第十二章 极限

1、极限定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限地趋近于某个

常数a（即ana无限地接近于0），那么就说数列an以a为极限或者说a是数列an的极限。

2、一般地，设an是一个无穷数列，a是一个常数，如果an以a为极限，则记作

limana limcc（c是常数）

nn3、极限的性质：

对任意实数a有：1）当a1时，lima0

nn 2）当a1时，若a1则limalim11

nnnn若a1则limalim(1)不存在

nnn 3）当a1时，lima不存在

nn4、函数极限：一般地，当自变量x无限趋近于常数x（但xx）时，如果函数f(x)无

限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0时，函数f(x)的极限就是a

xx0limf(x)a也叫做函数f(x)在xx0点处的极限。

xx05、 极限的判定：lim6、极限的运算：

f(x)limf(x)a f(x)alimxx0xx0lim[f(x)g(x)]abxx0 如果limf(x)a ,limg(x)b 那么lim[f(x)g(x)]ab

xx0xx0xx0limf(x)a,(b0)xx0g(x)blim[ab]abnnn 如果limana limbnb 那么lim[anbn]ab

nnnaalimn,(b0)nbnb 如果c是常数，那么lim(can)ca

n

极限的基本题型

一、根据极限的性质解题

1、若limanA，则下面几个结论中，正确的是（D）nA、数列{anA)}一定是递减数列B、数列{anA}一定是递增数列C、数列{anA}一定是递减函数D、数列{anA}的极限是零

2、判定是否正确1)、有限数列没有极根（正确）2)、无穷数列不一定有极根（正确）3)、无穷递减数列一定有极根（错）4)、无穷递增数列一定没有极根（错）5)、左右摆动的数列一定没有极根（错）6)、若无穷数列{an}}有极根，那么去掉这个数列的有限项后，剩下的按原序排成的数列仍有极根（正确）3、下面数列不存在极根的是（C）1234A,,,,23453111927B,,246814916C,,2,345591317D,,,2468n1解：A:an1n1n13(n1)88n55B:an42n2n2nn2C:ann15(n1)44n11

D:an22n2n2n1xn)0则x的取值范围。nx1xn1x解：若lim()0则须1,即1xx

nxx1两边平方可得：x22x1x2x24、若lim(

m1n)的极限。mm1解：当m1时,0mm1 lim0nmm11当m1时,011mmm1nlim()0nm5、设m1,求(x1xn的公比为q，且有lim6、已知等比数列(1qn)则首项x1的取值范围。n1q2x1解：由lim(1qn),则n1q21q0或0q1q1,或x111x111q21q2110x1或x11,x132211x(0,)(,1){3}2211x,(x0)7、已知f(x)0,(x0)则limf(x)?limf(x)?x0x01,(0x1) 11解：limf(x)lim1x0x01x10x0

limf(x)limx0 x0x218、已知lim(ax)0,求常数a?xxx21x2ax21解：lim(ax)0,lim0xxxxx2ax21若a1,则lim将不存在

xx只有a1时才有极限为0a1

9、已知lim5nan2bnc2,求a,b?

nlim5nan 解：25nbncliman2bnc5nan2bnc

n25a0ba255a2b20

n5nan2bnclim25n2an2bncn5nan2bnc(25a)nbclimn n5abc2nn2二、求极限值

1、求lim(nn2n1)的值。nlim(nnn1)lim 解：nn2(nn2n)(nn2n)nnn21

nnn11limn111n1112212n2、求lim(222)的值。

nnnn12nlim(222) 解：nnnn12nlim2lim2lim2 nnnnnn

0000132n13、求lim(n)的值。

n2n4n2nlimnn21

132n11132n1lim(n)lim(2n) 解：n2nnn24n2n221111lim[(1)(12)(1n)] nn2221111lim[n(2n)] nn22211[1()n]12)]lim[1(2 n 1n1212322322n3n4、求lim()的值。

n6626n2322322n3nlim() 解：2nn666[()() limn1313213n1121()()n] 22211211n113322limn111132nn 111 lim11n2321123211115、求lim(1)(1)(1)(1)的值。

n345n21111lim(1)(1)(1)(1) 解：n345n2234n1lim()n345n2

20n26、lim[1111]n2558811(3n1)(3n2)1111lim[]n2558811(3n1)(3n2)111111111lim() n325588113n13n2111lim()n323n2167、求极限：limx31x2

x3 解：limx31x21x21x2(1x)4 limlimx3x3x3x31x2(x3)(1x2)limx31x2

11limx31x24x3x38、求极限:lim2x1x2x1

2x12x1xx1lim2x1limxx1 lim 解：2222x1x1x-1211111

2722222C2C32C4Cn9、求极限：limxnC1C1C1C1234n

23mm1m解：C2C31,CnCnCn122323C2C32CnC3C32CnCn11111C2C3C4Cn234n(n1)(n2)2原式

13三、极限的综合问题

23456789101、设数列1、2、4、7、11、16的第n项为an，数列1、、、234a的前n项为bn，则limn?nbn解：观察an可发现:anan1n1a2a11,a3a22,,anan1n1,叠加法有n(n1),a112n(n1)n2n2an122观察bn可发现,bn的分母为nana112(n1)123(n1)n(n1)22n(n1)n(n1)n(n1)n(n1)n(n1)bn的分子为:12n22222

n3nn212bnn2n2n2ann2n22limlimlim122nbnnn1n1n2an中，a11,且前n项和Sn,满足limSn2、在等比数列n1则a1的取值范围？a1a1(1qn)a解：limSnlim1,且0q1nn1q1qa11,q1a121qa101a121,a11,0a12111a1221a12

2nan3、已知limn1，其中aR,则a的范围？n2an2()n1解：当a2或a2时，原式lima11

n2n()1a当2a2时，原式lim1n2a24、在数列an中，a12,an1公式及liman的值。n3an1a1,(nN)设bnn,求数列bn的通项an3an1解：bnan1an11,a12,b1an133an1an3bn13an11a1an32(an1)1n1bn3a1an114(an1)2n1an3bn1111,bn是以为首项，为公比的等比数列bn23211bn()n132limbn0nbnan1b1,annan1bn1n

limanlimnbn11bn1