高三数学专题解三角形

高三数学专题 解三角形

1．解三角形中的要素

例1：△ABC的内角，，所对的边分别为，，，若c2，b6，B60o，则_____． 2．恒等式背景

例2：已知，，分别为△ABC三个内角，，的对边， 且有acosC3asinCbc0． （1）求；

（2）若a2，且△ABC的面积为，求，． 一、单选题

1．在△ABC中，a1，A6，B4，则（ ） A．622 B．622 C．62 D．22 2．在△ABC中，三边长AB7，BC5，AC6，则uABuuvuBCuuv等于（ ）

A．19 B．19 C．18 D．18

3．在△ABC中，角，，所对应的边分别是，，，若c2acosB，则三角形一定是（ ）A．等腰直角三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等边三角形

4．△ABC的内角，，的对边分别为，，，若C3，c7，b3a，则△ABC的面积为（ A．3334 B．24 C．

D．234 5．在△ABC中，内角，，的对边分别为，，，若a2b2bc，sinC23sinB，则（ A．

B．

C．120

D．150

）） 高考精品试题

6．设△ABC的三个内角，，所对的边分别为，，，如果abcbca3bc，且a3，那么△ABC外接圆的半径为（ ） A．1

B．

C．2

D．4

7．在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，且b2c2a2bc，若sinBsinCsin2A， 则△ABC的形状是（ ） A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等边三角形

D．等腰直角三角形

8．△ABC的内角，，的对边分别是，，且满足acosBbcosAc，则△ABC是（ ） A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．等腰三角形

1bc2，cosA，9．在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，已知△ABC的面积为315，4则的值为（ ） A．8

B．16

C．32

D．64

10．在△ABC中，，，分别为角，，所对的边．若basinCcosC0， 则（ ） A．

 4B．

 3C．

3 4D．

2 311．在△ABC中，内角，，的对边分别是，，，若A．直角三角形

B．钝角三角形

abc，则△ABC是（ ） cosAcosBcosCD．等边三角形

C．等腰直角三角形

12．在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，已知a23，c22，1则C（ ） A．

tanA2c， tanBb 6B．

 4C．

3或 44D．

 3二、填空题

高考精品试题

13．在△ABC中，角， ，的对边分别为，，，c22，b2a216，则角的最大值为_____；14．已知△ABC的三边，，成等比数列，，，所对的角分别为，，，则sinBcosB的取值范围是_________．

15．在△ABC中三个内角，，，所对的边分别是，，，若b2sinCcosA2sinAcosC，且a23，则△ABC面积的最大值是________

16．在锐角△ABC中，角，，所对的边分别为，，，且，，成等差数列，b3，则△ABC面积的取值范围是__________． 三、解答题

17．己知，，分别为△ABC三个内角，，的对边，且（1）求角的大小；

（2）若bc5，且△ABC的面积为，求的值．

18．如图，在△ABC中，点在边上，ADC60，AB27，BD4．

3acosA2． csinC．

（1）求△ABD的面积． （2）若BAC120o，求的长． 答案

1．解三角形中的要素

例1：△ABC的内角，，所对的边分别为，，，若c2，b6，B60o，则_____．

高考精品试题

【答案】C30o

【解析】（1）由已知，，求可联想到使用正弦定理：

bccsinBsinC， sinBsinCb代入可解得：sinC2．恒等式背景

1．由cb可得：CB60o，所以C30o． 2例2：已知，，分别为△ABC三个内角，，的对边， 且有acosC3asinCbc0． （1）求；

（2）若a2，且△ABC的面积为，求，． 【答案】（1）

；（2）2，2． 3【解析】（1）acosC3asinCbc0

sinAcosC3sinAsinCsinBsinC0

sinAcosC3sinAsinCsinACsinC0

sinAcosC3sinAsinCsinAcosCsinCcosAsinC0，

1即3sinAcosA12sinA1sinA

662∴A5或A（舍），∴A； 666631（2）S△ABCbcsinA3bc4，

2a2b2c22bccosA4b2c2bc，

b2c2bc4b2c28b2∴，可解得．

c2bc4bc4高考精品试题

一、单选题

1．在△ABC中，a1，A62 2，B，则（ ） 64C．6 2A．B．62 2D．2 2【答案】A

【解析】由正弦定理

asinBab可得bsinAsinAsinBsin61sin42，

且cosCcosABcosAcosBsinAsinB62， 4由余弦定理可得：ca2b22abcosC122126262．故选A． 42uuuvuuuv2．在△ABC中，三边长AB7，BC5，AC6，则ABBC等于（ ）

A．19 【答案】B

B．19 C．18 D．18

【解析】∵三边长AB7，BC5，AC6，

AB2BC2AC272526219∴cosB，

2ABBC27535uuuvuuuv19ABBCABBCcosB7519．故选B．

353．在△ABC中，角，，所对应的边分别是，，，若c2acosB，则三角形一定是（ ） A．等腰直角三角形 【答案】C

【解析】∵c2acosB，由正弦定理c2RsinC，a2RsinA，∴sinC2sinAcosB，

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等边三角形

高考精品试题

∵，，为△ABC的内角，∴sinCsinAB，，B0,，

∴sinAB2sinAcosB，sinAcosBcosAsinB2sinAcosB，整理得sinAB0， ∴AB0，即AB．故△ABC一定是等腰三角形．故选C．

△ABC的内角，4．，的对边分别为，，，若Cb3a，，则△ABC的面积为（ ） c7，3C．

D．23 4A．33 4B．23 4【答案】A 【解析】已知C，c7，b3a， 3∴由余弦定理c2a2b22abcosC，可得：7a2b2aba29a23a27a2， 11333解得：a1，b3，∴SVABCabsinC13．故选A．

22245．在△ABC中，内角，，的对边分别为，，，若a2b2bc，sinC23sinB，则（ ） A． 【答案】A

【解析】根据正弦定理由sinC23sinB得：c23b， 所以a2b23bc323b2，即a27b2， b2c2a2b212b27b23则cosA，

2bc243b2B． C．120 D．150

又A0,，所以A．故选A． 66．设△ABC的三个内角，，所对的边分别为，，，如果abcbca3bc，且a3，那么△ABC外接圆的半径为（ ）

高考精品试题

A．1 【答案】A

B． C．2 D．4

【解析】因为abcbca3bc，所以bca23bc，化为b2c2a2bc，

2b2c2a21所以cosA，又因为A0,，所以A，

32bc2由正弦定理可得

2RasinA3322，所以R1，故选A．

7．在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，且b2c2a2bc，若sinBsinCsin2A， 则△ABC的形状是（ ） A．等腰三角形 【答案】C

2B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

bca【解析】因为sinBsinCsinA，所以， 2R2R2R2也就是a2bc，所以b2c22bc，从而bc， 故abc，△ABC为等边三角形．故选C．

8．△ABC的内角，，的对边分别是，，且满足acosBbcosAc，则△ABC是（ ） A．锐角三角形 【答案】B

【解析】利用正弦定理

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．等腰三角形

abc化简已知的等式得： sinAsinBsinCsinAcosBsinBcosAsinC，即sinABsinC，

∵，，为三角形的内角，∴ABC，即ABC， 2高考精品试题

则△ABC为直角三角形，故选B．

1bc2，cosA，9．在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，已知△ABC的面积为315，4则的值为（ ） A．8 【答案】A

【解析】因为0A，所以sinA1cos2A15， 4B．16 C．32 D．64

bc2115bc315，∴bc24，解方程组又SVABCbcsinA得b6，c4，

28bc24122222由余弦定理得abc2bccosA6426464，所以a8．故选A．

410．在△ABC中，，，分别为角，，所对的边．若basinCcosC0， 则（ ） A．

 4B．

 3C．

3 4D．

2 3【答案】C

【解析】sinBsinACsinAcosCcosAsinC，

﹣cosC0， ∵basinCcosC0，可得：sinBsinAsinC∴sinAcosCcosAsinCsinAsinCsinAcosC0，∴cosAsinCsinAsinC0， ∵sinC0，∴cosAsinA，∴tanA1， ∵

3A，∴A．故答案为C． 24abc，则△ABC是（ ） cosAcosBcosC11．在△ABC中，内角，，的对边分别是，，，若

高考精品试题

A．直角三角形 【答案】D 【解析】∵代入， 得

B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形

abc，由正弦定理得：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinCcosAcosBcosCsinAsinBsinC，∴进而可得tanAtanBtanC， cosAcosBcosC∴ABC，则△ABC是等边三角形．故选D．

12．在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，已知a23，c22，1则C（ ） A．

tanA2c， tanBb 6B．

 4C．

3或 44D．

 3【答案】B

【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：1去分母移项得：sinBcosAsinAcosB2sinCcosA， 所以sinABsinC2sinCcosA，

sinAcosB2sinC，

cosAsinBsinB13所以cosA．由同角三角函数得sinA，

22由正弦定理

ac32，解得sinC所以C或（舍）．故选B． sinAsinC442二、填空题

13．在△ABC中，角， ，的对边分别为，，，c22，b2a216，则角的最大值为_____；

【答案】

 6【解析】在△ABC中，由角的余弦定理可知

高考精品试题

b2a2aba2b2c23a2b23， 2cosC2ab2ab4ab222又因为0C，所以Cmax6．当且仅当a22，b26时等号成立．

14．已知△ABC的三边，，成等比数列，，，所对的角分别为，，，则sinBcosB的取值范围是_________． 【答案】1，2

【解析】∵△ABC的三边，，成等比数列，

∴acb2a2c22accosB2ac2accosB，得cosB7又∵0B，∴B0，，B，，

44123可得sinBcosB2sinB1，2，故答案为1，2． 41， 215．在△ABC中三个内角，，，所对的边分别是，，，若b2sinCcosA2sinAcosC，且a23，则△ABC面积的最大值是________

【答案】

【解析】∵b2sinCcosA2sinAcosC，

∴bcosA2sinCcosAsinAcosC2sinAC2sinB，

b222a23，结合正弦定理得，即tanA3，A sinBcosA3cosAsinAsinA则

b2c2a21由余弦定理得cosA，化简得b2c212bc2bc，

2bc21133，故答案为． 故bc4，S△ABCbcsinA422216．在锐角△ABC中，角，，所对的边分别为，，，且，，成等差数列，b3，

高考精品试题

则△ABC面积的取值范围是__________．

333【答案】2，4

【解析】∵△ABC中，，成等差数列，∴B． 3acb32由正弦定理得sinAsinCsinB，∴a2sinA，c2sinC， sin3132ac3sinAsinC3sinAsinA ∴S△ABCacsinB24333132331cos2A3sinAcosAsinAsinAcosAsinAsin2A 222242233333sin2Acos2Asin2A， 4442640A2∵△ABC为锐角三角形，∴，解得A．

6202A32∴

152A，∴sin2A1，

2666633333333，． sin2A∴，故△ABC面积的取值范围是2264424三、解答题

17．己知，，分别为△ABC三个内角，，的对边，且（1）求角的大小；

（2）若bc5，且△ABC的面积为，求的值．

3acosA2． csinC高考精品试题

【答案】（1）

2；（2）21． 33sinAcosA2， sinCsinC【解析】（1）由正弦定理得，∵sinC0，∴3sinAcosA2，即sinA1．

6∵0A∴2A，∴A，∴A． 6666231（2）由S△ABC3可得SbcsinA3．∴bc4，

2∵bc5，∴由余弦定理得：a2b2c22bccosAbcbc21，

2∴a21．

18．如图，在△ABC中，点在边上，ADC60，AB27，BD4．

．

（1）求△ABD的面积． （2）若BAC120o，求的长． 【答案】（1）23；（2）．

【解析】（1）由题意，BDA120

在△ABD中，由余弦定理可得AB2BD2AD22BDADcos120 即2816AD24ADAD2或AD6（舍）， ∴△ABD的面积S113DBDAsinADB4223． 222高考精品试题

（2）在△ABD中，由正弦定理得

ADAB， sinBsinBDA代入得sinB2157，由为锐角，故cosB， 141421， 7所以sinCsin60Bsin60cosBcos60sinB在△ADC中，由正弦定理得

2ACADAC， sinCsinCDA∴217

3，解得AC7． 2