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反比例函数典型例题以及知识点归纳

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反比例函数典型例题以及知识点归纳

(一)反比例函数的概念 1.

)可以写成

)的形式,注意自变量x的指数为

这一限制条件;

在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数

2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解 析式中的k,从而得到反比例函数的解析式;

3.反比例函数的自变量(二)反比例函数的图象

,故函数图象与x轴、y轴无交点.

在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点(关于原点对称).

(三)反比例函数及其图象的性质 1.函数解析式:

2.自变量的取值范围: 3.图象:

(1)图象的形状:双曲线.

越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直.

越小,图象的弯曲度越大.

(2)图象的位置和性质:

与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线. 当时,图象的两支分别位于一、三象限; 在每个象限内,y随x的增大而减小;

当时,图象的两支分别位于二、四象限; 在每个象限内,y随x的增大而增大.

(3)对称性:图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上, 则(

)在双曲线的另一支上.

对称,即若(a,b)在双曲线的一支上, ,

)在双曲线的另一支上.

图象关于直线 则(,)和(4.k的几何意义

如图1,设点P(a,b)是双曲线

上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于B点,则矩形PBOA

1

的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面积都是 如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对作QC⊥PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为

).

称点Q也在双曲线上,

图1 图2 (四)充分利用数形结合的思想解决问题. 例题分析

1.反比例函数的概念

(1)下列函数中,y是x的反比例函数的是( ).

A.y=3x B. C.3xy=1 D.(2)下列函数中,y是x的反比例函数的是( ). A.

B.

C.

D.

2.图象和性质

(1)已知函数是反比例函数,

①若它的图象在第二、四象限内,那么k=_________ ②若y随x的增大而减小,那么k=___________.

(2)已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则函数 象位于第________象限.

的图

(3)若反比例函数经过第_____象限.

经过点(,2),则一次函数的图象一定不

(4)已知a·b<0,点P(a,b)在反比例函数的图象上,则直线

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

不经过的象限是( ).

2

(5)若P(2,2)和Q(m,)是反比例函数图象上的两点, 则一次函数y=kx+m的图象经过( ).

A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 (6)已知函数

(k≠0),它们在同一坐标系内的图象大致是( ).

A. B. C. D.

3.函数的增减性

(1)在反比例函数的图象上有两点,,且值为( ).

A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 (2)在函数、 A. C.

(a为常数)的图象上有三个点

,则

,则函数值、

的大小关系是( ). <<

<<

B. D.

<<

<<

(3)下列四个函数中:①;②;③;④.

y随x的增大而减小的函数有( ).

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

(4)已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点,则当x>0时,这个反比例函数的函数值y随x的增大而______ (填“增大”或“减小”).

4.解析式的确定

(1)若与成反比例,与成正比例,则y是z的( ).

A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.不能确定 (2)若正比例函数y=2x与反比例函数它们的另一个交点为________.

的图象有一个交点为 (2,m),则m=_____,k=________,

3

(3)已知反比例函数值.

的图象经过点,反比例函数的图象在第二、四象限,求的

(4)已知一次函数y=x+m与反比例函数( ①求x0的值;②求一次函数和反比例函数的解析式.

)的图象在第一象限内的交点为P (x0,3).

5.面积计算

(1)如图,在函数

的图象上有三个点A、B、C,过这三个点分别向x轴、y轴作垂线,过每一点

,则( ).

所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为 A.

B.

C.

D.

第(1)题图 第(2)题图

(2)如图,A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点,AC//y轴,BC//x轴,△ABC的面积S,则( ).

A.S=1 B.1<S<2 C.S=2 D.S>2 (3)如图,Rt△AOB的顶点A在双曲线

上,且S△AOB=3,求m的值.

4

第(3)题图 第(4)题图 (4)已知函数的图象和两条直线y=x,y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点,过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1,P1R1,垂足分别为Q1,R1,过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2,P2 R 2,垂足分别为Q 2,R 2,求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长,并比较它们的大小.

(5)如图,正比例函数y=kx(k>0)和反比例函数的图象相交于A、C两点,过A作x轴垂线交x轴于B,连接BC,若△ABC面积为S,则S=_________.

(6)如图在Rt△ABO中,顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点,AB⊥x轴于

B且S△ABO=.

①求这两个函数的解析式;

②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积.

(7)如图,已知正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点,点A、C分别在x轴、y轴上,点B在函数

(k>0,x>0)的图象上,点P (m,

n)是函数(k>0,x>0)的图象上任意一点,过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为E、F,设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S. ① 求B点坐标和k的值; ② 当时,求点P的坐标; ③ 写出S关于m的函数关系式.

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6.综合应用

(1)若函数y=k1x(k1≠0)和函数(k2 ≠0)在同一坐标系内的图象没有公共点,则k1和k2( ).

A.互为倒数 B.符号相同 C.绝对值相等 D.符号相反

(2)如图,一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点:A( ① 求反比例函数和一次函数的解析式;

② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.

(3)如图所示,已知一次函数

,1),B(1,n).

(k≠0)的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函

数(m≠0)的图象在第一象限交于C点,CD垂直于x轴,垂足为D,若OA=OB=OD=1.

① 求点A、B、D的坐标;

② 求一次函数和反比例函数的解析式.

(4)如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点,坐标轴交于A、B两点,连结OC,OD(O是坐标原点).

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① 利用图中条件,求反比例函数的解析式和m的值;

② 双曲线上是否存在一点P,使得△POC和△POD的面积相等?若存在,给出证明并求出点P的坐标;若不存在,说明理由.

(5)不解方程,判断下列方程解的个数. ①

; ②

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