行班）
一、填空题（每题3分，共36分） 1．写出集合{0，1}的所有子集 ．
2．集合A={x|x﹣3x﹣4＜0，x∈Z}用列举法表示为 ．
3．命题“若x+y＞0，那么x＞0且y＞0”的逆否命题是 命题． 4．不等式
＞0的解集为 ．
2
2
5．设全集U={2，3，a+2a﹣3}，集合A={2，|a+1|}，CUA={5}，则a= ．
6．已知集合A={x||x|≤4，x∈R}，B={x|x≥a}，且A⊆B，则实数a的范围为 ． 7．已知U={x|x＞﹣1}，A={x||x﹣2|＜1}，则∁UA= ． 8．若f（x）=
2
，g（x）=，则f（x）•g（x）= ．
2
9．若不等式x﹣ax﹣b＜0的解集是2＜x＜3，则不等式bx﹣ax﹣1＞0的解集是： ． 10．若关于x的不等式（a﹣1）x+2（a﹣1）x﹣4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是 ． 11．函数f（x）=x﹣ax+2，若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围 ． 12．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”，给定S={1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个．
二、选择题（每题3分，共12分）
13．如图中的阴影部分表示的集合是（ ）
2
2
A．∁∪M∩N B．M∪∁∪N 14．已知x为实数，则“
C．M∩∁∪N D．∁∪M∪N
”是“x＞1”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．设a，b∈R，ab≠0，给出下面四个命题：①a2+b2≥﹣2ab；②+＜bc2；④若A．1
B．2
≥2；③若a＜b，则ac2
＞．则a＞b；其中真命题有（ ）
D．4
C．3
16．设P、Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P且x∉Q}为P、Q的“差集”，已知P={x|1﹣＜0}，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（ ）
A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|2≤x＜3}
三、解答题（6+8+8+8+10+12，共53分）
17．（6分）设集合A={1，1+d，1+2d}，B={1，q，q}，若A=B，求d与q的值．
22
18．（8分）设关于x的方程x+px﹣12=0和x+qx+r=0的解集分别是A、B，且A≠B．A∪B={﹣3，2，4}，A∩B={﹣3}．求p，q，r的值． 19．（8分）函数y=
的定义域为集合A，集合B={x||x+2|+|x﹣2|＞8}．
2
（1）求集合A、B； （2）求B∩∁∪A． 20．（8分）某公司一年经销某种商品，年销售量400吨，每吨进价5万元，每吨销售价8万元．全年进货若干次，每次都购买x吨，运费为每次2万元，一年的总存储费用为2x万元． （1）求该公司经销这种商品一年的总利润y与x的函数关系；
（2）要使一年的总利润最大，则每次购买量为多少？并求出最大利润． 21．（10分）（1）已知a，b为正整数，a≠b，x＞0，y＞0．试比较指出两式相等的条件．
（2）用（1）所得结论，求函数y=
+
，x∈（0，）的最小值．
+
与
的大小，并
22．（12分）已知等差数列{an}的各项均为正数，且Sn=[x]表示不大于x的最大整数（如[2.10]=2，[0.9]=0）． （1）试求数列{an}的通项；
（2）求T=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2（2
++…+
S2=，S3=．，设
﹣1）]+[log2（2）]关于n的表达式．
2016-2017学年上海市浦东新区川沙中学高一（上）期中数学
试卷（平行班）
参考答案与试题解析
一、填空题（每题3分，共36分） 1．（2016秋•浦东新区校级期中）写出集合{0，1}的所有子集 ∅，{0}，{1}，{0，1} ． 【考点】子集与真子集． 【专题】计算题．
【分析】集合{0，1}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集，列举出来即可． 【解答】解：集合{0，1}的所有子集为： ∅，{0}，{1}，{0，1}共4个． 故答案为：∅，{0}，{1}，{0，1}
【点评】本题考查了一元二次方程的解法和集合的真子集，真子集也要谨防含有本身和丢失空集等错误，属于基础题．
2．（2016秋•浦东新区校级期中）集合A={x|x﹣3x﹣4＜0，x∈Z}用列举法表示为 {0，1，2，3} ． 【考点】一元二次不等式的解法；集合的表示法． 【专题】计算题；不等式的解法及应用；集合． 【分析】利用条件直接求解即可．
2
【解答】解：集合A={x|x﹣3x﹣4＜0，x∈Z}={x|﹣1＜x＜4，x∈Z}={0，1，2，3}． 故答案为：{0，1，2，3}．
【点评】本题考查二次不等式的解法，集合的表示，是基础题． 3．（2016秋•浦东新区校级期中）命题“若x+y＞0，那么x＞0且y＞0”的逆否命题是 假 命题． 【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．
【分析】先判断原命题的真假，再根据互为逆否的命题真假性相同，得到答案． 【解答】解：命题“若x+y＞0，那么x＞0且y＞0”是假命题； 故其逆否命题“若x≤0，或y≤0，那么x+y≤0”也是假命题， 故答案为：假
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，互为逆否的命题真假性关系，难度不大，属于基础题．
4．（2016秋•浦东新区校级期中）不等式
＞0的解集为 （﹣2，2） ．
2
【考点】其他不等式的解法．
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用． 【分析】首先将不等式转化为整式不等式解之． 【解答】解：不等式故答案为：（﹣2，2）．
＞0等价于（x+2）（x﹣2）＜0，所以不等式的解集为（﹣2，2）；
【点评】本题考查了分式不等式的解法；关键是正确转化为整式不等式解之．
5．（2009秋•普陀区校级期末）设全集U={2，3，a+2a﹣3}，集合A={2，|a+1|}，CUA={5}，则a= ﹣4或2 ．
【考点】集合关系中的参数取值问题． 【专题】计算题．
【分析】根据补集的性质 A∪（CUA）=U，再根据集合相等的概念列方程组，从而可得结论． 【解答】解：由题意，根据补集的性质A∪（CUA）=U， ∴
∴
，∴a=﹣4或2．
2
故答案为：﹣4或2．
【点评】本题的考点是集合关系中的参数取值问题，主要考查集合的基本运算，补集的性质，集合相等的概念．是基础题． 6．（2016秋•浦东新区校级期中）已知集合A={x||x|≤4，x∈R}，B={x|x≥a}，且A⊆B，则实数a的范围为 （﹣∞，﹣4] ．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；方程思想；演绎法；集合．
【分析】解绝对值不等式求出集合A，结合集合B={x|x≥a}，A⊆B，可得实数a的取值范围． 【解答】解：∵集合A={x||x|≤4，x∈R}=[﹣4，4]， 集合B={x|x≥a}， 若A⊆B，则a≤﹣4，
则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]， 故答案为：（﹣∞，﹣4]．
【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中解绝对值不等式求出集合A，是解答的关键．
7．（2016秋•浦东新区校级期中）已知U={x|x＞﹣1}，A={x||x﹣2|＜1}，则∁UA= {x|﹣1＜x≤1或x≥3} ．
【考点】补集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合．
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U求出A的补集即可． 【解答】解：∵U={x|x＞﹣1}，A={x||x﹣2|＜1}={x|1＜x＜3}， ∴∁UA={x|﹣1＜x≤1或x≥3}， 故答案为：{x|﹣1＜x≤1或x≥3}
【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．
8．（2016秋•浦东新区校级期中）若f（x）=＞﹣1且x≠1） ．
【考点】函数解析式的求解及常用方法． 【专题】计算题；函数的性质及应用．
，g（x）=
，则f（x）•g（x）= x+1（x
【分析】直接根据根式指数幂进行计算即可得到答案． 【解答】解：f（x）=
，（x＞﹣1）g（x）=
，（x＞﹣1且x≠1）
则：f（x）•g（x）=•===x+1（x＞﹣1
且x≠1）
故答案为x+1．（x＞﹣1且x≠1）
【点评】本题考查了根式指数幂的运算．属于基础题． 9．（2012春•南通校级期末）若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是2＜x＜3，则不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是：
．
【考点】一元二次不等式的应用． 【专题】计算题．
22
【分析】由不等式x﹣ax﹣b＜0的解集是2＜x＜3，可以求得a，b，从而可以求得不等式bx﹣ax﹣1＞0的解集．
2
【解答】解：∵不等式x﹣ax﹣b＜0的解集是2＜x＜3，
2
∴2，3是方程x﹣ax﹣b=0的二根， ∴
，即a=5，b=﹣6，代入bx2﹣ax﹣1＞0有6x2+5x+1＜0，解得
，
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次不等式的应用，重点考查方程组的思想及一元二次不等式的解法，属于基础题．
10．（2016秋•浦东新区校级期中）若关于x的不等式（a﹣1）x+2（a﹣1）x﹣4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是 {a|﹣3＜a≤1} ． 【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】分类讨论；分类法；不等式的解法及应用．
【分析】根据题意，讨论a的取值，是否满足不等式的解集为∅即可．
2
【解答】解：∵关于x的不等式（a﹣1）x+2（a﹣1）x﹣4≥0的解集为∅， ∴a﹣1=0时，﹣4≥0，不等式不成立，a=1满足题意； a﹣1＞0时，a＞1，不等式的解集不为空集，不满足题意；
2
a﹣1＜0时，a＜1，当△=4（a﹣1）+16（a﹣1）＜0时， 即（a﹣1）（a+3）＜0，
解得：﹣3＜a＜1，满足题意；
综上，实数a的取值范围是{a|﹣3＜a≤1}． 故答案为：{a|﹣3＜a≤1}．
【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论思想，对字母系数进行讨论，是基础题．
2
11．（2016秋•浦东新区校级期中）函数f（x）=x2﹣ax+2，若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围 （﹣∞，2） ． 【考点】二次函数的性质．
【专题】计算题；分类讨论；转化思想；函数的性质及应用．
2
【分析】要使函数f（x）=x﹣ax+2对任意x∈[1，+∞），都有f（x）＞0恒成立，分判别式小于0和大于等于0两种情况，借助于二次函数的对称轴及f（1）的符号列式求解． 【解答】解：函数f（x）=x﹣ax+2，若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立， 当△=a2﹣8＜0，解得a∈（﹣2，2）． 或
，即
，
2
解得，a≤2．
综上，对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立的实数a的取值范围是：（﹣∞，2故答案为：（﹣∞，2）．
）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用“三个二次”的结合求解参数问题，是中档题． 12．（2009•北京）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”，给定S={1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 6 个． 【考点】元素与集合关系的判断． 【专题】新定义；集合．
【分析】列举几个特殊的集合体会孤立元的意义是解本题的关键．
【解答】解：依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．
因此，符合题意的集合是：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}共6个． 故答案为：6．
【点评】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力．属于创新题型．列举时要有一定的规律，可以从一端开始，做到不重不漏．
二、选择题（每题3分，共12分） 13．（2016秋•浦东新区校级期中）如图中的阴影部分表示的集合是（ ）
A．∁∪M∩N B．M∪∁∪N C．M∩∁∪N D．∁∪M∪N 【考点】Venn图表达集合的关系及运算． 【专题】计算题；数形结合；演绎法；集合．
【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．
【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于M或不属于N的元素构成，所以用集合表示为M∪∁∪N． 故选B．
【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．
14．（2012•浙江校级模拟）已知x为实数，则“
”是“x＞1”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法． 【专题】证明题． 【分析】解分式不等式“⇒“
”，可以求出其对应的x的范围，进而判断出“
”⇒“x＞1”与“x＞1”
”的真假，进而根据充分条件和必要条件的定义，得到答案．
”时，“x＞1或x＜0”，
【解答】解：当“即“即“
”⇒“x＞1”不成立 ”是“x＞1”的不充分条件；
”成立
当“x＞1”时，“即“故“
”是“x＞1”的必要条件； ”是“x＞1”的必要不充分条件；
故选B
【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，分式不等式的解法，其中判断出“
15．（2016秋•浦东新区校级期中）设a，b∈R，ab≠0，给出下面四个命题：①a2+b2≥﹣2ab；②≥2；③若a＜b，则ac2＜bc2；④若
”⇒“x＞1”与“x＞1”⇒“
”的真假，是解答本题的关键．
+＞．则a＞b；其中真命题有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质． 【专题】探究型；转化思想；不等式．
【分析】根据不等式的基本性质，基本不等式，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．
22222
【解答】解：∵a+b+2ab=（a+b）≥0，故：①a+b≥﹣2ab为真命题； a，b同号时，+a，b异号时，+
≥2； ≤﹣2；
故②+≥2为假命题；
若a＜b，c=0，则ac=bc；
22
故③若a＜b，则ac＜bc为假命题； 若
＞
．则c2＞0，则a＞b；故④若
＞
．则a＞b为真命题；
2
2
2
故选：B
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，基本不等式，难度中档． 16．（2007•湖北）设P、Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P且x∉Q}为P、Q的“差集”，已知P={x|1﹣＜0}，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（ ）
A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|2≤x＜3} 【考点】元素与集合关系的判断；绝对值不等式的解法． 【专题】计算题． 【分析】首先分别对P，Q两个集合进行化简，然后按照P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，求出P﹣Q即可． 【解答】解：∵
化简得：P={x|0＜x＜2} 而Q={x||x﹣2|＜1} 化简得：Q={x|1＜x＜3}
∵定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}， ∴P﹣Q={x|0＜x≤1} 故选B
【点评】本题考查元素与集合关系的判断，以及绝对值不等式的解法，考查对集合知识的熟练掌握，属于基础题．
三、解答题（6+8+8+8+10+12，共53分）
2
17．（6分）（2016秋•浦东新区校级期中）设集合A={1，1+d，1+2d}，B={1，q，q}，若A=B，求d与q的值．
【考点】集合的相等．
【专题】计算题；集合思想；集合．
d≠0，q≠±1，a≠0，【分析】由元素的互异性可知：而A=B可得出方程组即可．
【解答】解：由元素的互异性可知：d≠0，q≠±1，a≠0，而A=B． ∴
①或
②．．
①或
②．解
由方程组①解得，应舍去；
由方程组②解得（应舍去）或．
综上可知：d=﹣，q=﹣．
【点评】本题考查了集合元素的互异性、集合相等，属于基础题．
18．（8分）（2016秋•浦东新区校级期中）设关于x的方程x+px﹣12=0和x+qx+r=0的解集分别是A、B，且A≠B．A∪B={﹣3，2，4}，A∩B={﹣3}．求p，q，r的值． 【考点】并集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合． 【分析】先利用A∩B={﹣3}，得出﹣3∈A得p=﹣1此时A={﹣3，4}又A∪B={﹣3，2，4}，A∩B={﹣3}，得到B={﹣3，2}，再根据一元二次方程根与系数的关系可以计算出两根之和，两根之积，然后可以求出r，q的值
【解答】解：∵A∩B={﹣3}，∴﹣3∈A，∴9﹣3p﹣12=0，得p=﹣1． 此时A={﹣3，4}，
又∵A∪B={﹣3，2，4}，A∩B={﹣3}，∴B={﹣3，2}， ∴
，得q=1，r=﹣6．
2
2
∴p=﹣1，q=1，r=﹣6．
【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题、对韦达定理（根与系数的关系）的简单运用，属于基础题．
19．（8分）（2016秋•浦东新区校级期中）函数y=﹣2|＞8}．
（1）求集合A、B；
（2）求B∩∁∪A．
【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】分类讨论；定义法；集合． 【分析】（1）根据函数y的解析式求出定义域得出集合A，利用绝对值的定义求出集合B， （2）根据补集与交集的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）函数y=
的定义域为集合A，
的定义域为集合A，集合B={x||x+2|+|x
∴﹣1＞0，化简得＜0，解得﹣1＜x＜8，
∴A={x|﹣1＜x＜8}；
集合B={x||x+2|+|x﹣2|＞8}，
当x≥2时，x+2+x﹣2＞8，解得x＞4， 当﹣2＜x＜2是，（x+2）﹣（x﹣2）＞8，无解；
当x≤﹣2时，﹣（x+2）﹣（x﹣2）＞8，解得x＜﹣4； ∴B={x|x＜﹣4或x＞4}；
（2）∁UA={x|x≤﹣1或x≥8}， ∴B∩∁∪A={x|x＜﹣4或x≥8}．
【点评】本题考查了函数定义域的求法与绝对值不等式的解法问题，也考查了补集与交集的定义和运算问题，是基础题目． 20．（8分）（2016秋•浦东新区校级期中）某公司一年经销某种商品，年销售量400吨，每吨进价5万元，每吨销售价8万元．全年进货若干次，每次都购买x吨，运费为每次2万元，一年的总存储费用为2x万元．
（1）求该公司经销这种商品一年的总利润y与x的函数关系；
（2）要使一年的总利润最大，则每次购买量为多少？并求出最大利润． 【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】应用题；函数思想；演绎法；函数的性质及应用． 【分析】（1）先设某公司每次都购买x吨，由于一年购买某种货物400吨，得出需要购买的次数，从而求得一年的总运费与总存储费用之和，即可求出该公司经销这种商品一年的总利润y与x的函数关系；
（2）利用基本不等式求得一年的总运费与总存储费用之和最小即可．
【解答】解：（1）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买2万元/次，一年的总存储费用为2x万元，一年的总运费与总存储费用之和为∴该公司经销这种商品一年的总利润y与x的函数关系y=1200﹣（
次，运费为
•2+2x万元．
•2+2x）；
（2）要使一年的总利润最大，只要一年的总运费与总存储费用之和最小． ∵
•2+2x≥80，当
•2=2x即x=20吨时，等号成立．
∴每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小，最大利润1120万元．
【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式求最值，属于中档题．解决实际问题的关键是选择好分式函数模型．
21．（10分）（2016秋•浦东新区校级期中）（1）已知a，b为正整数，a≠b，x＞0，y＞0．试比较
+与的大小，并指出两式相等的条件．
（2）用（1）所得结论，求函数y=+，x∈（0，）的最小值．
【考点】基本不等式；不等式的基本性质．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；不等式．
【分析】（1）展开（x+y）（的大小和等号成立的条件； （2）将函数y=
+
+
）=a2+b2+
+，再由基本不等式可得+与
，x∈（0，）化为y=+，即可运用第一题的结论，求得最小
值．
【解答】解：（1）a，b为正整数，a≠b，x＞0，y＞0， 可得（x+y）（
+
）=a2+b2+
+
≥a2+b2+2=a2+b2+2ab=（a+b）2，
即有+≥，当且仅当ay=bx时取得等号；
（2）函数y=即为y=
+
+
，
，x∈（0，）
由（1）可得+≥=25．
当且仅当6x=3（1﹣3x），即x=时，取得最小值25．
【点评】本题考查不等式的大小和函数的最值的求法，注意运用基本不等式，考查运算化简能力，属于中档题．
22．（12分）（2016秋•浦东新区校级期中）已知等差数列{an}的各项均为正数，且Sn=
+
+…+
，S2=，S3=．设[x]表示不大于x的最大整数（如[2.10]=2，[0.9]=0）．
（1）试求数列{an}的通项；
（2）求T=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2（2【考点】数列的应用．
【专题】综合题；等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用裂项法求和，结合S2=，S3=，即可求数列{an}的通项； （2）先化简，再利用错位相减法，即可得出结论．
﹣1）]+[log2（2
）]关于n的表达式．
【解答】解：（1）Sn=∵S2=，S3=， ∴（
﹣
）=，
++…+=（﹣），
（﹣）=，
∴a1=1，d=1， ∴an=n；
（2）T=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2（2
n
﹣1）]+[log2（2
n
）]
=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2（2﹣1）]+[log2（2）] ∵[log21]=0，
[log22]=[log23]=1， …
[log22]=[log2（+1）]=…=[log2（﹣1）]=m．
nn2n﹣1
∴[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2（2﹣1）]+[log2（2）]=0+1×2+2×2+…+（n﹣1）•2+n，
2n﹣1
由S=1×2+2×2+…+（n﹣1）•2，
23n
则2S=1×2+2×2+…+（n﹣1）•2， ∴﹣S=1×2+1×22+…+2n﹣1﹣（n﹣1）•2n=
n
m
m
m+1
﹣（n﹣1）•2n，
∴S=（2﹣n）•2﹣2
n
∴T=（2﹣n）•2﹣2+n．
【点评】本题考查数列的应用，考查错位相减法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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