鼯 解题技巧与方法 ９９ 哥 锥 线焦 点 弦 介 定僮 ◎载玲玲 （江苏省泰兴中等专业学校２２５４００） 【摘要】圆锥曲线的焦点弦是指经过圆锥曲线焦点的 ２．（１）若ＡＢ，ＣＤ为椭圆 ＋百Ｙ＝１（。＞ｂ＞０）中过同 弦，笔者在教学中归纳出与其有关的几个定值，有助于进一 步加深对圆锥曲线性质的认识． 一焦点Ｆ且互相垂直的两条弦，则 ＋面１ ＝ 【关键词】圆锥；曲线 （定值）； １．（１）若ＡＢ为椭圆 ＋ ＝１（ｎ＞ｂ＞０）的一条焦点 （２）若ＡＢ，ＣＤ为双曲线 一告＝１（ｎ＞０，Ｄ ｂ＞０）中过 ０ 弦，Ｆ为焦点，则 ＋ ＝ ２ａ（定值）同一焦点Ｆ且互相垂直的两条弦，则 ＋ ＝ ； （定值）； （２）若ＡＢ为双曲线 一｛『：ｌ（０＞０，ｂ＞０）的一条焦 ｒ正 ｕ （３）若ＡＢ，ＣＤ为过抛物线Ｙ ＝２ｐｘ（Ｐ＞０）焦点Ｆ且互 点弦，Ｆ为焦点，则丽１ ＋ ： ２ａ（定值）； 相垂直的两条弦，则面１ ＋Ｔ 丌＝去（定值）． （３）若ＡＢ为抛物线 ＝２ｐｘ（ｐ＞０）的一条焦点弦， 证明：（１）如图２，不妨设Ｆ为右 ，Ｊ ～ Ｆ为焦点，则 ＋ ＝了２（定值）焦点，Ａ（ １，Ｙ１），Ｂ（ ２，Ｙ２），直线ＡＢ ． 方程为Ｙ＝ （ —ｃ），则直线ＣＤ方程 证明：（１）如图１，不妨设Ｆ为 ， １ ｎ 为Ｙ＝一÷（ —ｃ），将直线ＡＢ方程 右焦点，ｆＡＦｌ＝ｍ，『ＢＦＩ＝Ｈ，ｍ‘ ４ ｎ，过点Ａ，Ｆ，Ｂ分别作右准线的 代入椭圆化简得：（ｂ ＋。 ） 一 垂线ｆ，垂足分别是Ａ，，Ｆ ，曰 ，作 Ｉ岁 Ｆ１ ２ａ２ ｃ ＋０２图 ２ ・， ｋ ｃ 一０，２ ｂ ＝０．．． ．＋ ｌ ＡＲ上ＢＢ ，垂足为 ，交ＦＦ、于点 ２ ２ ｋ ｃ ０，２ ｋ ｃ 一ａ２ ｂ Ｘ２ ｚ — 厂‘ 日，由椭圆第二定义知：ＩＡＡ Ｊ＝ 图 １ ｍ由椭圆焦半径公式知ＩＡＦ Ｊ＝Ⅱ一ｅ ，ＩＢＦＩ＝。一ｅ 。， 一，Ｉ ＢＢ，Ｉ－ ，则Ｉ ＦＨ Ｉ＿ ‘．．ｅ ｅ １ＡＢｌ＝ｌＡＦｌ＋Ｉ ＢＦ１＝（。一ｅ １）＋（。一ｅｘ２）＝２ａ—ｅ ＦＦｌ Ｉ—ｌＨＦ１ Ｉ＝ｌ ＦＦ１ Ｉ—ｌＡＡ 卜ｚｎ一÷筹 （ 一 ） ＩＢＲＩ＝ＩＢＢ１ Ｉ—ＩＡＡ１ ｌ： 一旦二 ：２。 ． ＋６ 一 Ⅱ。 ＋６ ＡＡＢＲ中， ＝ ， ．—一ｌＡＢＩ一２ａ（ｋ ＋１）ｂ ‘－ｌ一 ： ：± ２ ｎｍ ・！一．！：— 令一÷删面１＝ １ ．．． １ １ １ ｒ口 ｋ ＋ｂ。 （Ｚ２＋ ｂ。１ ＋６ 。．・‘丽 面 ｌ ｉ Ｊ ‘ 将ｅ＝三代入化简得 １２ａａ：百ｍ ｂ．一 当直线ＡＢ的斜率 不存在时，将 ＝ｃ代入椭圆得 ｍ＞ｎ时，同理可证． ｙＩ： ， ＢＩ：２ｌｙＩ： ，ＩＣＤＩ：２ｎ， ｍ＝ｎ时，将 ＝ｃ代人椭圆得：ｍ＝ｎ＝ＩｙＩ＝ ， 则 ＋ ＝ ＋去： ． 】 １ 血 ｎ ２ｎ ‘一・・当直线ＡＢ的斜率ｋ＝０时，同理可证． ｍ ｎ 百ｂ 百ｂ 百ｂ’ 眦，面１＋ ＝ 总之， ＋ｉ１＝ ２（ｚ即 ＋丽１ ＝ （定值） ，（２）方法同上，证明略． （２）方法同上，证明略． （３）方法同卜．证明略． （３）方法同上，证明略． 数学学习与研究２０１５ １