一、选择题 1．函数y=
+
中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x＜3且x≠2 C．x≤3且x≠2 D．x≠2 2．下列运算正确的是（ ） A．
=±6 B．4
﹣3
=1 C．
÷
=6
D．
×
=6
3．已知一组数据3、a、4、5、9的众数是4，则这组数据的平均数是（ ） A．4
B．5
C．6
D．7
4．如图，四边形ABCD是边长为10的正方形，点E在正方形内，且AE⊥BE，又BE=8，则阴影部分的面积是（ ）
A．76 B．24 C．48 D．88
5．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（ ） A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形
D．对角线互相垂直的四边形
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=8，点E是AD边的中点，连接DE，则OE的长为（ ）
A．10 B． C．5 D．4
7．如图，直线y=kx+b经过一、二、四象限，若P（x1，y1），Q（x2，y2）是该直线上两个不同的点，且x1＞x2，则y1﹣y2的值（ ）
A．大于0 B．大于等于0 C．等于0 D．小于0
8．如图，矩形ABCD，AB=3，BC=4，点E是AD上一点，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在BD上的点G处，则AE的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
9．已知，函数y=﹣2x+4，则下列直线是该直线的函数的图象的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知y=kx+b，与x轴，y轴分别交于（2，0）和（0，3），则当kx+b＞3时，x的取值为（ ）
A．x＜2 B．x≤2 C．x≤0 D．x＜0
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11．化简
= ．
12．一组数据2016、2016、2016、2016的方差是 ．
13．在平面直角坐标系中，点A坐标为（0，1），点B坐标为（3，3）．在x轴上找一点P，使PA+PB取最小值，则这个最小值为 ．
14．如图，在正方形ABCD外侧作等边△CDE，AE，BD相交于点F，则∠AFB= ．
15．如图，直线y=﹣x+b和y=mx+4m（m≠0）的交点的横坐标为﹣2，则满足不等式组﹣x+b＞mx+4m＞0的解集是 ．
16．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24cm，EF=3cm，则△OCD的周长是 cm．
三、解答题（共52分） 17．计算（2）化简
+
﹣
+
；
．
+|a﹣1|，其中1＜a＜
18．如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，AD是BC边上的中线，且AD=4，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE．
（1）求证：△AEC是直角三角形． （2）求BC边的长．
19．在全民读书月活动中，某校随机调查了40名同学，本学期计划购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．根据相关信息，解答下列问题，直接写出结果．
（1）这次调查获取的样本数据的众数是 ． （2）这次调查获取的样本数据的中位数是 ．
（3）若该校共有1200名学生，根据样本数据，估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有 人．
20．在平面直角坐标系xOy中，直线L与x轴，y轴分别交于A、B两点，且过点（2，2）和（0，4）两点． （1）求直线L的解析式． （2）求△AOB的面积．
（3）点C是x轴上一点，且满足△ABC为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点C的坐标．
21．某商店购进甲、乙两种商品，甲商品每件进价20元，售价25元．乙商品每件进价30元，售价40元． （1）若甲、乙两件商品共购进100件，设购进甲商品x件，销售完此两种商品的总利润为y元，求出 y与x的函数关系式．
（2）该商家计划最多投入2800元用于购进此两种商品共100件，则至少要购进多少件甲种商品． （3）若售完这些商品，商家可获得最大利润是多少元？
22．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=10，对角线AC⊥AB，点E、F分别是BC，AD上的点，且BE=DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）①当BE长度为 时，四边形AECF是菱形． ②当BE长度为 时，四边形AECF是矩形． （3）求平行四边形ABCD的面积．
参考答案与试题解析
一、选择题 1．函数y=
+
中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x＜3且x≠2 C．x≤3且x≠2 D．x≠2 【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案． 【解答】解：由题意，得
，
解得x≤3且x≠2， 故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式组是解题关键．
2．下列运算正确的是（ ） A．
=±6 B．4
﹣3
=1 C．
÷
=6
D．
×
=6
【考点】二次根式的混合运算． 【专题】计算题．
【分析】根据二次根式的性质对对A进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断，根据二次根式的乘法法则对D进行判断． 【解答】解：A、原式=6，所以A选项错误； B、原式=C、原式=D、原式=故选D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
，所以B选项错误；
=
，所以C选项错误；
=6，所以D选项正确．
3．已知一组数据3、a、4、5、9的众数是4，则这组数据的平均数是（ ） A．4
B．5
C．6
D．7
【考点】众数；算术平均数．
【分析】先根据众数的定义求出a的值，再根据平均数的定义列出算式，再进行计算即可． 【解答】解：∵3，a，4，5，9的众数是4， ∴a=4，
∴这组数据的平均数是（3+4+4+5+9）÷5=5； 故选B．
【点评】此题考查了众数和算术平均数，关键是根据众数的定义求出a的值，用到的知识点是众数的定义、平均数的计算公式．
4．如图，四边形ABCD是边长为10的正方形，点E在正方形内，且AE⊥BE，又BE=8，则阴影部分的面积是（ ）
A．76 B．24 C．48 D．88
【考点】正方形的性质．
【分析】根据S阴=S正方形ABCD﹣S△ABE计算即可．
【解答】解：在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，AB=10，BE=8， ∴AE=
=
=6，
∴S阴=S正方形ABCD﹣S△ABE=100﹣×8×6=76． 故选A．
【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会利用分割法求面积，属于中考常考题型．
5．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（ ） A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 【考点】中点四边形．
【分析】首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
【解答】已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， 根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG； ∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG， ∴AC⊥BD， 故选：D．
D．对角线互相垂直的四边形
【点评】本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=8，点E是AD边的中点，连接DE，则OE的长为（ ）
A．10 B． C．5 D．4
【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．
【分析】由在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=8，即可求得OA与OD的长，然后由
勾股定理求得AD的长，又由点E是AD边的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求得答案． 【解答】解：∵在菱形ABCD中，AC=6，BD=8， ∴OA=AC=3，OD=BD=4，AC⊥BD， ∴AD=
=5，
∵点E是AD边的中点， ∴OE=AD=． 故选B．
【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理以及直角三角形的性质．注意菱形的对角线互相平分且垂直．
7．如图，直线y=kx+b经过一、二、四象限，若P（x1，y1），Q（x2，y2）是该直线上两个不同的点，且x1＞x2，则y1﹣y2的值（ ）
A．大于0 B．大于等于0 C．等于0 D．小于0
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【分析】首先根据图象确定函数的增减性，然后比较两个点的纵坐标的大小，从而确定其纵坐标的差的正负．
【解答】解：观察函数的图象发现：y随着x的增大而减小， ∵x1＞x2， ∴y1＜y2， ∴y1﹣y2＜0， 故选D．
【点评】本题考查的是一次函数的性质．解答此题要熟知一次函数y=kx+b：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
8．如图，矩形ABCD，AB=3，BC=4，点E是AD上一点，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在BD上的点G处，则AE的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】先用勾股定理求出BD，再由折叠得出BG=AB=3，从而求出DG=2，最后再用勾股定理求解即可． 【解答】解：在Rt△ABD中，AB=3，AD=BC=4， ∴BD=5
由折叠得，∠BEG=∠A=90°，BG=AB=3，EG=AE， ∴DG=BD﹣BG=2，DE=AD﹣AE=4﹣AE， 在Rt△DEG中，EG+DG=DE， ∴AE+4=（4﹣AE）， ∴AE=， 故选C．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
9．已知，函数y=﹣2x+4，则下列直线是该直线的函数的图象的是（ ）
2
22
2
2
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征找出函数图象与x、y轴交点的坐标，再结合四个选项即可得出结论．
【解答】解：当x=0时，y=4，
∴函数y=﹣2x+4的图象与y轴交点为（0，4）； 当y=0时，x=2，
∴函数y=﹣2x+4的图象与x轴交点为（2，0）．
故选C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象，利用一次函数图象上点的坐标特征找出函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
10．已知y=kx+b，与x轴，y轴分别交于（2，0）和（0，3），则当kx+b＞3时，x的取值为（ ）
A．x＜2 B．x≤2 C．x≤0 D．x＜0 【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】充分利用图形，直接从图上得出x的取值范围． 【解答】解：当x＜0时，函数图象位于x轴左方， 可见kx+b＞3时，x＜0． 故选D．
【点评】此题考查了一次函数与不等式，利用数形结合是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11．化简
=
．
【考点】二次根式的性质与化简． 【分析】根据【解答】解：故答案是：
=a（a≥），即可进行化简． =．
=
．
【点评】本题考查了二次根式的化简，是一根基础题．
12．一组数据2016、2016、2016、2016的方差是 0 ． 【考点】方差． 【专题】推理填空题．
【分析】根据方差的含义和求法，求出数据2016、2016、2016、2016的方差是多少即可．
【解答】解：∵数据2016、2016、2016、2016的平均数是： （2016+2016+2016）÷3 =6048÷3 =2016
∴数据2016、2016、2016、2016的方差是：
×[（2016﹣2016）+（2016﹣2016）+（2016﹣2016）] =×[0+0+0] =0
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了方差的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S= [（x1﹣）+（x2﹣）+…+（xn﹣）]，它反映了一组数据的波
2
2
2
2
2
2
2
动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
13．在平面直角坐标系中，点A坐标为（0，1），点B坐标为（3，3）．在x轴上找一点P，使PA+PB取最小值，则这个最小值为 5 ．
【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．
【分析】根据题意画出图形，即作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，连接AP，此时BP+AP的值最小，求出CB，即可求出答案．
【解答】解：作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，连接AP，
此时BP+AP的值最小，且BC=BP+AP的最小值， ∵A（0，1）， ∴C（0，﹣1），
∵A（0，1），B（3，3），
∴BC=，
∴AP+BP的最小值为5． 故答案为：5
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，两点之间的距离等知识点的应用，关键是找出PA+PB最小时P点的位置，题目比较典型，难度不大．
14．如图，在正方形ABCD外侧作等边△CDE，AE，BD相交于点F，则∠AFB= 60° ．
【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．
【分析】根据正方形以及等边三角形的性质可得出AD=DE，∠ADF=45°，∠ADC=90°，∠CDE=60°，根据等腰三角形的性质即可得出∠DAE=∠DEA=15°，再结合三角形外角性质即可算出∠AFB的值． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，△CDE为等边三角形， ∴AD=CD=DE，∠ADF=∠ABF=45°，∠ADC=90°，∠CDE=60°， ∴∠ADE=150°． ∵AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA=15°，
∴∠AFB=∠ADF+∠DAF=45°+15°=60°． 故答案为60°．
【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是求出∠ADF=45°、∠DAF=15°．本题属于基础题，解决该题型题目时，通过正方形、等边三角形以及等腰三角形的性质计算出角的度数是关键．
15．如图，直线y=﹣x+b和y=mx+4m（m≠0）的交点的横坐标为﹣2，则满足不等式组﹣x+b＞mx+4m＞0的解集是 ﹣4＜x＜﹣2 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】满足关于x的不等式﹣x+b＞mx+4m＞0就是在y轴的右侧直线y=mx+4m位于直线y=﹣x+b的下方的图象，据此求得自变量的取值范围．
【解答】解：∵直线y=﹣x+b与y=mx+4m的交点的横坐标为﹣2， ∴关于x的不等式﹣x+b＞mx+4m＞0的解集为﹣4＜x＜﹣2， 故答案为：﹣4＜x＜﹣2
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系是解题关键．
16．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24cm，EF=3cm，则△OCD的周长是 18 cm．
【考点】平行四边形的性质；三角形中位线定理．
【分析】根据平行四边形的性质可知OC=AC，OD=BD，求出OC+OD=12cm，由三角形中位线定理求出AB的长，即可得出△OCD的周长．
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OC=AC，OD=BD，CD=AB， ∵AC+BD=24cm， ∴OD+0C=12cm，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点， ∴CD=AB=2EF=6cm，
∴△OCD的周长=OC+OD+CD=12+6=18（cm）； 故答案为：18．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，求出AB的长是解决问题的关键．
三、解答题（共52分） 17．（1）计算
+
﹣
+
；
（2）化简+|a﹣1|，其中1＜a＜．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】根据二次根式的性质把原式化简，合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）原式=3（2）∵1＜a＜∴原式=
，
+a﹣1=2﹣a+a﹣1=1．
+
﹣2
+
=4
﹣
，
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，AD是BC边上的中线，且AD=4，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE．
（1）求证：△AEC是直角三角形． （2）求BC边的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】（1）首先证明△ABD≌△ECD，推出EC=AB=6，由AE+EC=AC，推出△AEC是直角三角形． （2）在Rt△CDE中，求出CD，根据BC=2CD即可解决问题． 【解答】（1）证明：在△ADB和△EDC中，
∴△ABD≌△ECD， ∴EC=AB=6， ∵AE=8 AC=10 ∴AE+EC=AC
∴△AEC是直角三角形．
（2）解：在Rt△CDE中，CD=CE+DE=6+4=52 ∴CD=2
．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∴CB=2CD=4
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．在全民读书月活动中，某校随机调查了40名同学，本学期计划购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．根据相关信息，解答下列问题，直接写出结果． （1）这次调查获取的样本数据的众数是 40元 ． （2）这次调查获取的样本数据的中位数是 50元 ．
（3）若该校共有1200名学生，根据样本数据，估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有 300 人．
【考点】众数；用样本估计总体；中位数．
【分析】（1）众数就是出现次数最多的数，据此即可判断； （2）中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义判断；
（3）求得调查的总人数，然后利用1200乘以本学期计划购买课外书花费50元的学生所占的比例即可求解． 【解答】解：（1）这次调查获取的样本数据的众数是40元； （2）这次调查获取的样本数据的中位数是50元； （3）调查的总人数是：6+12+10+8+4=40（人）， 则估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有：1200×故答案为：（1）40元；（2）50元；（3）300．
【点评】此题考查的是条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
20．在平面直角坐标系xOy中，直线L与x轴，y轴分别交于A、B两点，且过点（2，2）和（0，4）两点． （1）求直线L的解析式． （2）求△AOB的面积．
（3）点C是x轴上一点，且满足△ABC为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点C的坐标． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定． 【分析】（1）直接利用待定系数法求出直线L的解析式即可；
=300（人）
（2）直接利用三角形的面积公式求解即可； （3）分AB=BC，AB=AC，AC=BC三种情况进行讨论． 【解答】解：（1）设直线L的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵直线过点（2，2）和（0，4）， ∴
，解得
，
∴直线L的解析式为y=﹣x+4；
（2）∵直线与x轴的交点为（4，0）， ∴△AOB的面积=×4×4=8；
（3）如图，当AB=BC时，∵A（4，0）， ∴C1（﹣4，0）； 当AB=AC时，∵AB=∴C2（4﹣4
=4
，A（4，0）， ，0）；
，0），C3（4+4
当AC=BC时，C4（0，0）， 综上所述，C1（﹣4，0），C2（4﹣4
，0），C3（4+4
，0），C4（0，0），
【点评】本题考查的是利用待定系数法求一次函数的解析式，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
21．某商店购进甲、乙两种商品，甲商品每件进价20元，售价25元．乙商品每件进价30元，售价40元． （1）若甲、乙两件商品共购进100件，设购进甲商品x件，销售完此两种商品的总利润为y元，求出 y与x的函数关系式．
（2）该商家计划最多投入2800元用于购进此两种商品共100件，则至少要购进多少件甲种商品． （3）若售完这些商品，商家可获得最大利润是多少元？ 【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设购进甲商品x件，则购进乙商品（100﹣x）件，根据“总利润=甲商品的利润+乙商品的利润”即可得出y关于x的函数关系式；
（2）设至少购进甲种商品x件，根据该商家计划最多投入2800元用于购进此两种商品共100件，即可得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围；
（3）根据一次函数的性质找出一次函数的单调性，结合x的取值范围即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设购进甲商品x件，则购进乙商品（100﹣x）件， ∴y=（25﹣20）x+（40﹣30）（100﹣x）=﹣5x+1000． （2）设至少购进甲种商品x件， 依题意得：20x+30（100﹣x）≤2800， 解得：x≥20．
答：至少购进甲种商品20件． （3）对于y=﹣5x+1000， ∵k=﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=20时，y取最大值，最大值为900．
答：若售完这些商品，商家可获得最大利润是900元．
【点评】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次不等式，根据数量关系列出函数关系式或不等式是解题的关键．
22．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=10，对角线AC⊥AB，点E、F分别是BC，AD上的点，且BE=DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）①当BE长度为 5 时，四边形AECF是菱形． ②当BE长度为 3.6 时，四边形AECF是矩形． （3）求平行四边形ABCD的面积．
【考点】矩形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，再证明AF=EC，可证明四边形AECF是平行四边形；
（2）①由菱形的性质得出AE=CE，得出∠EAC=∠ECA，由角的互余关系证出∠B=∠BAE，得出AE=BE，即可
得出结果；
②由矩形的性质得出∠AEC=∠AEB=90°，证出△ABE∽△CBA，得出对应边成比例，即可求出BE的长； （3）由勾股定理求出AC，平行四边形的面积=AB•AC，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵BE=DF， ∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：①∵四边形AECF是菱形， ∴AE=CE， ∴∠EAC=∠ECA， ∵AC⊥AB， ∴∠BAC=90°，
∴∠B+∠ECA=90°，∠BAE+∠EAC=90°， ∴∠B=∠BAE， ∴AE=BE， ∴BE=CE=BC=5； 故答案为：5；
②∵四边形AECF是矩形， ∴∠AEC=90°， ∴∠AEB=90°=∠BAC， ∵∠B=∠B， ∴△ABE∽△CBA， ∴∴BE=
， =
=3.6；
故答案为：3.6； （3）解：∵AC⊥AB， ∴AC=
=
=8，
∴平行四边形ABCD的面积=AB•AC=6×8=48．
【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、
相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
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