初中数学平行线及其判定

（考试总分：172 分 考试时长： 120 分钟）

一、 单选题 （本题共计 12 小题，共计 48 分）

1、（4分）如图，点在延长线上，下列条件中不能判定BD∥AC的是（ ）

A．∠1=∠2

2、（4分）下列结论正确的是( ) A．不相交的两条直线叫做平行线

B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．平行于同一条直线的两条直线互相平行

3、（4分）如图，直线a、b都与直线c相交，有下列条件：①∠1=∠2；②∠3+∠8=180°；③∠4=∠5；④∠6+∠7=180°．其中，能够判断a∥b的是（ ）

B．∠3=∠4

C．∠5=∠C

D．∠C+∠BDC=180°

A．

D．

B．

C．

4、（4分）下列命题中，是公理的是( ) A．等角的补角相等 C．两点之间线段最短

B．内错角相等，两直线平行 D．三角形的内角和等于180º

5、（4分）下面给出的结论中，说法正确的有（ ）

①最大的负整数是﹣1；②在同一个平面内，经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂

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直；③当a≤0时，|a|=﹣a；④若a2=9，则a一定等于3；⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角；⑥同旁内角相等，两直线平行． A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

6、（4分）如图，要得到DG∥BC，则需要条件（ ）

A． CD⊥AB，EF⊥AB

B． ∠1=∠2

C． ∠1=∠2，∠4+∠5=180°

D． CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2

7、（4分）如图，点E在BC的延长线上，下列条件不能判断AB∥CD的是（ ）

A．

B．

C．

D．

8、（4分）下列命题中，是真命题的是（ ） A．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行 B．相等的角是对顶角

C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行

9、（4分）下列命题中，真命题是（ ）

A． 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 B． 平分弦的直径垂直弦

C． 有两边及一角对应相等的两个三角形全等 D． 八边形的内角和是外角和的3倍

10、（4分）在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线（A．互相垂直

B．互相平行

C．相交

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） D．相等

11、（4分）下列命题中，是真命题的是（ ） A．同位角相等 线平行

C．相等的角是对顶角

D．平行于同一直线的两直线平行

B．垂直于同一直线的两直

12、（4分）如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（ ）

A．∠1+∠3=180°

D．∠4=∠6

B．∠2=∠3

C．∠4=∠5

二、 填空题 （本题共计 7 小题，共计 28 分） 13、（4分）下列四个命题：

①互为邻补角的两个角的平分线互相垂直； ②经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行； ③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的； ④实数a是实数a2的算术平方根． 其中正确命题的序号为_____．

14、（4分）如图，B、A、E三点在同一直线上，请你添加一个条件，使AD∥BC．你所添加的条件是_____（不允许添加任何辅助线）．

15、（4分）如图，若AB⊥BC，BC⊥CD，则直线AB与CD的位置关系是______．

16、（4分）两个同样的直角三角板如图所示摆放，使点F，B，E，C在一条直线上，则有DF∥

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AC，理由是_____．

17、（4分）如图，在正方体中，与线段AB平行的线段有______．

18、（4分）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面

AE，若∠BCD=150°，则∠ABC=_____度．

19、（4分）如图是一块四边形木板和一把曲尺（直角尺），把曲尺一边紧靠木板边缘PQ，画直线AB，与PQ，MN分别交于点A，B；再把曲尺的一边紧靠木板的边缘MN，移动使曲尺另一边过点B画直线，若所画直线与BA重合，则这块木板的对边MN与PQ是平行的，其理论依据是_________.

三、 解答题 （本题共计 8 小题，共计 96 分）

20、（12分）如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，DF＝AE， 求证：CD∥AB．

21、（12分）如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切

线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E． （1）求证：AC平分∠DAB；

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（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长．

22、（12分）在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为边AC的中点，

（1）如图1，过点E作EH⊥BC,垂足为点H，求线段CH的长； （2）作线段BE的垂直平分线分别交边BC、BE、AB于点D、O、F. ①如图2，当∠BAC=90°时，求BD的长；

②如图3，设tan∠ACB=x，BD=y，求y与x之间的函数表达式和tan∠ACB的最大值.

23、（12分）如图，已知：AB=DE且AB∥DE，BE=CF． 求证（1）：∠A=∠D；（2）AC∥DF．

24、（12分）已知：E是AB、CD外一点，∠D=∠B+∠E， 求证：AB∥CD．

25、（12分）如图，在△ABC中，∠B=45°，AD⊥BC于点D，以D为圆心DC为半径作⊙D交

AD于点G，过点G作⊙D的切线交AB于点F，且F恰好为AB中点. （1）求tan∠ACD的值.

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（2）连结CG并延长交AB于点H，若AH=2，求AC的长.

26、（12分）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=80°，试求： （1）∠EDC的度数；

（2）若∠BCD=n°，试求∠BED的度数.(用含n的式子表示）

27、（12分）如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°， （1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？加以证明； （2）若∠CEF=70°，求∠ACB的度数．

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一、 单选题 （本题共计 12 小题，共计 48 分） 1、（4分）【答案】B 【解析】

解：∠1与∠2互为内错角，内错角相等可得BD∥AC；∠5和∠C互为同位角，同位角相等可得BD∥AC；∠C和∠BDC互为同旁内角，同旁内角互补可得BD∥AC；∠3=∠4只能得到AB∥CD，而不能得到BD∥AC， 故选择B.

2、（4分）【答案】D 【解析】

A、在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，故A不符合题意； B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故B不符合题意； C、在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故C不符合题意； D、平行于同一条直线的两条直线互相平行，故D符合题意； 故选D．

3、（4分）【答案】D 【解析】

①∵∠1=∠2，∴a∥b，故本小题正确；

②∵∠3+∠8=180°，∠3+∠7=180°，∠4+∠8=180°， ∴∠4+∠7=180°， ∴a∥b，故本小题正确；

③∵∠4=∠5，∴a∥b，故本小题正确； ④∵∠6+∠7=180°，∠6+∠2=180°， ∴∠7=∠2，

∴a∥b，故本小题正确． 故选D．

4、（4分）【答案】C 【解析】

等角的补角相等是由公理推导得来的，是定理， 内错角相等，两直线平行是推导得来的， 两点之间线段最短是公理，

三角形的内角和等于180º是推导得来的， 故选C.

5、（4分）【答案】C

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【解析】

①最大的负整数是﹣1，正确；

②在同一个平面内，经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂直，正确； ③当a≤0时，|a|=﹣a，正确； ④若a2=9，则a=±3，错误；

⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角，正确； ⑥同旁内角互补，两直线平行，错误． 故选C．

6、（4分）【答案】D

【解析】

A．∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠BEF=∠BDC=90°，∴EF∥DC，故条件不充分，错误； B．∠1与∠2不是DG与BC形成的内错角，故推不出DG∥BC，故错误；

C．∠1与∠2不是DG与BC形成的内错角，∠4与∠5不是DG与BC形成的同旁内角，故推不出DG∥BC，故错误；

D．当DG∥BC时，则∠1=∠3，当EF∥DC时，∠2=∠3，要使EF∥DC，则需CD⊥AB，EF⊥AB，所以要使DG∥BC，则需要CD⊥AB，EF⊥AB，同时∠1=∠2． 故选D．

7、（4分）【答案】B 【解析】

A、可根据内错角相等，两直线平行判定AB∥CD，此选项不合题意；

B、根据内错角相等，两直线平行判定AD∥BC，不能判定AB∥CD，此选项符合题意；

C、根据同位角相等，两直线平行判定AB∥CD，此选项不合题意； D、根据同旁内角互补，两直线平行判定AB∥CD，此选项不合题意； 故选：B．

8、（4分）【答案】A 【解析】

根据平行公理的推论，可知：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故正确；

根据对顶角的定义，可知相等的角不一定是对顶角，故不正确； 根据两条平行的直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故不正确；

根据平行公理，可知过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故不正确. 故选：A.

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9、（4分）【答案】D

【解析】

A. ∵在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ，故不正确； B. ∵平分弦（不是直径）的直径垂直弦，故不正确； C. ∵有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故不正确；

D. ∵八边形的内角是1080°，外角和是360°，∴八边形的内角和是外角和的3倍，故正确； 故选D.

10、（4分）【答案】B 【解析】

解：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行．故选B． 11、（4分）【答案】D 【解析】

A、前提条件没有确定，同位角不一定相等，故本选项错误；B、垂直于同一直线的两直线平行，必须在同一平面内，故本选项错误；C、相等的角是对顶角，不符合对顶角的定义，故本选项错误；D、平行于同一直线的两条直线平行，是真命题．故选D． 12、（4分）【答案】C 【解析】

A．由∠1+∠3=180°，∠1+∠2=180°，可得∠2=∠3，故能判断直线a∥b； B．由∠2=∠3，能直接判断直线a∥b； C．由∠4=∠5，不能直接判断直线a∥b； D．由∠4=∠6，能直接判断直线a∥b． 故选C．

二、 填空题 （本题共计 7 小题，共计 28 分） 13、（4分）【答案】①③． 【解析】

①互为邻补角的两个角的平分线互相垂直, 正确;

②经过直线外一点, 有且只有一条直线与已知直线平行,错误; ③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的, 正确; ④实数a是实数a2 的算术平方根, a是负数时,错误; 故答案为: ①③.

14、（4分）【答案】∠EAD=∠B或∠DAC=∠C或∠DAB+∠B=180° 【解析】

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可以添加的条件是∠EAD=∠B，依据同位角相等，两直线平行； 或∠DAC=∠C，依据内错角相等，两直线平行； 或∠DAB+∠B=180°，依据同旁内角互补，两直线平行． 故答案为：∠EAD=∠B或∠DAC=∠C或∠DAB+∠B=180°． 15、（4分）【答案】AB∥CD

【解析】

∵AB⊥BC，BC⊥CD， ∴∠ABC=∠BCD=90°， ∴AB∥CD， 故答案为AB∥CD.

16、（4分）【答案】内错角相等两直线平行或（垂直于同一条直线的两直线平行）

【解析】∵∠C=∠F=90°, DF∥AC

故答案为：内错角相等两直线平行或（垂直于同一条直线的两直线平行）

17、（4分）【答案】EF、HG、DC 【解析】

与AB平行的线段是：DC、EF； 与CD平行的线段是：HG，

所以与AB线段平行的线段有：EF、HG、DC． 故答案为：EF、HG、DC． 18、（4分）【答案】120

【解析】

如图，过点B作BF∥CD，

∵CD∥AE， ∴CD∥BF∥AE，

∴∠1+∠BCD=180°，∠2+∠BAE=180°， ∵∠BCD=150°，∠BAE=90°， ∴∠1=30°，∠2=90°， ∴∠ABC=∠1+∠2=120°． 故答案为：120．

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19、（4分）【答案】内错角相等，两条直线平行 【解析】

∵∠ABM=90°，∠BAQ=90°， ∴∠MBA=∠QAB，

∴MN∥PQ（内错角相等，两条直线平行）， 故答案为：内错角相等，两条直线平行． 三、 解答题 （本题共计 8 小题，共计 96 分） 20、（12分）【答案】见解析. 【解析】

，

，

，

在

和

中，

， （， .

21、（12分）【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）证明：连接OC， ∵DE与⊙O切于点C， ∴OC⊥DE. ∵AD⊥DE， ∴OC∥AD．

），

∴∠2=∠3． ∵OA=OC， ∴∠1=∠3．

∴∠1=∠2，即AC平分∠DAB． （2）解：∵AB=4，B是OE的中点，

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∴OB=BE=2，OC=2． ∵CF⊥OE， ∴∠CFO= 90º，

∵∠COF= ∠EOC，∠OCE= ∠CFO， ∴△OCE∽△OFC， ∴

，

∴OF=1． ∴CF=

．

22、（12分）【答案】（1）3（2）5（3）①y【解析】

（1）点A作AG⊥BC交BC于点G.

129x②15 22

∵ABAC， ∴BGCG1BC6， 2∵E为AC中点，EH∥AG， ∴H为CG的中点，∴CH=3， ⑵①过点E作EHBC于点H，

∵△ABC是等腰直角三角形，则CH=EH=3， 设BDx，则DEx， DH9x， Rt△EDH中， 329xx2，

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解之得， x5， 即BD=5，

②∵CH3, tanACBx， ∴EH3x， DH9y， 在RtEDH中，

3x9y∴y22y2，

129x， 22129x得， 2y9x2， 22方法一：由y当y有最大值时，x有最大值.即tan∠ACB有最大值. ∴当y=12时， x215， x15（负的舍去）， ∴tan∠ACB最大值为15，

或方法二：当点D与点C重合时，tan∠ACB最大，

CBCE12， AC24.

BC边的高为615， 此时tan∠ACB=15. 23、（12分）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】

证明：（1）∵AB∥DE，BE=CF， ∴∠B=∠DEF，BC=EF， 又AB=DE，

∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠A=∠D；

（2）由（1）知△ABC≌△DEF， ∴∠ACB=∠F， ∴AC∥DF．

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24、（12分）【答案】证明见解析. 【解析】

证明：∵∠D=∠B+∠E（已知），

∠BFD=∠B+∠E（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴∠D=∠BFD（等式的性质）．

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 25、（12分）【答案】（1）2；（2）210 【解析】

（1）∵FG与⊙D相切 ∴∠DGF=90°∵AD⊥BC

∴FG∥CB∵F为AB中点∴ ∴AD=2GD=2CD∴tan∠ACD=2

（2）∵AD⊥BC∴∠ADB=90° ∵∠B=45°∴△ADB是等腰直角三角形∴∠DAB=45° ∵GD=CD，∠GDC=90°∴△CGD是等腰直角三角形∴∠GCD=45° ∴∠AHC=90° ∴△AGH是等腰直角三角形∵AH=2,∴HG=2,∴GD=

∴CG=4∴HC=6∴AC

436210

26、（12分）【答案】（1）∠EDC =40°；（2）∠BED=(40+n)°. 【解析】解：∵AB∥CD，∴∠ADC=∠BAD=80° ∵DE平分∠ABC，∴∠EDB=过E作EF∥AB

∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠DEF=∠EDC=40° ∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD=n° ∵BE平分∠ABC，∴∠1=n° ∵AB∥EF，∴∠BEF=∠1=

1∠ADC=40° 21n° 2第 14 页 共 15 页

∴∠BED=(40+n)°

27、（12分）【答案】（1）EF和AB的关系为平行关系；（2）∠ACB=40°． 【解析】

解：（1）EF和AB的关系为平行关系．理由如下： ∵CD∥AB，∠DCB=70°， ∴∠DCB=∠ABC=70°， ∵∠CBF=20°，

∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=50°， ∵∠EFB=130°，

∴∠ABF+∠EFB=50°+130°=180°，∴EF∥AB；

（2）∵EF∥AB，CD∥AB， ∴EF∥CD， ∵∠CEF=70°， ∴∠ECD=110°， ∵∠DCB=70°，

∴∠ACB=∠ECD﹣∠DCB， ∴∠ACB=40°．

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