新华区第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(2)

一、选择题

1． 若函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（ ）

A．[0，+∞） B．[0，3] C．（﹣3，0] D．（﹣3，+∞）

2． 在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差

3． sin45°sin105°+sin45°sin15°=（ ） A．0

B．

C．

D．1

4． 已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}的元素个数为（ ） A．4

B．5

C．6

D．9

5． 拋物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线C：x2－y2＝2的焦点重合，C的渐近线与拋物线E交于非原点的P点，则点P到E的准线的距离为（ ） A．4 C．8

B．6 D．10

6． 直径为6的球的表面积和体积分别是（ ）

A．144,144 B．144,36 C．36,144 D．36,36 7． 执行如图所示的程序框图，则输出结果S=（ ）

A．15 B．25 C．50 D．100

8． 直线A．

的倾斜角是（ ） B．

C．

D．

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9． 设集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A∩B=（ ） A．{1，2}

B．{﹣1，4} C．{﹣1，2} D．{2，4}

2xy2010．若变量x，y满足约束条件x2y40，则目标函数z3x2y的最小值为（ ）

x10A．-5 B．-4 C.-2 D．3 11．如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．

①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形 ②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥 ③存在点D，使CD与AB垂直并且相等

④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上 其中真命题的序号是（ ）

A．①② B．②③ C

．③ D．③④

12．

某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（

） A．80＋20π B．40＋20π C．60＋10π D．80＋10π

二、填空题

13．如果直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行．那么a等于 ．

14．直角坐标P（﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π） ．

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15．B，C对应的边分别为a，b，c，b=2， △ABC外接圆半径为，内角A，若A=60°，则c的值为 ．

7)的值为 ▲ ．16．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且x(时f(x)x21，则f( 0,2)17．曲线y=x+ex在点A（0，1）处的切线方程是 ． 的标准差是22，则a ．

18．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，另一组数据ax1，ax2，ax3，ax4，ax5（a0）

三、解答题

19．已知f（x）=x2﹣3ax+2a2．

（1）若实数a=1时，求不等式f（x）≤0的解集； （2）求不等式f（x）＜0的解集．

20．已知P（m，n）是函授f（x）=ex﹣1图象上任一于点

（Ⅰ）若点P关于直线y=x﹣1的对称点为Q（x，y），求Q点坐标满足的函数关系式 （Ⅱ）已知点M（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d=y=h（x）图象上时，公式变为

=|s﹣ex﹣1﹣1|+|t﹣ln（t﹣1）|，（s∈R，t＞0）的最小值．

21．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．

，当点M在函数

，请参考该公式求出函数ω（s，t）

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（1）当a=2，b=1时，求函数f（x）的单调区间；

2

（2）令F（x）=f（x）+ax+bx+（2≤x≤3）其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求

实数a的取值范围；

2

（3）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．

22．（本小题满分12分）

如图长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16， 相交，交线围成一个四边形．

（1）在图中画出这个四边形（不必说明画法和理由）； （2）求平面α将长方体分成的两部分体积之比．

23．已知椭圆

线被椭圆G截得的线段长为

．

BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝4，D1F＝8，过点E，F，C的平面α与长方体的面

的左焦点为F，离心率为

，过点M（0，1）且与x轴平行的直

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（I）求椭圆G的方程； 的取值范围．

，求直线OP（O是坐标原点）的斜率

（II）设动点P在椭圆G上（P不是顶点），若直线FP的斜率大于

24．已知等差数列{an}的首项和公差都为2，且a1、a8分别为等比数列{bn}的第一、第四项． （1）求数列{an}、{bn}的通项公式； （2）设cn=

，求{cn}的前n项和Sn．

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新华区第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】 D

32

【解析】解：令f（x）=﹣2x+ax+1=0，

易知当x=0时上式不成立； 故a=

=2x﹣

，

=2

，

令g（x）=2x﹣，则g′（x）=2+

故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，

在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数； 故作g（x）=2x﹣

的图象如下，

，

g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3， 故结合图象可知，a＞﹣3时， 方程a=2x﹣

有且只有一个解，

32

即函数f（x）=﹣2x+ax+1存在唯一的零点，

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故选：D．

2． 【答案】D

【解析】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88． B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90 众数分别为88，90，不相等，A错． 平均数86，88不相等，B错． 中位数分别为86，88，不相等，C错 A样本方差S2=B样本方差S2=故选D．

【点评】本题考查众数、平均数、中位标准差的定义，属于基础题．

3． 【答案】C 【解析】解：sin45°sin105°+sin45°sin15° =cos45°cos15°+sin45°sin15° =cos（45°﹣15°） =cos30° =

．

[（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差S=2， [（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差S=2，D正确

故选：C．

【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应 用，考查了转化思想，属于基础题．

4． 【答案】B

【解析】解：①x=0时，y=0，1，2，∴x﹣y=0，﹣1，﹣2； ②x=1时，y=0，1，2，∴x﹣y=1，0，﹣1； ③x=2时，y=0，1，2，∴x﹣y=2，1，0； ∴B={0，﹣1，﹣2，1，2}，共5个元素． 故选：B．

5． 【答案】

x2y2p

【解析】解析：选D.双曲线C的方程为－＝1，其焦点为（±2，0），由题意得＝2，

222∴p＝4，即拋物线方程为y2＝8x，

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双曲线C的渐近线方程为y＝±x，

2

y＝8x由，解得 x＝0（舍去）或x＝8，则P到E的准线的距离为8＋2＝10，故选D.

xy＝±

6． 【答案】D 【解析】

考点：球的表面积和体积． 7． 【答案】C

【解析】解：根据程序框图，S=（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+（﹣97+99）=50，输出的S为50． 故选：C．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序框图，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．

8． 【答案】A

，

【解析】解：设倾斜角为α， ∵直线∴tanα=

，

的斜率为

∵0°＜α＜180°， ∴α=30° 故选A．

【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．

9． 【答案】A

【解析】解：集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A∩B={1，2}． 故选：A．

【点评】本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．

10．【答案】B 【解析】

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31xz，直线系在可22行域内的两个临界点分别为A(0,2)和C(1,0)，当直线过A点时，z3x2y224，当直线过C点时，z3x2y313，即的取值范围为[4,3]，所以Z的最小值为4.故本题正确答案为B.

试题分析：根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，目标函数可转化直线系y考点：线性规划约束条件中关于最值的计算. 11．【答案】D

【解析】

【分析】对于①可构造四棱锥CABD与四面体OABC一样进行判定；对于②，使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；对于③取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，对于④先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r，可判定④的真假．

【解答】解：∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3， ∴AC=BC=，AB=

当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2 此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确

使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故②不正确；

取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确； 先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可 ∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确 故选D 12．【答案】

【解析】解析：选D.该几何体是在一个长方体的上面放置了半个圆柱．

1

依题意得（2r×2r＋πr2）×2＋5×2r×2＋5×2r＋πr×5＝92＋14π，

2 即（8＋π）r2＋（30＋5π）r－（92＋14π）＝0， 即（r－2）[（8＋π）r＋46＋7π]＝0，

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∴r＝2，

1

∴该几何体的体积为（4×4＋π×22）×5＝80＋10π.

2

二、填空题

13．【答案】

．

【解析】解：∵直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行， ∴3aa=1（1﹣2a），解得a=﹣1或a=， 经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去 故答案为：．

【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．

14．【答案】

【解析】解：ρ=∴点P的极坐标为故答案为：

．

=．

，tanθ= ．

=﹣1，且0＜θ＜π，∴θ=．

15．【答案】 ．

【解析】解：∵△ABC外接圆半径为∴由正弦定理可得：

，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，

，解得：a=3，

22222

∴利用余弦定理：a=b+c﹣2bccosA，可得：9=4+c﹣2c，即c﹣2c﹣5=0，

∴解得：c=1+故答案为：基础题．

16．【答案】2 【解析】1111]

，或1﹣．

（舍去）．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于

试题分析：f(x4)f(x)T4,所以f(7)f(1)f(1)2. 考点：利用函数性质求值

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17．【答案】 2x﹣y+1=0 ．

xx

【解析】解：由题意得，y′=（x+e）′=1+e，

0

∴点A（0，1）处的切线斜率k=1+e=2，

则点A（0，1）处的切线方程是y﹣1=2x，即2x﹣y+1=0， 故答案为：2x﹣y+1=0． 基础题．

18．【答案】2 【解析】

【点评】本题考查导数的几何意义，以及利用点斜式方程求切线方程，注意最后要用一般式方程来表示，属于

试题分析：第一组数据平均数为x,(x1x)2(x2x)2(x3x)2(x4x)2(x5x)22，

(ax1ax)2(ax2ax)2(ax3ax)2(ax4ax)2(ax5ax)28,a24,a2．

考点：方差；标准差．

三、解答题

19．【答案】

2

【解析】解：（1）当a=1时，依题意得x﹣3x+2≤0

因式分解为：（x﹣2）（x﹣1）≤0， 解得：x≥1或x≤2． ∴1≤x≤2．

不等式的解集为{x|1≤x≤2}．

22

（2）依题意得x﹣3ax+2a＜0

∴（x﹣a）（x﹣2a）＜0… 对应方程（x﹣a）（x﹣2a）=0 得x1=a，x2=2a 当a=0时，x∈∅．

当a＞0时，a＜2a，∴a＜x＜2a； 当a＜0时，a＞2a，∴2a＜x＜a；

综上所述，当a=0时，原不等式的解集为∅； 当a＞0时，原不等式的解集为{x|a＜x＜2a}； 当a＜0时，原不等式的解集为{x|2a＜x＜a}；

20．【答案】

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【解析】解：（1）因为点P，Q关于直线y=x﹣1对称，所以．

解得．又n=em﹣1

，所以x=1﹣e（y+1）﹣1，即y=ln（x﹣1）．

x1

（2）ω（s，t）=|s﹣e﹣﹣1|+|t﹣ln（t﹣1）﹣1|

=

，

令u（s）=．

x1

则u（s），v（t）分别表示函数y=e﹣，y=ln（t﹣1）图象上点到直线x﹣y﹣1=0的距离．

由（1）知，umin（s）=vmin（t）． 而f′（x）=e故

x﹣1

，令

f′（s）=1得s=1，所以umin（s）=

．

．

【点评】本题一方面考查了点之间的轴对称问题，同时利用函数式的几何意义将问题转化为点到直线的距离，然后再利用函数的思想求解．体现了解析几何与函数思想的结合．

21．【答案】

【解析】解：（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．… 当a=2，b=1时，f（x）=lnx﹣x﹣x，

2

f′（x）=﹣2x﹣1=﹣令f′（x）=0，解得x=．…

．

当0＜x＜时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增； 当x＞时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．

所以函数f（x）的单调增区间（0，），函数f（x）的单调减区间（，+∞）．… （2）F（x）=lnx+，x∈[2，3]，

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所以k=F′（x0）=

≤，在x0∈[2，3]上恒成立，…

2

所以a≥（﹣x0+x0）max，x0∈[2，3]…

2

当x0=2时，﹣x0+x0取得最大值0．所以a≥0．…

（3）当a=0，b=﹣1时，f（x）=lnx+x，

2

因为方程f（x）=mx在区间[1，e]内有唯一实数解，

所以lnx+x=mx有唯一实数解． ∴m=1+

，…

，则g′（x）=

．…

设g（x）=1+

令g′（x）＞0，得0＜x＜e； g′（x）＜0，得x＞e，

2

∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e]上是减函数，…1 0分

∴g（1）=1，g（e）=1+

2=1+．…

，g（e）=1+，…

所以m=1+，或1≤m＜1+

22．【答案】 【解析】解：

（1）交线围成的四边形EFCG（如图所示）． （2）∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD， 平面A1B1C1D1∩α＝EF， 平面ABCD∩α＝GC， ∴EF∥GC，同理EG∥FC. ∴四边形EFCG为平行四边形， 过E作EM⊥D1F，垂足为M， ∴EM＝BC＝10，

∵A1E＝4，D1F＝8，∴MF＝4.

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∴GC＝EF＝∴GB＝

EM2＋MF2＝102＋42＝116，

GC2－BC2＝116－100＝4（事实上Rt△EFM≌Rt△CGB）．

过C1作C1H∥FE交EB1于H，连接GH，则四边形EHC1F为平行四边形，由题意知，B1H＝EB1－EH＝12－8＝4＝GB.

∴平面α将长方体分成的右边部分由三棱柱EHG-FC1C与三棱柱HB1C1­GBC两部分组成． 其体积为V2＝V三棱柱EHG-FC1C＋V三棱柱HB1C1­GBC ＝S△FC1C·B1C1＋S△GBC·BB1 11

＝×8×8×10＋×4×10×8＝480， 22

∴平面α将长方体分成的左边部分的体积V1＝V长方体－V2＝16×10×8－480＝800. V18005∴＝＝， V24803

53

∴其体积比为（也可以）．

3523．【答案】

【解析】解：（I）∵椭圆

的左焦点为F，离心率为

．

，

过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为∴点

在椭圆G上，又离心率为

，

∴，解得

∴椭圆G的方程为．

（II）由（I）可知，椭圆G的方程为．∴点F的坐标为（﹣1，0）．

．

设点P的坐标为（x0，y0）（x0≠﹣1，x0≠0），直线FP的斜率为k， 则直线FP的方程为y=k（x+1）， 由方程组

消去y0，并整理得

又由已知，得，解得或﹣1＜x0＜0．

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设直线OP的斜率为m，则直线OP的方程为y=mx． 由方程组

消去y0，并整理得

．

由﹣1＜x0＜0，得m＞，

2 ），

＜m＜﹣

．

，﹣

）．

∵x0＜0，y0＞0，∴m＜0，∴m∈（﹣∞，﹣由﹣＜x0＜﹣1，得

∵x0＜0，y0＞0，得m＜0，∴﹣

，

∴直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆与直线的位置关系的合理运用．

24．【答案】

当n=1时，2b1=a1=2，b4=a8=16，…3 设等比数列{bn}的公比为q，则∴q=2，…5 ∴

…6

（2）由（1）可知：log2bn+1=n…7 ∴∴

∴{cn}的前n项和Sn，Sn=

．…12

，

…9

，…4

【解析】解：（1）由等差数列通项公式可知：an=2+（n﹣1）2=2n，

【点评】本题考查等比数列及等差数列通项公式，等比数列性质，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．

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