等差数列练习题(有答案) 百度文库

一、等差数列选择题

1．已知等差数列an满足a48，a6a711，则a2（ ） A．10

B．9

C．8

D．7

2．已知等差数列an的前n项和为Sn，若S2=8，a3a82a52，则a1等于（ ） A．1

B．2

C．3

S2D．4

10，则a3a4（ ）

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d1，且S6A．2

B．3

C．4

D．5

24．设数列an的前n项和Snn1. 则a8的值为（ ）．

A．65 B．16 C．15

D．14

5．已知Sn为等差数列an的前n项和，a3S518，a6a33，则an（ ） A．n1

B．n

C．2n1

D．2n

6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则下列判断错误的是（ ） A．S5，S10-S5，S15-S10必成等差数列 C．S5，S10，S15+S10有可能是等差数列

B．S2，S4-S2，S6-S4必成等差数列 D．S2，S4+S2，S6+S4必成等差数列

27．已知数列an的前n项和Snn2n1，则a1a3a5a25（ ）

D．675

A．350 B．351 C．674

8．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（ ） A．32

B．33

C．34

D．35

9．数列an是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大A．8

21，则该数列的项数是（ ） 2B．4

C．12

D．16

10．已知数列an，bn都是等差数列，记Sn，Tn分别为an，bn的前n项和，且

Sn7n1a5，则=（ ） Tn3nb5A．

34 15B．

23 10C．

31 7D．

62 2711．已知an为等差数列，Sn是其前n项和，且S100，下列式子正确的是（ ） A．a4a50

B．a5a60

C．a6a70

D．a8a90

12．已知数列an的前n项和为Sn，a11，n2且nN*，满足an2SnSn10，2数列1的前n项和为Tn，则下列说法中错误的是（ ） Sn1 47 12B．

A．a2211 S6S4S8n1nTnTn1 nn1Sn2na613．设等差数列an、bn的前n项和分别是Sn、Tn.若，则的值为

b3Tn3n7C．数列SnSn1Sn2的最大项为

D．2Tn（ ） A．

5 113B．

8C．1 D．2

14．设等差数列an的前n项和为Sn，且2a7a114，则S5（ ） A．15

B．20

C．25

D．30

15．已知an是公差为2的等差数列，前5项和S525，若a2m15，则m（ ） A．4

B．6

C．7

D．8

16．等差数列an的前n项和为Sn，且a1a32，a4a22，则S5（ ） A．21

B．15

C．10

D．6

17．设等差数列an的前n项和为Sn，若a7a1a8，则必定有（ ） A．S70，且S80 C．S70，且S80

B．S70，且S80 D．S70，且S80

18．已知等差数列an中，a7a916，a41，则a12的值是（ ） A．15

B．30

C．3

D．64

19．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an},则该数列共有（ ） A．132项

B．133项

C．134项

D．135项

20．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a10且为（ ） A．21

B．20

a1119，则当Sn取最小值时，n的值a1021D．19或20

C．19

二、多选题

21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列an称为“斐波那契数列”，记Sn为数列an的前n项和，则下列结论正确的是

（ ） A．a68

C．a1a3a5a2019a2020

B．S733

22a12a2a2019a2020 D．

a201922．已知Sn是等差数列an(n∈N*)的前n项和，且S5>S6>S4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）

A．数列an的公差d<0 C．S10>0

B．数列an中Sn的最大项为S10 D．S11>0

23．已知等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，且a35，a73，则（ ） A．d1 2B．d1 2C．S918

0,2a5a11D．S936

0,则（ ）

24．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1A．a80 C．S4S9

B．当且仅当n= 7时，Sn取得最大值 D．满足Sn0的n的最大值为12

25．已知等差数列an的公差不为0，其前n项和为Sn，且2a1、S8、S9成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A．2a53a9S8

B．S2S7

C．S5最小

D．a50

26．记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S40,a55，则（ ） A．an2n5

B．an3n10

2C．Sn2n8n 2D．Snn4n

27．设an是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S6,S6S7S8，则下列结论正确的是（ ） A．d0 C．S9S5

B．a70

D．S6与S7均为Sn的最大值

28．已知无穷等差数列an的前n项和为Sn，S6S7，且S7S8，则（ ） A．在数列an中，a1最大 C．S3S10

B．在数列an中，a3或a4最大 D．当n8时，an0

29．下列命题正确的是（ ）

A．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式 B．若等差数列an的公差d0，则an是递增数列 C．若a，b，c成等差数列，则,,可能成等差数列 D．若数列an是等差数列，则数列an2an1也是等差数列

30．设等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，且满足a10，S11S18，则对Sn描

111abc述正确的有（ ） A．S14是唯一最小值 C．S290

B．S15是最小值 D．S15是最大值

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一、等差数列选择题 1．A 【分析】

利用等差数列的性质结合已知解得d，进一步求得a2． 【详解】

在等差数列an中，设公差为d，由

a48a48d1，a2a42d10. a6a711a42da43d11故选：A 2．C 【分析】

利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出a1． 【详解】

设等差数列an的公差为d，

则a3a8a5a62a52，解得da6a52，

S2a1a22a1d2a128，解得a13

故选：C 3．B 【分析】

根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】

因为Sn为等差数列{an}的前n项和，公差d1，S6S210，

所以a6a5a4a3a42da32da4a32a4a3410， 解得a3a43. 故选：B. 4．C 【分析】

利用anSnSn1n2得出数列an的通项公差，然后求解a8. 【详解】

2由Snn1得，a12，Sn1n11，

2所以anSnSn1n2n12n1， 所以an故选：C. 【点睛】

本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用anSnSn1n2求解即可. 5．B 【分析】

根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列an的通项公式可求. 【详解】

22,n1，故a828115.

2n1,n26a112d18aS18aa3因为3，6，所以， 53a5da2d311所以a11，所以an1n11n， d1故选：B. 6．D 【分析】

根据等差数列的性质，可判定A、B正确；当首项与公差均为0时，可判定C正确；当首项为1与公差1时，可判定D错误. 【详解】

由题意，数列an为等差数列，Sn为前n项和，

根据等差数列的性质，可得而S5,S10S5,S15S10，和S2,S4S2,S6S4构成等差数列，所以，所以A，B正确；

当首项与公差均为0时，S5,S10,S15S10是等差数列，所以C正确；

当首项为1与公差1时，此时S22,S4S231,S6S1086，此时S2,S4S2,S6S4不构成等差数列，所以D错误. 故选：D. 7．A 【分析】

S1,n1a先利用公式n求出数列an的通项公式，再利用通项公式求出

SnSn1,n2a1a3a5【详解】

a25的值.

2当n1时，a1S112112；

当n2时，anSnSn1n2n1n12n112n1.

22a12不适合上式，

2,n1an.

2n1,n2因此，a1a3a5故选：A. 【点睛】

易错点睛：利用前n项和Sn求通项an，一般利用公式ana25212a3a25127512350；

22S1,n1，但需要验证

SnSn1,n2a1是否满足ann2.

8．D 【分析】

设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m,由他们年龄依次相差一岁得出

n(n1)(n2)(n28)m1520，结合等差数列的求和公式得出

m111429n，再由m90,100求出n的值.

【详解】

根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，m90,100，则有n(n1)(n2)(n28)m29n406m1520

则有29nm1114，则m111429n，所以90111429m100 解得34.966n35.31，因为年龄为整数，所以n35. 故选：D 9．A 【分析】

设项数为2n，由题意可得2n1d【详解】

设等差数列an的项数为2n， 末项比首项大

21，及S偶S奇6nd可求解． 221， 221①; 2a2na12n1dS奇24，S偶30，

S偶S奇30246nd②．

由①②，可得d即项数是8， 故选：A. 10．D 【分析】

利用等差数列的性质以及前n项和公式即可求解. 【详解】 由

3

，n4， 2

Sn7n1， Tn3n9a1a9a52a5a1a9S7916229. b52b5b1b99b1b9T939272故选：D 11．B 【分析】

由S100可计算出a1a100，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】

由等差数列的求和公式可得S1010a1a100，a1a100， 2由等差数列的基本性质可得a5a6a1a100. 故选：B. 12．D 【分析】

1a2SS0aSS当n2且nN时，由n可推导出数列为等差nn1nn1代入nSn*1数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，由a2S2S1可判断A

Sn选项的正误；利用Sn的表达式可判断BC选项的正误；求出Tn，可判断D选项的正误. 【详解】

当n2且nN*时，由anSnSn1， 由an2SnSn10可得SnSn12SnSn101120， Sn1Sn整理得

112（n2且nN）. SnSn1则1112n122nS22. 为以为首项，以为公差的等差数列，nS2nnSnA中，当n2时，a2S2S1B中，111，A选项正确； 4242111，B选项正确； 为等差数列，显然有SSS864Sn111， 2n2n12n2C中，记bnSnSn1Sn2bn1Sn1Sn2Sn3bn1bn111，

2n12n22n3111n60，故bn为递减数列， n22n2n32nn2n3bnmaxb1S1S2S3D中，

1117，C选项正确； 246121n22n2n，Tnnn1，Tn1n1n2. Sn2n1nn1nTnTn1nn1n1n2n1n1nn2nn1nn1n21n22n2n22n12Tn，D选项错误.

故选：D． 【点睛】

S1,n1Sa关键点点睛：利用n与n的关系求通项，一般利用an来求解，在变形

SS,n2n1n过程中要注意a1是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用anSnSn1将递推关系转化为有关Sn的递推数列来求解. 13．C 【分析】

a6令Sn2n，Tnn3n7，求出an，bn，进而求出a6，b3，则可得．

b32【详解】

2令Sn2n，Tnn3n7，

可得当n2时，anSnSn12n22n122n1，

2bnTnTn1n3n7n13n423n2，

当n1，a1S12,b1T13710，符合an22n1，

bn23n2

故a622，b322，

a61. 故b3【点睛】

由Sn求an时，anS1,n1，注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符

SnSn1,n2合要单独列出，一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式求解． 14．B 【分析】

设出数列an的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到a12d4，然后代入求和公式即可求解 【详解】

设等差数列an的公差为d，则由已知可得2a16da110da12d4， 所以S55a1故选：B 15．A 【分析】

由S525求出a1，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m的值 【详解】 解：由题意得5a154d5a12d5420 254225，解得a11， 2所以ana1(n1)d12(n1)2n1， 因为a2m15，所以22m115，解得m4， 故选：A 16．C 【分析】

根据已知条件得到关于首项a1和公差d的方程组，求解出a1,d的值，再根据等差数列前n项和的计算公式求解出S5的值. 【详解】

a1a32a102a12d2因为，所以，所以，

aa2d12d242所以S55a1故选：C. 17．A 【分析】

54d5010110， 2根据已知条件，结合等差数列前n项和公式，即可容易判断. 【详解】

依题意，有a1a70，a1a80 则S7a1a770

22S8a1a884a1a80

故选：A. 18．A 【分析】

设等差数列an的公差为d，根据等差数列的通项公式列方程组，求出a1和d的值，

a12a111d，即可求解.

【详解】

设等差数列an的公差为d，

7da16da18d16a17d84 解得：则，即，

17a3d1a3d111a14所以a12a111d所以a12的值是15， 故选：A 19．D 【分析】

由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】

被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为an，则

177601115， 444an815n115n7，令an15n72020，解得：n135所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】

2， 15关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列. 20．B 【分析】 由题得出a1【详解】

设等差数列{an}的公差为d， 由

39dd，则Snn220dn，利用二次函数的性质即可求解.

22a1119得21a1119a10，则21a110d19a19d， a1021解得a139d，2a10，d0，

nn1dSnna1+dn220dn，对称轴为n20，开口向上，

22当n20时，Sn最小.

故选：B. 【点睛】

方法点睛：求等差数列前n项和最值，由于等差数列

Snna1+nn1dddn2a1n是关于n的二次函数，当a1与d异号时，Sn在222对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当a1与d同号时，Sn在n1取最值.

二、多选题

21．ABCD 【分析】

由题意可得数列an满足递推关系a11,a21,anan2an1(n3)，对照四个选项可得正确答案. 【详解】

对A，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A正确； 对B，S71123581333，故B正确；

对C，由a1a2，a3a4a2，a5a6a4，……，a2019a2020a2018， 可得：a1a3a5a2019a2020.故a1a3a5a2019是斐波那契数列中的第2020项.

22对D，斐波那契数列总有an2an1an，则a1a2a1，a2a2a3a1a2a3a2a1，22a3a3a4a2a3a4a2a3，……，a2018a2018a2019a2017a2018a2019a2017a2018，2a2019a2019a2020a2019a2018

222a12a2a3a2019a2019a2020，故D正确；

故选：ABCD. 【点睛】

本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换. 22．AC 【分析】

由S5S6S4，可得a60,a50，且a6a50，然后逐个分析判断即可得答案 【详解】

解：因为S5S6S4，所以a60,a50，且a6a50，

所以数列的公差d0，且数列an中Sn的最大项为S5，所以A正确，B错误， 所以S1011(a1a11)10(a1a10)5(a5a6)0，S1111a60， 22所以C正确，D错误， 故选：AC 23．BD 【分析】

由等差数列下标和性质结合前n项和公式，求出S9，可判断C，D，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A，B． 【详解】

因为a1a9a3a7538， 所以S99a1a99836． 22a7a31． 732因为a35，a73，所以公差d故选：BD 24．ACD 【分析】

由题可得a16d，d0，Snd213dnn，求出a8d0可判断A；利用二次函22d213dnn0，解出即可判断D. 22数的性质可判断B；求出S4,S9可判断C；令Sn【详解】

设等差数列{an}的公差为d，则2a5a112a1+4d+a1+10d0，解得a16d，

a10，d0，且Snna1+nn1d13ddn2n， 222对于A，

a8a1+7d6d7dd0，故A正确；

d213d13nn的对称轴为n，开口向下，故n6或7时，Sn取得最大222值，故B错误；

对于B，Sn对于C，S4d13dd13d1648d26d18d，S981918d，故2222S4S9，故C正确；

对于D，令Sn故选：ACD. 【点睛】

方法点睛：由于等差数列Snna1+d213dnn0，解得0n13，故n的最大值为12，故D正确. 22nn1dddn2a1n是关于n的二次函数，222当a1与d异号时，Sn在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当a1与d同号时，Sn在n1取最值. 25．BD 【分析】

设等差数列an的公差为d，根据条件2a1、S8、S9成等差数列可求得a1与d的等量关系，可得出an、Sn的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】

设等差数列an的公差为d，则S88a187d8a128d，2S99a198d9a136d， 2因为2a1、S8、S9成等差数列，则2S82a1S9，即16a156d2a19a136d，

n29ndnn1d. 解得a14d，ana1n1dn5d，Snan122对于A选项，2a53a934d12d，S对于B选项，S88289d224d，A选项错误； 7d，B选项正确；

22292d27d，S7797d22d2d981对于C选项，Snn9nn.

2224若d0，则S4或S5最小；若d0，则S4或S5最大.C选项错误； 对于D选项，a50，D选项正确.

故选：BD. 【点睛】

在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n项和Sn的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解. 26．AD 【分析】

设等差数列{an}的公差为d，根据已知得a14d5，进而得a13,d2，故

4a6d01an2n5，Snn24n.

【详解】

解：设等差数列{an}的公差为d，因为S40,a55

a14d5n所以根据等差数列前项和公式和通项公式得：，

4a6d01解方程组得：a13,d2，

2所以an3n122n5，Snn4n.

故选：AD. 27．ABD 【分析】

由SnSn1ann2，判断a60,a70,a80，再依次判断选项. 【详解】

因为S5S6S6S50a60，S6S7S7S6a70，

S7S8S8S7a80，所以数列an是递减数列，故d0，AB正确；

S9S5a6a7a8a92a7a80，所以S9S5，故C不正确；

由以上可知数列an是单调递减数列，因为a60,a70,a80可知，S6与S7均为Sn的最大值，故D正确. 故选：ABD 【点睛】

本题考查等差数列的前n项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型. 28．AD 【分析】

由已知得到a70,a80,进而得到d0,从而对ABD作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为a16d0，可知不一定成立，从而判定C错误. 【详解】

由已知得：a70,a80,

结合等差数列的性质可知，d0,该等差数列是单调递减的数列， ∴A正确，B错误，D正确，

S3S10,等价于S10S30,即a4a5a100,等价于a4a100，即a16d0,

这在已知条件中是没有的，故C错误. 故选:AD. 【点睛】

本题考查等差数列的性质和前n项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系. 29．BCD 【分析】

根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】

A选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式； B选项：由等差数列性质知d0，an必是递增数列； C选项：abc1时，

1111是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； abcD选项：数列an是等差数列公差为d，所以

an2an1a1(n1)d2a12nd3a1(3n1)d也是等差数列；

故选：BCD 【点睛】

本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题. 30．CD 【分析】

根据等差数列中S11S18可得数列的公差d0，再根据二次函数的性质可知S15是最大值，同时可得a150，进而得到S290，即可得答案； 【详解】

S11S18，d0，

22设SnAnBn，则点(n,Sn)在抛物线yAxBx上，

抛物线的开口向下，对称轴为x14.5，

S15S14且为Sn的最大值，

S11S18a12a13S29a1807a150，

29(a1a29)29a150， 2故选：CD. 【点睛】

本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n项和的性质，考查函数与方程思想、转

化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.