定积分计算公式和性质

第二节 定积分计算公式和性质之勘阻及广创作

创作时间：二零二一年六月三十日 一、变上限函数 设函数于是,

在区间在区间

上连续, 而且设x为上的定积分为

上的任一点,

这里x既是积分上限, 又是积分变量, 由于定积分与积分变量无关, 故可将此改为

如果上限x在区间上任意变动, 则对

每一个取定的x值, 定积分有一个确定值与之对应, 所以定积分在数记为

图 5-10

上界说了一个以x为自变量的函数在区间

上变上限函数

, 我们把称为函

从几何上看, 也很显然.因为X是段

上一个动点, 从而以线

为底的曲边梯形的面积, 肯定随着底数端点的变动而变动,

所以阴影部份的面积是端点x的函数（见图5-10）

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定积分计算公式

利用界说计算定积分的值是十分麻烦的, 有时甚至无法计算.因此, 必需寻求计算定积分的简便方法.

我们知道：如果物体以速度区间

图 5-11

作直线运动, 那么在时间

上所经过的路程s为

另一方面, 如果物体经过的路程s是时间t的函数从t=a到t=b所经过的路程应该是（见图5-11）

即

由导数的物理意义可知：此, 为了求出定积分再求

在区间

即

是

一个原函数, 因的原函数

,

, 那么物体

, 应先求出被积函数

即可.

上的增量

如果抛开上面物理意义, 即可得出计算定积分方法：

设函数即

在闭区间, 则

这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式. 为了使用方便, 将公式写成

上连续,

是

的一般

的一个原函数,

牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式.它暗示一个

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函数定积分即是这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差.它揭示了定积分和不定积分的内在联系, 提供了计算定积分有效而简便的方法, 从而使定积分获得了广泛的应用. 例1 计算因为

是的一个原函数所以

例 2 求曲线 和直线x=0、x=

及y=0所围成图形面积A(5-12)

解 这个图形的面积为

图 5-12

二、定积分的性质 设

、

在相应区间上连续, 利用前面学过的知识, 可以

获得定积分以下几个简单性质：

性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面, 即

(A为常数)

性质2 函数的代数和的定积分即是它们的定积分的代数和, 即

这个性质对有限个函数代数和也成立.

性质3 积分的上、下限对调则定积分变号, 即

以上性质用定积分的界说及牛顿-莱布尼兹公式均可证明, 此

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处证明从略.

性质4 如果将区间

分成两个子区间

及那么有

这个于区间分成有限个的情形也成立.

下面用定积分的几何意义, 对性质4加以说明. 当a图 5-13a 图 5-13b

与和x=a x=b及x

因为

所以

即性质4成立.

当a=

外, 由图5-13b可知,

内还是外, 性质4总是成立的.

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例 5 求解 所以 例 6 求解 于是, 例 7 设 解 因为 所以=

求

==

例8 火车以v=72km/h的速度在平直的轨道上行驶, 到某处需要减速停车.设火车以加速度a=-5m/刹车.问从开始刹车到停车, 火车走了几多距离？

解 首先要算出从开始刹车到停车经过时间.当 时火车速度

刹车后火车减速行驶.其速度为

当火车停住时, 速度

解得

, 故从

于是在这段时间内, 火车走过的距离为

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=

即在刹车后, 火车需走过40m才华停住.

习题 5-2

1 求下列定积分： （1）(3)(5)(7) (8)(10)(11)设2.求由

(2) (4) （6）

(9)

与直线x=1,x=2及x轴所成的图形的面积.

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