四川省绵阳市2018年中考数学试题(解析版)

一、选择题

1.（-2018）0的值是（ ）

A. -2018 B. 2018 C. 0 D. 1 【答案】D

【考点】0指数幂的运算性质

【解析】【解答】解：∵20180=1，故答案为：D. 【分析】根据a0=1即可得出答案.

2.四川省公布了2017年经济数据GDP排行榜，绵阳市排名全省第二，GDP总量为2075亿元。将2075亿元用科学计数法表示为（ ） A.B.C.D.

【答案】B

【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数 【解析】【解答】解：∵2075亿=2.075×1011 ， 故答案为：B.

【分析】由科学计数法：将一个数字表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，由此即可得出答案.

3.如图，有一块含有30°角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上。如果∠2=44°，那么∠1的度数是（ ）

A.14° B.15° C.16° D.17° 【答案】C

【考点】平行线的性质

【解析】【解答】解：如图：

依题可得：∠2=44°，∠ABC=60°，BE∥CD， ∴∠1=∠CBE， 又∵∠ABC=60°，

∴∠CBE=∠ABC -∠2=60°-44°=16°， 即∠1=16°. 故答案为：C.

【分析】根据两直线平行，内错角相等得∠1=∠CBE，再结合已知条件∠CBE=∠ABC -∠2，带入数值即可得∠1的度数.

4.下列运算正确的是（ ） A.B.C.D.

【答案】C

【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则及应用 a3=a5,故错误，A不符合题意； 【解析】【解答】解：A.∵a2·

B.a3与a2不是同类项，故不能合并，B不符合题意； C.∵（a2）4=a8,故正确，C符合题意；

D.a3与a2不是同类项，故不能合并，D不符合题意 故答案为：C.

【分析】A.根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可判断对错；

B.根据同类项定义：所含字母相同，并且相同字母指数相同，由此得不是同类项； C.根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断对错；

D.根据同类项定义：所含字母相同，并且相同字母指数相同，由此得不是同类项； 5.下列图形中是中心对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：A.不是中心对称图形，A不符合题意； B.是轴对称图形，B不符合题意； C.不是中心对称图形，C不符合题意； D.是中心对称图形，D符合题意； 故答案为：D.

【分析】在一个平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；由此判断即可得出答案. 6.等式

成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【考点】二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式（组）的解集 【解析】【解答】解：依题可得： x-3≥0且x+1〉0， ∴x≥3， 故答案为：B.

【分析】根据二次根式有意义的条件：根号里面的数应大于或等于0，如果二次根式做分母，根号里面的数只要大于0即可，解这个不等式组，并将答案在数轴上表示即可得出答案.

7.在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（ ） A.（4，-3） B.（-4，3） C.（-3，4） D.（-3，-4） 【答案】B

【考点】点的坐标，旋转的性质

【解析】【解答】解：如图：

由旋转的性质可得： △AOC≌△BOD， ∴OD=OC，BD=AC， 又∵A（3,4）， ∴OD=OC=3，BD=AC=4， ∵B点在第二象限， ∴B（-4,3）. 故答案为：B.

【分析】建立平面直角坐标系，根据旋转的性质得△AOC≌△BOD，再由全等三角形的性质和点的坐标性质得出B点坐标，由此即可得出答案.

8.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ） A.9人 B.10人 C.11人 D.12人 【答案】C

【考点】一元二次方程的应用

【解析】【解答】解：设参加酒会的人数为x人，依题可得： x（x-1）=55， 化简得：x2-x-110=0，

解得：x1=11，x2=-10（舍去）， 故答案为：C.

【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.

9.如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2 ， 圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ）

A.

B.40πm2 C.D.55πm2 【答案】A

【考点】圆锥的计算，圆柱的计算

【解析】【解答】解：设底面圆的半径为r，圆锥母线长为l，依题可得： πr2=25π， ∴r=5， ∴圆锥的母线l= ∴圆锥侧面积S =

=

，

π（m2）,

·2πr·l=πrl=5

h=2×π×5×3=30π（m2）， 圆柱的侧面积S =2πr·∴需要毛毡的面积=30π+5 故答案为：A.

【分析】根据圆的面积公式求出底面圆的半径，由勾股定理得圆锥母线长，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，圆柱的侧面展开图为矩形或者正方形，根据其公式分别求出它们的侧面积，再求和即可得出答案. 10.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：

）（ ）

π（m2），

A. 4.海里 B. 5.49海里 C. 6.12海里 D. 6.21海里 【答案】B

【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用﹣方向角问题

【解析】【解答】解：根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，

∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°， ∴∠ABC=135°， 又∵BE=CE， ∴∠ACB=∠EBC=15°， ∴∠ABE=120°， 又∵∠CAB=30° ∴BA=BE，AD=DE， 设BD=x， 在Rt△ABD中， ∴AD=DE=

x，AB=BE=CE=2x，

x+2x=30， ≈5.49，

∴AC=AD+DE+EC=2 ∴x=

=

故答案为：B.

【分析】根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设BD=x，Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=DE= x+2x=30，解之即可得出答案.

11.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE=

，AD=

，则两个三角形重叠部分的面积为（ ）

x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2

A.B.C.D.

【答案】D

【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形

【解析】【解答】解：连接BD，作CH⊥DE，

∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∴∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠CAB=45°, 即∠ACD+∠DCB=∠ACD+∠ACE=90°， ∴∠DCB=∠ACE， 在△DCB和△ECA中，

,

∴△DCB≌△ECA， ∴DB=EA=

,∠CDB=∠E=45°,

∴∠CDB+∠ADC=∠ADB=90°， 在Rt△ABD中， ∴AB=

在Rt△ABC中， ∴2AC2=AB2=8， ∴AC=BC=2， 在Rt△ECD中， ∴2CD2=DE2= ∴CD=CE=

+1，

， =2

，

∵∠ACO=∠DCA，∠CAO=∠CDA， ∴△CAO∽△CDA，

∴ ： = = =4-2 ，

又∵ = CE = DE·CH，

∴CH= = ，

∴ ∴

= AD·CH=

）×

× × =3-

. .

= ，

=（4-2

即两个三角形重叠部分的面积为3- 故答案为：D.

【分析】解：连接BD，作CH⊥DE，根据等腰直角三角形的性质可得∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠CAB=45°,再由同角的余角相等可得∠DCB=∠ACE；由SAS得△DCB≌△ECA，根据全等三角形的性质知DB=EA= ∠CDB=∠E=45°,从而得∠ADB=90°，在Rt△ABD中，根据勾股定理得AB=2 CD=CE=

，同理可得AC=BC=2，

,

+1；由相似三角形的判定得△CAO∽△CDA，根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平

方从而得出两个三角形重叠部分的面积. 12.将全体正奇数排成一个三角形数阵 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 … … … … … …

根据以上排列规律，数阵中第25行的第20个数是（ ） A.639 B.637 C.635 D.633 【答案】A

【考点】探索数与式的规律

【解析】【解答】解：依题可得：第25行的第一个数为： 1+2+4+6+8+……+2×24=1+2×

=601，

∴第25行的第第20个数为：601+2×19=639.

故答案为：A.

【分析】根据规律可得第25行的第一个数为，再由规律得第25行的第第20个数.

二、填空题

13.因式分解：

________。

【答案】y（x++2y）（x-2y）

【考点】提公因式法因式分解，因式分解﹣运用公式法 【解析】【解答】解：原式=y（x++2y）（x-2y）, 故答案为：y（x++2y）（x-2y）.

【分析】根据因式分解的方法——提公因式法和公式法分解即可得出答案.

14.如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为________。

【答案】（-2，-2）

【考点】点的坐标，用坐标表示地理位置

【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系（如图），

∵相（3，-1），兵（-3，1）， ∴卒（-2，-2）， 故答案为：（-2，-2）.

【分析】根据题中相和兵的坐标确定原点位置，建立平面直角坐标系，从而得出卒的坐标.

15.现有长分别为1，2，3，4，5的木条各一根， 从这5根木条中任取3根，能够构成三角形的概率是________。【答案】

【考点】列表法与树状图法

【解析】【解答】解：从5根木条中任取3根的所有情况为：1、2、3；1、2、4；1、2、5；1、3、4；1、3、5；1、4、5；2、3、4；2、3、5；2、4、5；3、4、5；共10种情况； ∵能够构成三角形的情况有：2、3、4；2、4、5；3、4、5；共3种情况； ∴能够构成三角形的概率为：

.

故答案为： .

【分析】根据题意先列出从5根木条中任取3根的所有情况数，再根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，找出能够构成三角形的情况数，再由概率公式求解即可.

16.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。

【答案】4 -4

【考点】二次函数的实际应用-拱桥问题

【解析】【解答】解：根据题意以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图），

依题可得：A（-2,0），B（2,0），C（0,2），

设经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=a（x-2）（x+2）, ∵C（0,2）在此抛物线上， ∴a=-

，

（x-2）（x+2）,

∴此抛物线解析式为：y=- ∵水面下降2m， ∴-

（x-2）（x+2）=-2,

，x2=-2

，

∴x1=2

∴下降之后的水面宽为：4 ∴水面宽度增加了：4 故答案为：4

-4.

-4.

.

AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系A【分析】根据题意以AB为x轴，（如图），依题可得：（-2,0），B（2,0），C（0,2），再根据待定系数法求出经过A、B、C三点的抛物线解析式y=- 水面下降2m，求出下降之后的水面宽度，从而得出水面宽度增加值.

（x-2）（x+2）；由

17.已知a>b>0,且 【答案】

，则 ________。

【考点】解分式方程，换元法解一元二次方程 【解析】【解答】解： ∵

+

+

=0，

两边同时乘以ab（b-a）得： a2-2ab-2b2=0， 两边同时除以a2得： 2（ 令t=

） 2+2

-1=0，

（t〉0）,

∴2t2+2t-1=0， ∴t= ∴t=

=

， . .

故答案为：

【分析】等式两边同时乘以ab（b-a）得：a2-2ab-2b2=0，两边同时除以a 得： 2（

）2+2

-1=0，解此一元二次方程即可得答案.

18.如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE,AD垂直相交于点O，则AB=________.

【答案】

【考点】勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：连接DE，

∵AD、BE为三角形中线，

∴DE∥AB，DE= AB，

∴△DOE∽△AOB， ∴

=

=

=

，

设OD=x，OE=y， ∴OA=2x，OB=2y, 在Rt△BOD中， x2+4y 2=4 ①， 在Rt△AOE中， 4x2+y2=

②，

∴①+ ②得： 5x2+5y2= ∴x2+y2=

， ，

在Rt△AOB中，

∴AB2=4x2+4y2=4（x2+y 2）=4× 即AB=

.

.

AB，从而得△DOE∽△AOB，根据相似三角

，

故答案为：

【分析】连接DE，根据三角形中位线性质得DE∥AB，DE= 形的性质可得 x2+4y2=4，4x2+y2=

=

=

=

；设OD=x，OE=y，从而可知OA=2x，OB=2y,根据勾股定理可得

，在Rt△AOB中，由股股定理可得AB=

.

，两式相加可得x2+y2=

三、解答题。

19. （1）计算： （2）解分式方程： 【答案】（1）原式= = =2.

（2）方程两边同时乘以x-2得： x-1+2（x-2）=-3,

-

+2-

+

×3 ，

-

×

+2-

+

，

去括号得：x-1+2x-4=-3, 移项得：x+2x=-3+1+4, 合并同类项得：3x=2， 系数化为1得：x= 检验：将x=

.

代入最简公分母不为0，故是原分式方程的根，

.

∴原分式方程的解为：x=

【考点】实数的运算，解分式方程

【解析】【分析】将分式方程转化成整式方程，再按照去括号——移项——合并同类项——系数化为1即可得出答案，经检验是原分式方程的根.

20.绵阳某公司销售统计了每个销售员在某月的销售额，绘制了如下折线统计图和扇形统计图：

设销售员的月销售额为x（单位：万元）。销售部规定：当x<16时，为“不称职”，当 本称职”，当

时为“称职”，当

时为“基

时为“优秀”。根据以上信息，解答下列问题：

（1）补全折线统计图和扇形统计图；

（2）求所有“称职”和“优秀”的销售员销售额的中位数和众数；

（3）为了调动销售员的积极性，销售部决定制定一个月销售额奖励标准，凡月销售额达到或超过这个标准的销售员将获得奖励。如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一般人员能获奖，月销售额奖励标准应定为多少万元（结果去整数）？并简述其理由。 【答案】（1）解：（1）依题可得： “不称职”人数为：2+2=4（人）， “基本称职”人数为：2+3+3+2=10（人）， “称职”人数为：4+5+4+3+4=20（人）， ∴总人数为：20÷50%=40（人）， ∴不称职”百分比：a=4÷40=10%， “基本称职”百分比：b=10÷40=25%， “优秀”百分比：d=1-10%-25%-50%=15%， ∴“优秀”人数为：40×15%=6（人）， ∴得26分的人数为：6-2-1-1=2（人）， 补全统计图如图所示：

（2）由折线统计图可知：“称职”20万4人，21万5人，22万4人，23万3人，24万4人， “优秀”25万2人，26万2人，27万1人，28万1人； “称职”的销售员月销售额的中位数为：22万，众数：21万； “优秀”的销售员月销售额的中位数为：26万，众数：25万和26万； （3）由（2）知月销售额奖励标准应定为22万.

∵“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数为：22万，

∴要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定为22万元. 【考点】扇形统计图，折线统计图，中位数，众数

【解析】【分析】（1）由折线统计图可知：“称职”人数为20人，由扇形统计图可知：“称职”百分比为50%，根据总人数=频数÷频率即可得，再根据频率=频数÷总数即可得各部分的百分比，从而补全扇形统计图；由频数=总数×频率可得“优秀”人数为6人，结合折线统计图可得

得26分的人数为2人，从而补全折线统计图.（2）由折线统计图可知：“称职”和“优秀”各人数，再根据中位数和众数定义即可得答案.（3）由（2）知“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数，根据题意即可知月销售额奖励标准.

21.有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨。

（1）请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？

（2）目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完，其中每辆大货车一次运费话费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？ 【答案】（1）解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，依题可得：

,

解得： .

答：1辆大货车一次可以运货4吨，1辆小货车一次可以运货 （2）解：设大货车有m辆，则小货车10-m辆，依题可得： 4m+ m≥0 10-m≥0

（10-m）≥33

吨。

解得： ≤m≤10，

∴m=8,9,10；

∴当大货车8辆时，则小货车2辆； 当大货车9辆时，则小货车1辆； 当大货车10辆时，则小货车0辆； 设运费为W=130m+100(10-m）=30m+1000， ∵k=30〉0，

∴W随x的增大而增大， ∴当m=8时，运费最少， ∴W=30×8+1000=1240（元），

答：货运公司应安排大货车8辆时，小货车2辆时最节省费用. 【考点】二元一次方程组的其他应用，一次函数的实际应用

【解析】【分析】（1）设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，根据3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨可列出二元一次方程组，解之即可得出答案.（2）设大货车有m辆，则小货车10-m辆，根据题意可列出一元一次不等式组，解之即可得出m范围，从而得出派车方案，再由题意可得W=130m+100(10-m）=30m+1000，根据一次函数的性质，k〉0，W随x的增大而增大，从而得当m=8时，运费最少. 22.如图，一次函数

的图像与反比例函数

的图像交于A，B两点，过点A做x

轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标。 【答案】（1）解：（1）设A（x，y） ∵A点在反比例函数上， ∴k=xy， 又∵ ∴k=2.

∴反比例函数解析式为：y=

.

=

.OM·AM=

·x·y=

k=1，

（2）解：作A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，PA+PB的最小值即为A′B.

∴ ，

∴ 或 .

∴A（1,2），B（4， ∴A′（-1，2）， ∴PA+PB=A′B=

），

= .

设A′B直线解析式为：y=ax+b， ∴

，

∴ ，

∴A′B直线解析式为：y=- ∴P（0，

）.

x+ ，

【考点】待定系数法求一次函数解析式，反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题

【解析】【分析】（1）设A（x，y）,A在反比例函数解析式上，由反比例函数k的几何意义可得k=2，从而得反比例函数解析式.（2）作A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，PA+PB的最小值即为A′B.联立反比例函数和一次函数解析式，得出A（1,2），B（4，

），从而得A′（-1.2），根据两点间

距离公式得PA+PB=A′B的值；再设A′B直线解析式为：y=ax+b，根据待定系数法求得 A′B直线解析式，从而得点P坐标.

23.如图，AB是 过点D作

的直径，点D在 上（点D不与A，B重合），直线AD交过点B的切线于点C，

的切线DE交BC于点E。

（1）求证：BE=CE； （2）若DE平行AB，求

的值。

【答案】（1）证明：连接OD、BD， ∵EB、ED分别为圆O的切线， ∴ED=EB， ∴∠EDB=∠EBD， 又∵AB为圆O的直径， ∴BD⊥AC，

∴∠BDE+∠CDE=∠EBD+∠DCE， ∴∠CDE=∠DCE， ∴ED=EC， ∴EB=EC.

（2）解：过O作OH⊥AC，设圆O半径为r，

∵DE∥AB，DE、EB分别为圆O的切线， ∴四边形ODEB为正方形， ∵O为AB中点，

∴D、E分别为AC、BC的中点， ∴BC=2r，AC=2 在Rt△COB中， ∴OC=

r，

r，

又∵ ∴r×2r=2 ∴OH=

= ·AO·BC= ·AC·OH，

r×OH, r，

在Rt△COH中， ∴sin∠ACO=

=

=

.

【考点】三角形的面积，正方形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数的定义，切线长定理 【解析】【分析】（1）证明：连接OD、BD，由切线长定理得ED=EB，由等腰三角形性质得∠EDB=∠EBD；根据圆周角定理得BD⊥AC，由等角的余角相等得∠CDE=∠DCE，再由等腰三角形性质和等量代换可得EB=EC.（2）过O作OH⊥AC，设圆O半径为r，根据切线长定理和正方形的判定可得四边形ODEB为正方形，从而得出D、E分别为AC、BC的中点，从而得BC=2r，AC=2 再根据勾股定理得OC=

r；由

=

·AO·BC=

r，在Rt△COB中，

r，在Rt△COH中，

.AC.OH求出OH=

根据锐角三角函数正弦的定义即可得出答案.

24.如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（-3，0）。动点M，N同时从A点出发，M沿A→C,N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒。连接MN。

（1）求直线BC的解析式；

（2）移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标；（3）当点M,N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式。 【答案】（1）解：设直线BC解析式为：y=kx+b， ∵B（0，4），C（-3，0）， ∴

，

解得：

∴直线BC解析式为：y= x+4.

（2）解：依题可得：AM=AN=t，

∵△AMN沿直线MN翻折，点A与点点D重合，

∴四边形AMDN为菱形，

作NF⊥x轴，连接AD交MN于O′，

∵A（3，0），B（0，4）， ∴OA=3,OB=4， ∴AB=5,

∴M（3-t，0）， 又∵△ANF∽△ABO， ∴ ∴

= =

= t，NF= t， t, =

, t， t）， t），

,

∴AF= ∴N（3-

∴O′（3- 设D（x,y）, ∴ ∴x=3- ∴D（3-

=3-

t， t， t），

= t，

t,y= t，

又∵D在直线BC上， ∴ ∴t= ∴D（-

×（3- ， ，

）. t）+4=

t，

（3）①当0△ABC在直线MN右侧部分为△AMN， ∴S=

=

·AM·DF=

×t×

t=

t ,

②当5∵AM=AN=t，AB=BC=5， ∴BN=t-5，CN=-5-（t-5）=10-t， 又∵△CNF∽△CBO， ∴ ∴ ∴NF= ∴S= = =-

×6×4- t + = =

, ,

（10-t）， -

=

·AC·OB-

·CM·NF，

×（6-t）× t-12.

（10-t），

【考点】待定系数法求一次函数解析式，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质，二次函数的实际应用-动态几何问题，几何图形的动态问题

【解析】【分析】（1）设直线BC解析式为：y=kx+b，将B、C两点坐标代入即可得出二元一次方程组，解之即可得出直线BC解析式.（2）依题可得：AM=AN=t，根据翻折性质得四边形AMDN为菱形，作NF⊥x0）轴，连接AD交MN于O′，结合已知条件得M（3-t，，又△ANF∽△ABO，根据相似三角形性质得

=

,

t，NF=

t，从而得N（3-

t，

t，

t），根据中点坐标公式得O′（3-

t,

t）， =

代入数值即可得AF=

设D（x,y）,再由中点坐标公式得D（3- t），又由D在直线BC上，代入即可得D点坐标.（3）①

当0,代入数值得NF= 式.

（10-t），最后由S=

-

=

·AC·OB-

=

·CM·NF，代入数值即可得表达

25.如图，已知抛物线 轴与点C。

过点A 和B ，过点A作直线AC//x轴，交y

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q，使得 由。

【答案】（1）解：∵点A、B在抛物线上， ∴

，

?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理

解得：

∴抛物线解析式为：y= x - x.

（2）解：设P（x，y）， ∵A（

，-3），

∴C（0，-3），D（x,-3）, ∴PD=y+3，CO=3，AD=x- ①当△ADP∽△ACO时， ∴

=

，

，AC=

，

∴ =

∴y= x-6，

又∵P在抛物线上，

∴ ，

∴x -5 ∴（x-4 ∴x =4

x+12=0， ）（x- ,x =

）=0, ，

∴ 或 ,

∵A（ ∴P（4

，-3）， ,6）.

②当△PDA∽△ACO时， ∴ ∴ ∴y=

= = x-4,

， ，

又∵P在抛物线上，

∴ ，

∴ ∴（

x -11x+8 x-8）（x-

,x =

=0， ）=0, ，

∴x =

解得： 或 ,

∵A（ ∴P（

，-3）， ,-

）.

,6）或（

,-

）.

综上，P点坐标为（4

（3）解：∵A ∴AC= ∴OA=2 ∴ ∴h= 又∵

,OC=3， , = ，

= ·OC·AC=

，

·OA·h= ，

，

,

，过点M作MN∥OA交y轴于点N ，过M作HM⊥x轴,（如图），

∴△AOQ边OA上的高=3h= 过O作OM⊥OA,截取OM=

∵AC= ,OA=2 ,

∴∠AOC==30°， 又∵MN∥OA，

∴∠MNO=∠AOC=30°，OM⊥MN， ∴ON=2OM=9，∠NOM=60°， 即N（0,9）， ∴∠MOB=30°， ∴MH= ∴OH= ∴M（

，

），

OM=

,

=

,

设直线MN解析式为：y=kx+b， ∴

，

∴

∴直线MN解析式为：y=- x+9，

∴ ，

∴x - （x-3 ∴x =3

x-18=0, ）（x+2 ,x =-2

）=0, ，

∴ 或 ，

∴Q点坐标（3 ，0）或（-2 ，15），

.

∴抛物线上是否存在点Q，使得

【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，含30度角的直角三角形，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数的综合应用

【解析】【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式得到一个二元一次方程方程组，解之即可得抛物线解析式.（2）设P（x，y），根据点的坐标性质结合题意可得PD=y+3，CO=3，AD=x- 分情况讨论：①当△ADP∽△ACO时，根据相似三角形的性质得 又P在抛物线上，联立解一个二元一次方程组得点P坐标（4 ②当△PDA∽△ACO时，根据相似三角形的性质得 联立解一个二元一次方程组得点P坐标P（ 理得OA=2 上的高为

,-

=

= ,6）.

，代入数值可得y=

x-4,又P在抛物线上，,OC=3，由勾股定得△AOQ边OA，AC=

，x-6，

，代入数值可得y=

）.（3）根据点A坐标得AC=

，又

=

,根据三角形面积公式可得△AOC边OA上的高h= ；过O作OM⊥OA,截取OM=

，过点M作MN∥OA交y轴于点N ，过M作HM⊥x轴,（如

图），根据直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半，从而求出N（0,9），在Rt△MOH中，根据直角三角形性质和勾股定理得M（ 抛物线解析式联立即可得Q点坐标.

，

）；用待定系数法求出直线MN解析式，再讲直线MN和