结构动态特性分析

结构动态特性分析

结构固有特性分析在数学上称之为特征值和特征向量分析，包含固有频率与固有模态分析，是结构动力学中的主要任务之一。结构固有特性分析是为了研究结构振动的固有规律和内在本质，为结构动力学的进一步分析打下基础，在工程的实际应用以及在求解结构动力响应方面具有很重要的意义。到目前为止，已经发展了许多求解动态特征问题的数值方法。在通常的特征值求解方法中，根据解法的特点，可分为四个基本类型：多项式迭代技术、应用特征多项式的Sturm序列的分解法、矢量迭代法和变换方法。这里不对这些方法做一一介绍，只介绍一些典型常用方法的特点、理论依据以及它们的应用。

、特征值问题的性质

结构无阻尼自由振动方程为

（6-18）

设结构作简谐运动，即

（6-19）

式中：ω为圆频率，θ为相位角，φ为振幅。将上式代人式（6-18）得：

（6-20）

或写成

（6-21）

其中，；K，M分别为结构的刚度矩阵和质量矩阵。式（6-21）是结构动力学的

广义特征值问题。显然，由式（6-21）求出的和的值，只取决于结构本身的刚度矩阵K和质量矩阵M，即它们是结构的固有值。

就是结构自振圆频率，称为结构的特征

值，与ω相应的空间振动形态（即振型或模态）称为特征向量。式（6-21）反映的是结构的动态特性，我们的任务就是求解λ和。在研究特征值问题的具体算法之前，先讨论特征对的一些基本特性。

特征对有如下的特性：

（1）如果K和M都对称，且至少有一个矩阵正定，则特征值一定是实数，特征向量也一定是实向量。如果M正定，并且K为正定或半正定，则所有特征值都是正的实数。

（2）特征向量（或模态向量）关于质量矩阵M和刚度矩阵K正交，即：

（6-22）

（6-23）

在式（6-21）中将特征向量归一化，即：

（6-24）

式（6-24）称为归一化特征向量。则式（6-22），（6-23）有：

（6-25）

（6-26）

（3）Ralyeigh商和特征值的极大极小性质

定义：

（6-27）

称为Ralyeigh商。其中可以看出，当

为n维空间中的任一非零向量。由式（6-25）和（6-26）

为系统的某阶特征向量时，则有：

（6-28）

可以证明：对于任意有

（6-29）

即如果对

和。对于任意向量，的最小值是最小特征值。

，则在计算Ralyeigh

施加约束，即选定向量{v}，在满足的约束下选择

商的极小值时，选取不同的{v}可得到不同的极小值。当{v}为系统的第一阶特征向量时，这些最小值集合的最大值是系统的第二特征值。依此类推，如果使Ralyeigh商收敛到第i阶特征值，则需要i-1个约束。通过极小化和极大化过程，可以得到第i阶特征值。或写为：

（6-30）

式（6-30）称为特征值的极大极小性质。利用特征值的极大极小性质，可以求取结构的任意特征值。

（4）特征值的移轴性质

式（6-21）两边分别减去，则有另一等价形式：

（6-31）

或写为

（6-32）

式中：差μ，即：

。显然，式（6-21）和式（6-32）有相同的特征向量，但特征值相

（6-33）

（5）特征值的分隔性质

作移轴，并将作三角分解，如果有，则对角矩阵D中有i个负元素。它也称为特征值问题的Sturm序列特性。这是特征值问题中很重要的一个性质。利用这一性质，可以在求解过程中判断是否出现丢根；也可以构造计算特征值的方法，如二分法等。

（6）位移展开定理

对于n维空间中的任意向量都可以按模态矩阵展开：

（6-34）

系数q可按下式确定：

（6-35）

即可表示为正交归一基的线性组合。

以上讨论的是广义特征值问题的一些基本特性，深入理解这些性质，对于求解特征值问题很有帮助。比如在求解特征对之前，有时要将刚度矩阵K和质量矩阵M作适当变换，化为新的形式，以便求解。例如，处理旋转结构，飞行中的飞行器，或刚度很大的结构被很柔的构件支承时，结构系统的刚度矩阵是奇异的，或接近病态，这时需要利用特征值的移轴性质将刚度矩阵化为非奇异矩阵。

二、迭代法

向量迭代法又称幂法，它既可用于标准特征值问题，也可用于广义特征值问题。它不

仅适合于对称矩阵，也适合于非对称矩阵，因此它的适用范围较广。这里，只讨论广义特征值问题的向量迭代法。最基本的向量迭代只能求出最大的特征值和相应的特征向量，或最小的特征值和相应的特征向量，其方法分别称为向量正迭代和向量逆迭代。下面介绍向量逆迭代法。

任意选取适当的初始向量，按迭代格式

（6-36）

则向量序列将收敛于相应的特征向量。这是因为对任意向量：

（6-37）

则：

（6-38）

按迭代格式式（6-36）有：

（6-39）

则：

（6-40）

若，当时，式（6-40）中除对应的项外，其余都趋于零，即

趋于与对应的特征向量。

由于当k增大时，量规一化：

可能会变得很大或很小。因此，在迭代过程中，需要将迭代向

（6-41）

在实际的计算机程序中，计算方案如下。

选取初始向量，对进行如下运算：

（1） （6-42a）

（2） （6-42b）

（3） （6-42c）

（4） （6-42d）

若，则当时，必有：

（6-43a）

（6-43b）

式（6-42c）中的就是（6-27）中定义的Rayleigh商。令为的

当前近似值，迭代精度用下式给出：

（6-44）

这里为给定的小量。

在式（6-40）中，随着i的增大而减小。若无重根，令，则是中最

大的比值。显然，若远小于1，则迭代次数很少；反之，则迭代次数很多才会收敛。因此，

反映出迭代法的收敛速度。影响收敛速度的另一个因素是系数，如果比，，大，那么会加快收敛，即

迭择得好会加快收敛。

迭代法的迭代过程是自校正的。迭代向量中的误差只能延迟收敛，而不会破坏收敛性，因为任何一个带误差的向量都可以看作一个新的初始向量，然后再迭代下去，所以迭代不会发散，只是延迟收敛。向量逆迭代法的主要运算量是式（6-42a）。一般预先将刚度矩阵进行

分解，则可提高计算效率。

根据特征值的移轴性质可以构造带移轴的向量迭代方法。只要选取合适的移轴量，就可以既使迭代收敛到所需要的特征对，又可以加快收敛速度。根据迭代法的特性，若迭代向量与欲求的特征向量呈正交关系，则永远也不会收敛到该特征向量。如果我们使所选的

迭代向量与已求得的第一个特征向量正交，则迭代后将收敛到第二个特征向量。按此方法，依次可以求得其他各特征对。一般可以采用Gram-schmidt方法构造与前m个向量正交的迭代向量。如果我们选取的迭代向量不是一个，而是一组正交向量，则可以同时迭代求得一组特征对，这种方法我们称为同时迭代法。由于篇幅，在此不再赘述，有兴趣可参考有关资料。

三、变换法

标准特征值问题已有许多成熟的解法，因此，若将广义特征值问题化为标准特征值问题，则可直接利用这些标准特征值解法。下面介绍这一过程。

1. 广义特征值问题化为标准特征值问题

在式（6-4）广义特征值问题中，质量矩阵M对称正定，则一定存在非奇异矩阵，使得

（6-45）

成立。所以

（6-46）

在式（6-46）中，前乘，并令，则有；

（6-47）

即可得到标准特征值问题：

（6-48）

式中：分解等。

。显然是对称的。质量矩阵M的分解，其典型方法有cholesky

2. 标准特征值问题的变换法

标准特征值问题常用的变换法有雅可比方法（Jacobi）、Givens方法、Householder方法，在一般的矩阵代数教材中均有详细叙述，在此我们只对雅可比方法简要介绍。

雅可比方法自1864年问世以来，至今仍被广泛采用。它是一种旋转变换方法，通过正交旋转变换把矩阵化为对角矩阵。该方法的特点是简单而稳定。

考察标准特征值问题，在经过k次变换后，有：

= k=1,2,3 （6-49）

这里，是一个旋转正交矩阵。雅可比方法的思想是经过多次旋转正交变换使矩阵对

为：

角化，对应的正交矩阵

（6-50）

其中，由矩阵中元素=0的条件来决定。当≠有：

tan2= （6-51）

当时，。正负号取决于的正负。

当时，矩阵A趋向于对角阵。但实际过程中无穷多次迭代是不可能的。一般只

要做到对角占优，即非对角线元素比主对角线元素小得多就认为是对角化了。值得注意的是，在一次旋转中已化为零的非对角线元素，一般在下次旋转中又会变成非零，因而收敛缓慢。克服此问题的一个简单的办法是逐行或逐列进行旋转变换。这样逐行或逐列旋转变换全部非对角线元素一次被称为扫描一次。扫描的缺点是不论非对角元素的大小如何都作旋转变换，这样势必造成浪费。为了加快收敛速度，在扫描过程中设定一个阈值，大于它则进行旋转变换，小于它则不进行旋转变换，这样可减少许多计算量。设定收敛允许精度为s，则：

（ （6-52）

及:

（6-53）

满足式（6-52）表明对角线元素是特征值的近似值，满足式（6-53）则确保非对角线元素足够小。阈值即为式（6-53）中的S。该式表达了一种限定关系，一般取法是，对于第k次旋转，取 s=2k。

如果对广义特征值问题中的刚度矩阵K和质量矩阵M同时用雅可比方法作变换，得到矩阵M、矩阵K共同的主轴，则这种方法称为广义雅可比方法。

Givens方法与雅可比方法类似，也是进行坐标旋转变换，但它不是把实对称矩阵A对角化，而只是三对角化。Householder方法也是一种将实对称矩阵化为三对角阵的方法。它应用矩阵理论中的反射正交矩阵作为变换矩阵，每变换一次，不只是消去一个元素，而是使三对角线以外的一行和一列元素化为零。因此，它比Givens方法更有效。如果矩阵A是n维矩阵，则雅可比方法仅扫描一次就需要2n3次运算，Givens方法是4/3n3次运算，而Householder方法总共只需（n-2）次变换，其运算量是Givens方法的一半。

把矩阵三对角化后，还需要求解三对角矩阵的特征值问题。三对角矩阵求特征值比一般矩阵要容易得多，常用的方法有QR方法和Sturm序列二分法。

QR方法是通过对矩阵进行相似变换，化为对角或上三角矩阵获得原矩阵的特征值。对于实矩阵A作QR分解，即

（6-54）

这里，Q为正交矩阵；R为上三角矩阵。由式（6-54）有

（6-55）

经过k次变换后

（6-56）

显然彼此相似，具有相同的特征值。即通过式（6-56）相似变换，使

中的对角线元素就是矩阵A的特征值。

趋

于对角或上三角矩阵，

下面我们将介绍Sturm序列二分法。

四、Sturm序列二分法

通常可对两种形式的特征值问题作二分法。一种是直接对K和M构成的广义特征值问题用二分法，另一种是标准特征值问题变换为三对角矩阵后再用二分法。

广义特征值问题的二分法是用在有移轴量它可求出任意两个给定值和

时，对作三角分解来进行的。

以内

之间的全部特征值（设>）。若=0，则可求得，判断

的全部低阶特征值。Sturm序列二分法是通过选择适当的负元素的多少，从而找出每一个特征值所在区间。

三角分解后D中

若要求有足够精度的，就必须对作多次三角分解，这需要花费较大的计

算工作量。当特征值为重根或密集分布在某一区间时，其运算也要花费大量的时间。因此，

Sturm序列很少单独作为一种方法来计算特征值，而是作为其它方法的一种辅助方法，如实际运算中，一般只用Sturm序列找出各特征值的区间，然后采用多项式迭代或向量迭代求解特征值。

但是，对于标准特征值问题的三对角矩阵，则常采用Sturm序列的二分法。通常，用Householder法和Lanczos法将标准特征值问题转化为三对角矩阵。对于给定的对称三对角矩阵： 其特征值的行列式为：

（6-58）

定义其零阶主子式：

（6-59a）

以后的各阶主子式为：

6-57）

（

（6-59b）

则由构成一个多项式序列，它是Sturm序列。当取任意一实数值时，

至

所发生的符号改变

Sturm序列的各多项式都可算出具体的数值。令S（）是数，则在区间（，

）中

的零根数为：S（

）－S（）。

对于广义特征值问题，不难得知，S（）的值实际上就是负元素的个数。所以，Sturm序列二分法的过程就是依次求S（征值问题采用三角分解法求S（求S（

）的值。显然后者求S（

作三角分解后D中）值的过程。对广义特

）的值，而对标准特征值问题的三对角阵则用式（6-59））的值比三角分解法迅速、简单。令q= S（），这

种二分法的过程如下：

（1）用Sturm序列确定S（）=，即有个特征值小于。

（2）再确定出小于的特征值个数。于是可知和之间有个特征值。

（3）取

或

之间必有一个。

，并确定出，以

和

和下，有

再作进一步的二分，即取

，则可确定出

和

，直到找到两个

（4）在和之间进一步二分缩小所在的区间，直到某个给定的精度ε，使+

）/2就可作为近似的。

，于是（

在实际计算中，经常会出现的值很大（或很小），引起计算溢出。为了避免这种问

题，多采用以下新序列来求S（），令

（6-60a）

（6-60b）

于是，由构成一新的序列。由上述关系可以看出，新序列中负数的个数就

等于S（）。因此，计算机程序中常采用这种格式求S（）。

五、大、中型特征值问题的求解方法

大、中型结构的特征值问题，已发展出若干有效的求解方法，它们有同时逆迭代法、行列式搜索法、子空间迭代法、lanczos法等。这些方法在结构动力分析中，占有十分重要的地位。下面将介绍几种大、中型结构的特征值问题的基本解法。

1. Reyleigh-Ritz分析

在实际问题中，人们最关心的不是全部特征对，而只是其中的一小部分，例如，最低的前q阶（qn）特征对。在这种情况下，可以用一种近似方法，将n阶广义特征值问

题化为q阶广义特征值问题，这就是Rayleigh-Ritz分析法，或称为 Ritz变换法。它的最大优越性在于降低方程阶数、简化计算，求出近似特征对。

由Rayleigh商性质，从式（6-30），有：

（6-61）

这里取极小的过程是对n个特征向量构成的n维空间中的所有{x}进行的。而Ritz分析的思想是，取极小的过程可以近似地在一个q维空间中进行。若要求系统的前p阶特征对，则先选取合，有：

个线性无关的向量

，i＝1，2，…，q，令｛x｝为这些向量的线性组

（6-62）

式中，称为Ritz基向量，Y是由Ritz基向量构成的阶矩阵，为待定常数，

称为Ritz坐标，{}满足的方程，可以通过Rayleigh商的极小化过程导出。由式（6-27）得：

（6-63）

若记，，则：

（6-64）

在极小化过程中，法则，得：

取极小的必要条件是，利用二次型对向量求偏导的 （6-65）

即：

（6-66）

由式（6-64），则上式变为 （6-67）

式中和都是阶矩阵，是Ritz坐标向量，式（6-67）就是应满足的方

和

很

程。实际上，它也是一个广义特征值问题。由于K、M和都是已知的，所以，容易计算出。

和

称为原刚度矩阵和质量矩阵在

张成的q维子空间上的

投影。于是系统的特征值问题转化为求解q阶广义特征值问题。由于q<的近似值。同时，还可得到q个子空间的特征向

量：

（6-68）

，它们是原系统特征值

它们是原系统特征向量值是取上界，即：

的近似值。在这个分析中，计算出的特征值近似

（6-69）

一般说，用此方法求出的低阶特征值和相应的特征向量效果较好，计算高阶特征值和相应的特征向量效果较差。计算精度与事先假设的向量

的近似程度以及数量 q与n的

比值有关。若假设的Ritz基向量所张成的q维空间正好就是原系统的前q个特征向量所在的子空间或非常接近于这个子空间，则将求出一个非常好的q组特征对。后面将介绍的Lanczos法就能构造出近似程度好的Ritz基向量，称为Lanczos向量。有时为了找到最好的近似，则采用迭代的方法使假设的R i tz基不断逼近特征向量所在的子空间，这就是我们将在下面要介绍的子空间迭代法。

2. 子空间迭代法

子空间迭代法是求解大型特征值问题低阶特征对的有效方法。它实质上是Rayleigh-Ritz方法和同时逆迭代方法的组合。

用同时逆迭代法中的初始向量组作为Ritz基向量，利用Rayleigh-Ritz法在子空间中求解低阶广义特征值问题，再用子空间中的特征向量作为Ritz基的坐标，得到一组新的Ritz基向量，即迭代向量。因为新的迭代向量是以子空间中的特征向量作为坐标，所以保证了它们关于质量矩阵的正交性。由于经过了一次迭代，新的迭代向量就更加逼近真实的低阶特征子空间。不断重复这个过程，直到得到满意的结果。这样解决了Rayleigh-Ritz法中的Ritz基的选择和同时迭代法中的迭代向量的正交化问题。只要初始的Ritz基正交，就能保证收敛于精确的特征对。

下面简要介绍子空间迭代的基本步骤。

为了避免丢根，如果计算p个特征对，则选取q个初始迭代向量，这里q大于p，它们构成

阶矩阵

，第k步的迭代式为：

（6-70）

这是同时迭代的过程，显然，阵：

比更逼近真实的特征子空间。形成子空间投影矩

（6-71a）

（6-71b）

求解子空间特征系统：

（6-72）

这是Rayleigh-Ritz分析，是改进的新 Ritz基向量：

就是近似的特征值矩阵。再计算近似的特征向量，也就

（6-73）

显然，由于是子空间上的特征向量，是关于正交归一的，则也必然是关于

M正交归一。这是因为

（6-74）

于是，可作为新的迭代矩阵，当时，有：

（6-75）

在上面的步骤中，每一次迭代都要解q个线性方程组，求q个子空间特征对。在程序中，通常采用如下的步骤：

首先，假设q个初始向量解：

，取，并设。对刚度阵K作三角分

K= （6-76a）

其次，作：

（6-76b）

（6-76c）

（6-76d）

（6-76e）

（6-76f）

（6-76g）

这里，k＝1，2，…。

第三，收敛性判断。对于给定的允许误差TOL，若

（6-77）

满足，则停止迭代。

3. 行列式搜索法

行列式搜索法是求解大型特征值问题的另一种方法。它的特点是综合运用多项式加速割线迭代、移轴向量逆迭代、Sturm序列的性质以及Gram－Schmidt正交化过程，直接计算所需要的任意特征对，通常是计算最小的部分特征值及相应的特征向量。因此，它是一种计算部分特征对的特殊求解方法。此方法具有计算速度快、精度高、灵活等优点。

行列式搜索法是分别计算每一个特征值及特征向量。在求每个特征值时，主要有以下两个步骤，现以为例来说明。

对于特征方程：

（6-78）

用加速割线迭代公式求近似根 即：

（6-79）

这一步的目的是尽快给出一个特征值的近似值，作为下一步向量逆迭代的移轴量，以保证待求的特征值迅速收敛。

第二步以为移轴量，用向量逆迭代法进一步求精确的特征值，以及对应的特征向量。

以上两个步骤结束后，就求得了方程的特征值。重复以上过程，就可以进一步求得

更高阶的特征对。对于重根的情况，则只需通过正交化过程，重复上面的第二步即可。

在多项式加速割线迭代中，为常数。=1时，就是一般的割线迭代法，这是“一侧逼近”，即

，当

，

。由于多项式迭代只是为了求近似的，于是，

，为

采用=2来加速迭代过程，以便迅速得到的近似值。可以证明，对＝2，

的最小驻点。如果在迭代中，逼近速度还不够，可令＝

来进一步加速。

在求时，迭代初值取为＝0，而则由向量逆迭代来初步确定，确定后还要用

Sturm序列性质检查，即用三角分解

（6-80）

检查D中的元素是否全为正，以保证需要重新定

，通常采用新的

=

＜。若D中有J个负元，说明J个根被跳过，

/（J+1），然后再代入式（6-80）中检查，直到 D中

的元素全为正。

对于其它特征值，多项式迭代是对修正后的缩减多项式进行，这里：

（6-81）

式中m为已求的特征值个数，这样能保证待求的特征值为的最小值。

4. Lanczos法

Lanczos方法目前被认为是求解大型矩阵特征值问题的最有效方法，与子空间迭代法相比，其计算量要少得多。

Lanczos法是由向量迭代，Ritz分析和解三对角矩阵特征值问题三步构成。首先，通过向量迭代产生正交的近似Ritz基向量，由Ritz变换使原问题转化为低阶的三对角矩阵，然后求解三对角矩阵的特征值得到原问题的一组特征值。再通过Ritz基变换，将三对角矩阵的特征向量变换到原问题的特征向量。

Lanczos方法用于标准特征值问题称为标准Lanczos法，用于广义特征值问题称为广义Lanczos法。若按向量迭代所采用的正迭代和逆迭代，又可分为一般Lanczos法和逆Lanczos法。下面介绍一般的标准Lanczos方法和广义逆Lanczos方法。

（1）标准Lanczos法

设标准特征值问题

（6-82）

其中K为阶矩阵。首先选取适当的初始迭代向量，且计算：

（6-83）

其中，

（6-84a）

（6-84b）

（6-84c）

这里，；为2范数。于是得：

（6-85）

求解此矩阵的特征值，就是K的m个最高阶特征值。

在程序的实施过程中，常采用如下格式：

选取初始向量，且，计算：

（6-86）

令，作：

（1） （6-87a）

（2） （6-87b）

（3） （6-87c）

（4） （6-87d）

（5） （6-87e）

这里，

就构成式（6-85）中的

。当k＝m时，作完第（1）步，即求出。用矩阵形式表示以上过程，即：

后就停止迭代，于是

（6-88）

其中，，是m阶单位矩阵；是的第m列；，而

就是所需的Ritz基；{

基向量，它们是相互正交的。

}称为Lanczos向量，也就是Ritz变换中的Ritz

若，则这一过程称为截断的Lanczos过程，所导出的是一个低阶三对角矩阵。

理论分析证明，由截断Lanczos过程所产生的Lanczos向量所构成的子空间逼近于原问题的最大特征向量组构成的子空间。因而

的特征值就是原问题的最大特征值的近似值。

最后的工作就是求解的特征值，可选用二分法或QR法等方法。

由于舍入误差的影响，Lanczos向量的正交性得不到严格的保证，这将严重影响最后结果的精度。所以，在实际的处理过程中，必须对Lanczos向量进行再正交化处理，确保Lanczos方法的可靠性。一般采用Gram－Schmidt正交化过程。但是，并不需要对每一

个Lanczos向量进行再正交化处理，以减少运算次数。于是人们提出了各种部分正交化的方法：如选择正交算法、周期正交算法、部分正交算法等等。

由运算过程可以看出，在作三对角阵的特征值求解前，全部运算量较小，尤其是对大型对称稀疏矩阵，该方法更显出其优越性。对Lanczos方法来说，需要小心处理的是再正交化过程，即如何尽可能减少再正交运算，获得较好的Lanczos向量，以提高Lanczos算法的效率和精度。

（2）广义逆Lanzcos法

广义逆Lanczos法的运算过程，基本上与标准方法相同。设广义特征值问题：

（6-89）

其中K为阶实对称正定阵，M为对称阵。

选取适当的初始向量且，计算：

（6-90）

令，作：

（1） （6-91a）

（2） （6-91b）

（3） （6-91c）

（4） （6-91d）

（5） （6-91e）

这里，得到全部的值问题：

和

。 当k＝m时，作完第（1）步，即求出就构成式（6-85）的m阶三对角矩阵

后就停止迭代，于是

。求解此矩阵对应的标准特征

（6-92）

式（6-92）的全部特征值近似值。当

就是广义特征值式（6-89）的最小特征值组的

时，就是截断广义逆Lanczos法。

在广义Lanczos方法中，对Lanczos向量的再正交化处理也是必不可少的，最简单的再正交化方法仍然是采用Gram－Schmidt正交化方法，其处理方法完全类似于前面介绍的标准Lanczos法。

由于Lanczos向量构成原问题的特征子空间，因此，也可以类似于子空间迭代法来求解较精确的特征值。目前，Lanczos法已被广泛应用于求解大型特征值问题。

特征值问题的求解方法很多，这里只是介绍了几种基本的常用方法。在选择特征值问题的解法时，首先要考虑问题的特点，如K、M矩阵的带宽、正定性、要求特征对的数目等。再根据各种解法的有效性和特点综合加以选择。解特征值问题，尤其是解大型特征值

问题一般是几种方法的组合，不直接采用单一方法。

雅可比法用于求全部特征对，它不能用于求指定特征对的情况。如果问题的带宽很大、维数很高，雅可比方法的运算量就会大大增加。因此，雅可比方法只适合解小型特征值问题。

对大带宽，矩阵维数不高的情况，可以先采用Householder变换化为三对角阵，再采用QR方法、逆迭代方法或二分法求解。行列式搜索法适用于K、M矩阵为小带宽情况的前p个特征对的求解。对于大型特征值问题多采用子空间迭代法、Lanczos方法等。