=x^2-2x+4.

2）当点P在直线BC下方的抛物线上（不与点A重合），且△PBC的面积和△ABC的面积相等时，求出点P的横坐标。

设点P的横坐标为p，则其纵坐标为p^2-2p+4.由于△PBC和△ABC的高相等，面积相等可以转化为底相等，因此p-3=p^2-2p+4，解得p=2或p=4.但由于题目要求点P在直线BC下方，因此只有p=2满足条件，因此点P的横坐标为2.

2.已知一条抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）。

1）求抛物线的解析式。

将点A和点B的坐标代入抛物线方程可得a+b+c=0和9a+3b+c=0.联立两个方程可解得a=-1，b=4，c=-2，因此抛物线的解析式为y=-x^2+4x-2.

2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）。 ①当△PBC的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标。

设点P的横坐标为p，则其纵坐标为-p^2+4p-2.由于△PBC和△ABC的高相等，面积相等可以转化为底相等，因此p-3=2-p，解得p=2.5或p=3.5.但由于题目要求点P在抛物线上，因此只有p=2.5满足条件，因此点P的坐标为（2.5，-1.25）。

②当点P在抛物线上且BP的中点为（2，1）时，求点P的坐标。

由于BP的中点为（2，1），因此点P的横坐标为4-2t，纵坐标为2t-1，其中t为参数。将其代入抛物线方程可得-2t^2+8t-6=0，解得t=1或t=1.5.因此点P的坐标分别为（2，1）和（1，0.25）。