双曲线
题型一双曲线的定义和几何性质
1．设双曲线的左、右焦点分别为. 若点P在双曲线上，且为锐角三
角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是
A． B． C． D．
2．已知双曲线曲线的离心率为（ ）
的一条渐近线截椭圆所得弦长为，则此双
A． B． C． D．
3．已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点的
横坐标为1，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式：
4．已知点且满足
为双曲线的左右焦点，点P在双曲线C的右支上，
，则双曲线的离心率为（ ）
试卷第1页，总4页
A． B． C． D．
5．已知双曲线（ ）
的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为
A． B． C． D．
6．已知双曲线则双曲线方程为（ ）
的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为，
A． B． C． D．
7．在下列双曲线方程中，表示焦点在y轴上且渐近线方程为的是
A． B． C． D．
题型二双曲线的离心率问题
8．已知点为双曲线点是
右支上一点，点分别为双曲线的左右焦点，
成立，则双曲线的离
的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有
心率取值范围是（ ）
试卷第2页，总4页
A． B． C． D．
9．设、是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使
则的值为（ ）
（为坐标原点）且
A． B． 2 C． D． 3
10．已知双曲线曲线的焦距等于（ ）
的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则此双
A． B． C． D．
11．设F1，F2是双曲线存在一点P，使(（ ）
)·
(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上
＝0(O为坐标原点)，且|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为
A． B． ＋1 C． D． ＋1
变式：
12．已知、分别为双曲线为半径的圆交双曲线右支于、两点，且
的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
试卷第3页，总4页
13．若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
今日作业
14．若双曲线__________．
的渐近线与圆相切，则的渐近线方程为
15．设、分别是双曲线的面积为，且
的左、右焦点，点在双曲线上，若，
，则该双曲线的离心率为 _____________.
10．椭圆为
的离心率为，其右焦点到椭圆外一点的距离
，不过原点．．．．的直线与椭圆相交于，两点，且线段
的长度为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求面积的最大值.
试卷第4页，总4页
试卷第5页，总1页
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参考答案
1．A
【解析】
【分析】
由题意画出图形，不妨设P在第一象限，P点在P1与P2之间运动，求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值，可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围．
【详解】
△F1PF2为锐角三角形，不妨设P在第一象限，P点在P1与P2之间运动，如图，
当P在P1处，∠F1P1F2为=90°，
∴S=|F1F2|•|y|=|P1F1|•|P1F2|，
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由|P1F1|2+|P1F2|2=|F1F2|2，|P1F1|﹣|P1F2|=2，
可得|P1F1|•|P1F2|=6，
此时|P1F1|+|P1F2|=2，
当P在P2处，∠P2F1F2为=90°，x=2，
易知y=3，
此时|P2F1|+|P2F2|=2|P2F2|+2=8，
∴△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是（2，8），
故选：A．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查等价转化思想方法，属于中档题．
2．B
【解析】
【分析】
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求出双曲线的渐近线方程．与椭圆的方程联立，利用弦长转化求解即可．
【详解】
双曲线的一条渐近线不妨设为： ，则： ，可得：
一条渐近线截椭圆所得弦长为，
可得：，可得 ，
解得 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．属中档题.
3．B
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【解析】
【分析】
设,则有，利用点差法可得得结果.
【详解】
因为直线与双曲线交于，两点，
且线段的中点的横坐标为，所以，，
设,
则有，
，两式相减可化为，
答案第4页，总17页
，从而可
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可得，
，
双曲线的离心率为，故选B.
【点睛】
本题主要考查待定系数法求双曲线的方程与离心率及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.
4．A
【解析】
【分析】
由特殊角等腰三角形的三边关系以及双曲线的定义可表示出a、c的关系，对关系式化简，通过离心率公式，对关系式变型，解方程求出离心率.
【详解】
答案第5页，总17页
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由题意知：求出
，
，因为等腰三角形的顶角为，所以根据三角形的性质可
由双曲线定义可得：，
由离心率公式可得：.
故选A.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率，求离心率有两种方式，一种是由题目中条件求出参数值，根据离心率公式得离心率，另一种是根据条件求得a、c的齐次式，等号两侧同时除以a或等，构造离心率.
5．D
【解析】
【分析】
利用双曲线方程求出实轴与虚轴长，列出方程求解即可．
【详解】
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双曲线﹣=1（m＞0）的虚轴长是实轴长的2倍，
可得=，解得m=2，
则双曲线的标准方程是：﹣=1．
故选：D．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．
6．C
【解析】
【分析】
直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出、，即可得到双曲线方程.
【详解】
双曲线的一条渐近线方程是
答案第7页，总17页
，
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可得，
它的一个焦点坐标为，可得，即，
解得，
所求双曲线方程为：.
故选：C.
【点睛】
本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.
7．C
【解析】 由题意，该双曲线的焦点在轴上，排除A、B项；
又方程的渐近线方程为，
而方程的渐近线方程为，故选C.
8．D
答案第8页，总17页
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【解析】分析：设的内切圆半径为，由，用的边长和表
示出等式中的三角形面积，结合双曲线的定义得到与的不等式，可求出离心率取值范围.
详解：
设
的内切圆半径为，
由双曲线的定义得，
，
，
由题意得，
故，
故，又，
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所以，双曲线的离心率取值范围是，故选D.
点睛：本题主要考查利用双曲线的定义、简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.
9．B
【解析】
【分析】
由已知中可得
，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
是以直角的直角三角形，进而根据是双曲线右支上的点，及双曲线的性质结合
的值，进而求出的值.
勾股定理构造方程可得
【详解】
由双曲线方程，可得，，
又，，
，，
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故是以直角的直角三角形，
又是双曲线右支上的点，
，
由勾股定理可得，
解得，故，故选B.
【点睛】
本题主要平面向量的几何运算，考查双曲线的标准方程，双曲线的定义与简单性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
10．D
【解析】分析：运用离心率公式和渐近线方程，结合点到直线的距离公式可得的值，再由
的关系即可求得的值，然后求得焦距
详解：双曲线的离心率为
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双曲线的渐近线方程为
不妨设，即，则
焦点到渐近线的距离为，
，解得
则焦距为
故选
点睛：本题考查了双曲线的几何性质，根据题意运用点到线的距离公式进行求解，本题较为基础。
11．D
【解析】分析：利用向量的加减法可得，由条件可得
，由
求出离心率.
，故有，可得
详解： ， ，
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，，，
在中，，|PF1|＝|PF2|，，
由双曲线的定义得，，
，
，
.
故选：D.
点睛：本题考查双曲线的定义和双曲线的简单性质的应用，其中，判断角形是解题的关键.
是直角三
12．A
【解析】分析：利用双曲线的对称性以及圆的对称性，求出A的坐标，代入双曲线方程，然后求解双曲线的离心率即可.
答案第13页，总17页
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详解： 、分别为双曲线半径的圆交双曲线右支于、两点，且
的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为为等边三角形，
则，代入双曲线方程可得：，
即：，可得，
即，可得，
.
故选：A.
点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力.
13．D
【解析】分析：先根据双曲线标准方程得解得的取值范围.
，再根据离心率大于，得，
详解：因为，所以,
答案第14页，总17页
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因为离心率大于，所以,
选D.
点睛：本题考查双曲线离心率，考查基本求解能力.
14．
【解析】
【分析】
先求出渐近线的方程，利用圆心到渐近线的距离为半径计算即可.
【详解】
渐近线方程为：.
因为渐近线与圆相切，故，所以，
故渐近线方程为.填.
【点睛】
答案第15页，总17页
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一般地，求双曲线渐近线
的渐近线的方程，可以把等号右边的常数变为即可，同理共
.
的双曲线的标准方程可假设为
15．
【解析】分析：设，由的面积为9算出，结合勾股定理得到
，再用双曲线定义可得
得该双曲线的离心率的值.
，进而得到，利用平方关系得到，最后可
详解：设，
，的面积为，
，即，
在中，根据勾股定理得，
，
结合双曲线的定义，得，
，化简整理得，即，
答案第16页，总17页
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可得，
结合得，
，
该双曲线的离心率为.
故答案为：.
点睛：本题给出双曲线满足的条件，求它的离心率，着重考查了向量数量积性质、双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，解题时请注意整体代换与配方思想的运用.
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