【北师大版】2019年高考数学一轮复习 第9章第7讲 离散型随机变量及其分布列超几何分布

第7讲 离散型随机变量及其分布列、超几何分布

1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于( )

1

A．0 B.

2

12C. D. 33解析：选C.设X的分布列为

X 0 1 P p 2p 1

即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功．由p＋2p＝1，得p＝，故应选C.

3

2．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄

46C7C8

中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于10的是( )

C15

A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4)

k10－kC7C8

解析：选C.X服从超几何分布，P(X＝k)＝10，

C15

故k＝4，故选C.

3．设随机变量Y的分布列为

Y －1 2 3 11P m 4437

则“≤Y≤”的概率为( )

2211A. B. 4232C. D. 43

111

解析：选C.依题意知，＋m＋＝1，则m＝. 442

71133

故P≤Y≤＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝＋＝. 22442

4．设随机变量X的概率分布列如下表所示： X 0 1 2 11P a 36若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1，2)时，F(x)等于( ) 11A. B. 3615C. D. 26

111

解析：选D.由分布列的性质，得a＋＋＝1，所以a＝.而x∈[1，2)，所以F(x)＝P(X≤x)

362

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115＝＋＝. 236

5．若离散型随机变量X的分布列为： 0 29c－c 则常数c＝________，P(X＝1)＝________． 2

9c－c＞0，

X P 1 3－8c 

解析：依分布列的性质知，3－8c＞0，

9c2－c＋3－8c＝1，

111

解得c＝，故P(X＝1)＝3－8×＝.

33311答案： 33

6．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X的分布列为________． 解析：X的所有可能值为0，1，2.

1111C1C11C1C1×21

P(X＝0)＝11＝，P(X＝1)＝11＝，

C2C24C2C2211

C1C11

P(X＝2)＝11＝. C2C24

所以X的分布列为

X 0 1 2 111P 424答案：

X 0 1 2 111P 424

7．(2016·陕西省质量检测)有一种密码，明文由三个字母组成，密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成．编码规则如下表．明文由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字母放在第一位，第二排取的字母放在第二位，第三排取的字母放在第三位，对应的密码由明文所取的这三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组成．(如：明文取的三个字母为AFP，则与它对应的五个数字(密码)就为11223) 明文字母 A B C 第一排 密码数字 11 12 13 明文字母 E F G 第二排 密码数字 21 22 23 明文字母 M N P 第三排 密码数字 1 2 3 (1)假设明文是BGN，求这个明文对应的密码； (2)设随机变量X表示密码中所含不同数字的个数． ①求P(X＝2)；

②求随机变量X的分布列．

解：(1)这个明文对应的密码是12232.

(2)①因为表格的第一、二列均由数字1，2组成，所以X＝2时，只能取表格第一、二列中的数字作为密码．

3

28

所以P(X＝2)＝3＝.

327

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②由题意可知，X的取值为2，3两种情形．

819

所以P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－＝. 2727

所以X的分布列为

X 2 3 819P 27278.2015年5月亚洲女排锦标赛在北京、天津举行，为了做好锦标赛期间的接待服务工作，天津大学学生实践活动中心从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加锦标赛的志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列．

解：因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X的分布列服从超几何分布．

i3－iC3C5

X的所有可能取值为0，1，2，3，其中P(X＝i)＝3(i＝0，1，2，3)．

C8

0312C3C55C3C515

由公式可得P(X＝0)＝3＝，P(X＝1)＝3＝，

C828C828

2130C3C515C3C51

P(X＝2)＝3＝，P(X＝3)＝3＝. C856C856

所以X的分布列为

X 0 1 2 3 515151P 282856569.在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张券中任取2张．

(1)求该顾客中奖的概率；

(2)求该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列．

02C4C6152

解：(1)该顾客中奖的概率P＝1－2＝1－＝.

C10453

(2)X的所有可能取值为0，10，20，50，60，且

0211C4C61C3C62

P(X＝0)＝2＝，P(X＝10)＝2＝，

C103C105211C31C1C62

P(X＝20)＝2＝，P(X＝50)＝2＝，

C1015C101511

C1C31

P(X＝60)＝2＝.

C1015

故X的分布列为： X 0 10 20 50 60 12121P 35151515

1．(2014·高考江苏卷节选)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．

(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；

(2)从盒中一次随机取出 4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布．

解：(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，

222

C4＋C3＋C26＋3＋15

所以P＝＝＝. 2C93618

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(2)随机变量X所有可能的取值为2，3，4.

{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，

4

C41

故P(X＝4)＝4＝；

C9126

{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，

3131

C4C5＋C3C620＋613

故P(X＝3)＝＝＝； 4

C912663

13111

于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－－＝.

6312614

所以随机变量X的概率分布为： X 2 3 4 11131P 14631261

2.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现在甲、乙两人从袋中

7

轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取„„取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用X表示终止时所需要的取球次数． (1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量X的分布列； (3)求甲取到白球的概率． 解：(1)设袋中原有n个白球，

n（n－1）2

21Cnn（n－1）

由题意知＝2＝＝，

7C77×67×6

2

所以n(n－1)＝6，

解得n＝3或n＝－2(舍去)． 即袋中原有3个白球．

(2)由题意知X的可能取值为1，2，3，4，5.

3

P(X＝1)＝；

7

4×32

P(X＝2)＝＝；

7×674×3×36

P(X＝3)＝＝；

7×6×5354×3×2×33

P(X＝4)＝＝；

7×6×5×4354×3×2×1×31

P(X＝5)＝＝. 7×6×5×4×335

所以取球次数X的分布列如下表所示： X 1 2 3 4 5 32631P 77353535(3)因为甲先取，所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球． 设“甲取到白球”的事件为A， 则P(A)＝P(X＝1或X＝3或X＝5)．

因为事件“X＝1”“X＝3”“X＝5”两两互斥，

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36122

所以P(A)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝＋＋＝.

7353535

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