(完整版)高中数学极坐标与参数方程高考题型全归纳题型部分

一.题型部分

(一) 极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化,极坐标与参数

方程的转化

1. 极坐标与直角坐标互化公式：

若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，点P的极坐标为(,)，直角坐标为(x,y)，则xcos, ysin, 2x2y2,

tanyx。

2. 参数方程：

xx直线参数方程：0tcosyy0tsin(x0,y0) 为直线上的定点， t为直线上任(t为参数)一点(x,y)到定点(x0,y0)的数量；

圆锥曲线参数方程：

xarcos圆的参数方程：(为参数)(a,b)为圆心，r为半径； ybrsin椭圆xy2xacos的参数方程是1(为参数)； 22abybsin2x2y2xasec双曲线2-21的参数方程是(为参数)； abybtanx2pt抛物线y22px的参数方程是2y2pt(t为参数)

(二)有关圆的题型

题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较

dr:相离，无交点；dr:相切，1个交点；dr:相交，2个交点；

用圆心（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离d1

Ax0By0CAB22，算出d，在与半径

比较。

题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）

思路：第一步：利用圆心（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离d 第二步：判断直线与圆的位置关系

第三步：相离：代入公式：dmaxdr，dmindr 相切、相交：dmaxdrdmin0

题型三：直线与圆的弦长问题 弦长公式l2r2d2Ax0By0CAB22

，d是圆心到直线的距离

延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 （弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式lt1t2,解法参考“直线参数方程的几何意义” (三）距离的最值： ---用“参数法” 1.曲线上的点到直线距离的最值问题 2.点与点的最值问题

“参数法”：设点---套公式--三角辅助角

①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式

③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一

x例如：在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为13cos(为参数)，以坐标原

ysin点为极点，以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为

2

sin()22．

4（I）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（II）设点P在C上，点Q在C2上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标

1x2Ⅰ）C1的普通方程为y21，

3C2的直角坐标方程为xy40.

x（解说：C1：3cosα利用三角消元：移项-化同-平方-相加 ysinα这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边

x2x2cosαx2cosα两边同时平方两道式子相加y21333ysinαy2sin2a （Ⅱ）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos,sin)

（解说：点直接用该点的曲线方程的参数方程来表示） 因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值，

d()|3cossin4|2|sin()2|.

32解说：利用点到直线的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一） 当sin（）1时即当2k36(kZ)时，d()取得最小值，最小值为2，此时

31P的直角坐标为(,).

22（四）直线参数方程的几何意义

1.经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为xx0tcos(t为参数）若

yy0tsinA，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，

点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：

3

(1)t0=（5）

t1＋t2

2

；(2)|PM|=|t0|=

t1＋t2

2

；(3)|AB|=|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|=|t1·t2|

2t1t2(t1t2)4t1t2,当t1t20PAPBt1t2t1t2,当t1t20

（注：记住常见的形式，P是定点，A、B是直线与曲线的交点，P、A、B三点在直线上）

【特别提醒】直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|=|t|.

直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1,t2，则弦长lt1t2； 2.解题思路

第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程

第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t的一元二次方程：at2btc0

第三步：韦达定理：t1t2b,t1t2caa

第四步：选择公式代入计算。 3x＝5＋2t，

例如：已知直线l：

1

y＝3＋t2

(t为参数)，以坐标原点为极点，

x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．

解：(1)ρ＝2cosθ等价于ρ＝2ρcosθ.①

4

2

将ρ＝x＋y，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x＋y－2x＝0.②

3x＝5＋2t，

(2)将

1

y＝3＋t2

22222

2

代入②式，得t＋53t＋18＝0.

2

设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.

(五).极坐标中ρ的几何意义一直线与两曲线分别相交，求交点间的距离 思路：一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可。

例如：在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

2

（其中α为参

数），曲线C2：（x﹣1）+y=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；

（Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|． 解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为∴曲线C1的普通方程为x+（y﹣2）=7． ∵曲线C2：（x﹣1）+y=1，

∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x﹣1）+y=1，

得到曲线C2的极坐标方程（ρcosθ﹣1）+（ρsinθ）=1， 化简，得ρ=2cosθ． （Ⅱ）依题意设A（

2

2

2

2

2

2

2

2

（其中α为参数），

），B（

5

），

∵曲线C1的极坐标方程为ρ﹣4ρsinθ﹣3=0， 将

（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ﹣2ρ﹣3=0，

2

2

解得ρ1=3， 同理，将

（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程，得

．

，

∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣(六).面积的最值问题

面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题 例题：在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为

，（t为参

数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为

．

（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值．

解：（1）由

，化简得：

2

2

，A，B两点的极坐标分别为

，

消去参数t，得（x+5）+（y﹣3）=2， ∴圆C的普通方程为（x+5）+（y﹣3）=2． 由ρcos（θ+）=﹣

，化简得

ρcosθ﹣

ρsinθ=﹣

，

2

2

即ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，即x﹣y+2=0， 则直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0；

（Ⅱ）将A（2，），B（2，π）化为直角坐标为A（0，2），B（﹣2，0）， ∴|AB|=

=2，

6

设P点的坐标为（﹣5+cost，3+sint），

=

，

∴P点到直线l的距离为d=∴dmin=

=2

，

×2

=4．

则△PAB面积的最小值是S=×2

附:2019极坐标与参数方程高考题型全归纳 二.:精典配套练习(含答案)部分

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