函数在无穷区间上一致连续性的判定

２００１年第ｌ期　宿州教育学院学报　函数在无穷区问上一致连续性的判定　杜家祥　［内窖摄薹］本文论述了函数在无穷区间上一致连续性的判定问题，介绍了几种函教在无穷区间上不一致连续的判　定击。　［关■词］函数无穷匡问　一致连续判定　函数在无穷区间上是否一致连续，常用如下的一些条件来爿定：　１、若　２、若　）在区间Ｉ（有限或无限，下同）上满足李普希兹条件或者导数有界．则　０）在Ｉ上一致连续；　（ｘ）和　）是（一∞，＋。。）上连续的周期函数，或者，　）在（一∞．＋∞）…ｊ２１￣一Ｈ　ｌｉｍＪ＇…均存在ｊＩｌｌｆ（ｚ）在（一∞．＋∞）上一致连续　３、若ｆ（ｕ）在区间［，上一致连续，　）在（一。。，＋∞）上一致连续，且｛　）ｌ　∈（一∞．＋　）｝ｃＵ．则复合函　数，（　））在（一∞，十。。　上一致连续　以上三种爿断法对于，，　．ｓｉｎｘ　．ｘ￥ｉ￣ＩＩ等函数在（一∞，＋∞）上一致连续性的爿定是失散的。　下面给出一些函数在（一。。，＋∞）上是否一致连续的判别法。　定理１　函数，扛）在区间Ｉ上一致连续的充要条件是对Ｖ　Ｅ＞０．ｊ　Ａ＞０．使对Ｖ　ｄＥ　．　∈Ｉ．恒有　Ｉｆ（ｘ　）一ｆ（ｘ　）ｌ≤一Ｉ　一　＋∈　证　充分性显然，现证必要性。　对Ｖ　Ｅ＞０．由，　）一致连续，　ｄ＞０，当ｄＥ　，ｄＥ　∈Ｉ．且ＩｄＥ　一ｄＥ　Ｉ＜ｄ时，恒有ｌｆ（ｚ　）一　（　）｝＜占　取．４　等．ｖ　．　∈Ｉ，不妨设　＜　”，则存在正整数Ｎ，使（Ⅳ一１）　≤　一　＜Ｎ占。把［一，　］＿ｖ等分：一一　＜　＜　：＜…＜ｄＥ．一ｄＥ”，则每个小区间长度小于占，于是；　扛　）一Ｊ（ｘ　）Ｉ≤∑Ｉｆ（ｘ　）一Ｊ（ｘ　）｛＜ⅣＥ．而＾Ｉ　一　｛　≥箐（Ⅳ一１）ｄ＋Ｅ一（２Ｎ一１）Ｅ。　故Ｉ　（　）一，（　）ｌ≤＾ｌ　一　｝＋Ｅ。　＋　推论１设　０）在区间Ｉ上一致连续．剜存在　＞０，Ｂ＞０．使得对Ｖ　，工　∈Ｉ．恒有Ｉｆ（ｘ　）一／（　）ｌ≤Ａ｝ｆ　ｌ—　。　推论２　设，（工）在（一∞，＋。。）上一致连续．则存在　＞０，Ｂ＞０，使得对Ｖ　∈（一。。．＋∞），恒有Ｉ，（工）｝≤　＾ｌ　ｌ＋　。　推论３设，　）在（一∞．十∞）上定义，若存在　＞０．又存在两个均由不同的敦组成的敦列｛　）．｛　”），使得１　”　】＝　（　一１，２，…）　且　Ｉｆ（ｘ　”）一　（　）】＝＋∞，则／　）在（一∞，＋∞）上不一致连续。　定理２　设　扛）在（一∞．＋∞）上可微．若　。。．＿＿ｍ）上不一致连续。　∞　扛）＝∞（或　ｍ一ｌｉｆ　（　）一　）．则／“）在（一　用推论１反证，令　＝　，　＝“＋１，利用拉格朗日中值定理即可。　由定理２即可判定一．　等函数在（一∞．＋ｏｏ）上不一致连续。　定理３若　军∞　由推论２即得　定理４　设函数／（　），　一∞（或　竺。。　∞１，卿　）在（一∞，十∞）上不一致连续　）在（一。。．＋。　）上定义，且满足｝　（１）　“）是周期函数，且存在　，有，（　）一０；　（２）　军ｏ。ｇ（ｒ）一（或　一ｌｉｍ—　ｇ“）＝∞），则　ｈ）＝ｇ（　）·，（　）在（一∞，＋∞）上不一致连续。　只要取一．一　＋　ｆ．ｒ　．一　，＋ｎｌ（这儿　是　的周期，　（　）≠Ｏ）．对Ｆ应用推论３即可。　９１　维普资讯 http://www.cqvip.com

２００１年第１期　宿州教育学院学报　由定理４可判定　ｓｉｎ．ｒ（ａ＞０）等函数在（一∞，＋∞）上不一致连续。　弓Ｉ理　，　）在区间Ｉ上一致连续的克要条件是对于　（　．一　．）一０的区间Ｉ上的任两数列｛　．｝和｛　．｝．　总有　：　’　Ｅｆ（ｚ。）一ｆ（ｚ　．）］一０。　证明从略。　定理５设，０）是连续的周期函数，　）是可徽函数，且　。。）］　０）　＋∞（一。。）　或　。。　）　＋∞【一∞），劓复台函数，（　））在（一∞，＋∞）上不一致连续。　证明　不妨设　。。　）＝＋ｏｏ，劓有Ａ＞０，　（丁）在［　，＋∞］上是严格递增趋于十。。的。设　）一日，，　是，（　）的一个正周期．由，　）是非常量函数，则存在。、　＞Ｂ（ａ＜　），使Ｉ口一　Ｉ＜　且　（口）＝／－，（卢）。夸　．＝口＋　ｎｌ　“　。：：卢＋ｎｌ，由于　）在　，＋∞］上严格增加地趋于＋∞、故对每一个“　一和　。分别存在唯一的　。和　．．使　“　ｎ一　一　），　．一　．）。由拉格朗日中值定理有Ｉ　）一　（　“．）｝罩Ｉ　（　】ＩＩ　一　．Ｉ．　＜　。＜　＜Ｚ－　．。　又　Ｉ　）一　“　）　＝Ｉ“　一　。ｉ＝Ｉ口一卢Ｉ，故　Ｉｌｒｆ　一　。Ｉ一—　丢　可见　　Ｉ一　。Ｉ＝０　叉由｛，（　一ｎ））一　（　））Ｉ一１　“　ｎ）一ｆ（ｕ　．）Ｉ　Ｉｆ（ａ＋ｎ１）一ｆ（Ｂ＋Ｈ？）【＿Ｉ，（口）一ｆ（卢）Ｉ，得　ｔｉｎ　Ｅｆ＠（ｚ　））一　（　））］≠ｏ，从而由引理即知　（　））　在［　，＋∞］上不一致连续，故在（一∞．＋∞）更不一致连续　由定理５即知函数　Ｉ　．当口＞１时在（Ｏ，＋。。）上不一致连续　＇考文越：　《敷擘分析》（刘玉琏）高等教育出版社　１　９８８年第一版　（作者系宿州教育擘院讲师】　（上接８８页）　的专业技能。同时，要以从实际出发．为选择成才目标的出　在这一知识点的教学中，应该使同学们明确．不同时代　发点｝以符台社会需要和人民利益，为正确选择成才目标的　的有志青年，担负着不同的历史使命　祖国现代化建设和改　前提和标准，从而确定成才目标，才能面对现代化建设、面　革大业的发展，赋予当代中国青年最重要的社会责任和崇　对世界、面对未来的挑战，抓住机遇．在未来的学习和工作　高的使命．就是继续百年来中华民族的奋斗历程，经过我们　中　担当起改革和发展的重任，做一个社会主义事业的可靠　这一代人艰苦创业，使祖国基本实现现代化．使民族振兴。　接班人　胜任时代赋予我们最重要的责任和最崇高的使命。　作为继往开来的新一代　要树立崇高远大的理想．不但要发　（作者单位ｒ安徽萧县庄里　教办室）　扬艰苦创业的精神　还要有能够适应社会主义现代化需要　９２