积化和差

中小学个性化辅导专家

巨人教育辅导讲义

学员编号（卡号）： 年 级： 第 次课 学员姓名： 辅导科目： 教师： 课 题 积化和差与和差化积公式教学内容 [知识要点] 1、积化和差公式： sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)] cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)] 2、和差化积公式 sinθ+sinφ=2sincos sinθ-sinφ=2cossin cosθ+cosφ=2cos[例题选讲] 1、求下列各式的值 cos cosθ-cosφ=-2sinsin ①cos40°+cos60°+cos80°+cos160° ②cos23°-cos67°+2 ③cos271°+cos71°cos49°+cos249° sin4°+cos26° 解：①cos40°+cos60°+cos80°+cos160°=+cos80°+2cos100°cos60° =+cos80°-cos80°= ②cos23°-cos67°+2sin4°cos26°=2sin45°sin22°+(sin30°-sin22°)=sin22°+-sin22°= 1

中小学个性化辅导专家 ③解法一：cos271°+cos71°cos49°+cos249° =(cos71°+cos49°)2-cos71°cos49° =(2cos60°cos11°)2-(cos120°+cos22°) =cos211°+-cos22°=cos211°+-(2cos211°-1) =cos211°+-cos211°+= 解法二：cos271°+cos71°cos49°+cos249°=+(cos120°+cos22°)+ =+cos142°-+cos22°++ =+(cos142°+cos98°)++cos22° =+cos120°cos22°+cos22°= 解法三设x=cos271°+cos71°cos49°+cos249° y=sin271°+sin71°sin49°+sin249° 则x+y=2(cos71°cos49°+sin71°sin49°)=2+cos22° x-y=(cos271°-sin271°)+(cos71°cos49°-sin71°sin49°)+(cos249°-sin249°)=cos142°+cos120°+cos98° =-+(cos142°+cos98°) =-+2cos120°cos22° =--cos22° 联立二式得x= 2、已知sinα+sinβ= cosα+cosβ=求tgαtgβ的值 解： ①2+②2得 2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)= ∴cos(α-β)= ②2-①2得 cos2α+cos2β+2(cosαcosβ-sinαsinβ)=- ∴2cos(α+β)cos(α-β)+2cos(α+β)=- 2

中小学个性化辅导专家 ∴2〃cos(α+β)+2cos(α+β)=- ∴cos(α+β)=- 又sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]=-(--)= cosαcosβ=[cosα+β)+cos(α-β)]=[-+]=- ∴tgαtgβ==-=- 3、设函数f(x)=asinωx+bcosωx+1 (a、b≠0 ω＞0 )的周期是π，f(x)有最大值7且f( (1)求a、b的值 (2)若α≠kπ+β (k∈z) 且α、β是f(x)=0的两根求tg(α+β)的值。 )=+4 解：(1)∵f(x)=sin(ωx+φ)+1 ∴=π 1+=7 由条件asin+bcos+1=+4 ∴a= b=6 (2)由 两式相减得 a(sin2α-sin2β)+b(cos2α-cos2β)=0 2a[sin(α-β)cos(α+β)]+2b[-sin(α+β)sin(α-β)]=0 ∵α≠kπ+β (k∈z) ∴α-β≠kπ (k∈z) ∴acos(α+β)-bsin(α+β)=0 ∴tg(α+β)=== 4、求函数y=cos2xcos(2x+) (0≤x≤)的最值 解：y=cos2xcos(2x+) =[cos(4x+)+cos(-)]=cos(4x+)+ ∵0≤x≤ ∴≤4x+≤ ∴-1≤cos(4x+)≤ ∴-+≤y≤ ∴ymax= ,ymin= 3

中小学个性化辅导专家 [自我检测]1、sin(α+β)cosα-[sin(2α+β)-sinβ]可化简为（ ）A、sinβ B、cosβ C、sinα D、cosα 2、已知cos(α+β)cos(α-β)=则cos2α-sin2β的值为（ ） A、- B、- C、 D、 3、在△ABC中，若B=30°则cosAsinC的取值范围（ ） A、[-1，1] B、[- ，] C、[- ，] D、[- ，] 4、函数y=sin(2x+α)cos(2x-α),(α为常数)的最小正周期是（ ） A、 B、π C、2π D、4π 5、设m=||,n=|sin|,则m、n的大小关系是（ ） A、m≤n B、m≥n C、m=n D、不能确定 6、若sinα+sinβ=(cosβ-cosα)且α∈(0,π),β∈(0,π)则α-β等于（ ） A、- B、- C、 D、 7、函数f(x)=sinxcos(x-)的最小值是（ ） A、 B、 C、- D、- 8、sin25°+cos35°cos25°的值是（ ）A、 B、 C、- D、 9、已知函数y=asinx+cosx的最大值为，则a的值为（ ） A、-1 B、 C、±3 D、±2 4

中小学个性化辅导专家 10、若sinx-cosx=2sin(x+φ)，φ∈[0，2π）则角φ等于（ ） A、 B、π C、 D、 [参考答案] 1、原式=sin(α+β)cosα- 2cos(α+β)sinα=sin[(α+β)-α]=sinβ ∴选A。 2、cos(α+β)cos(α-β)={[cos(α+β)+(α-β)]+cos[(α+β)-(α-β)]}=[cos2α+cos2β]=[2cos2α-1+1-2sin2β]=cos2α-sin2β ∴选C. 3、cosAcosC=[sin(A+C)-sin(A-C)]=[sin(π-B)-sin(A-C)] =-sin(A-C) ∵-1≤sin(A-C)≤1 ∴-≤-sin(A-C)≤ ∴选C. 4、y=[sin4x+sin2x] ∴T== ∴选A. 5、m=|sincos|≤|sin| ∴选A. 6、D 7、D 8、B 9、D 10、D

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