讲课方案方案
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姓名 学科 课题名称
学生姓名
年级
导数中的恒成立问题
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4
数学
高三
人教 A版
课时计划
上课时间
同步讲课知识内容
讲课目标
个性化学习问题解决
讲课重点 讲课难点
教师活动
一、 重点精讲
1．导数的看法
函数 y=f(x), 假如自变量 x 在 x
处有增量
，那么函数 y 相应地有增量
0
x
y =f（ x +
0
）－（ ）， x f x 0
比值
y
叫做函数 y=f （x）在 x 0 到 x 0 +
x 之间的均匀变化率，即
y = f (x0 x
x
假如当 x
0
x) x
f (x0 ) 。
0 时，
y
x
有极限， 我们就说函数 y=f(x) 在点 x 0 处可导， 并把这个极限叫做
x x0
f（ x）
在点 x
处的导数，记作 f ’（ x ）或 y’| 。
0
即 f（ x 0 ） = lim
y
0
= lim
f ( x0
x) x
f ( x0 )
x
x
x 0
。
讲课过程
说明：
（ 1）函数 f（ x）在点 x 0 处可导，是指
x
0 时，
y
x
有极限。假如
y x
不存在极限，就说函数
在点 x 0 处不可以导，或说无导数。
（ 2） x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量， 由导数的定义可知，求函数 （ 1）求函数的增量
x 0 时，而 y 是函数值的改变量，可以是零。
：
y=f （ x）在点 x 0 处的导数的步骤（可由学生来归纳）
y =f （ x 0 + x ）－ f（ x 0 ）；
（ 2）求均匀变化率
yf ( x
=
0
x
（ 3）取极限，得导数
x) x y
0
f ( x)
0 ；
f ’(x0 )= lim
x
。
x
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2．导数的几何意义
函数 y=f （ x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线
的斜率。也就是说，曲线
y=f （ x）在点 p（ x 0 ， f （ x 0 ）） 处的切线
y=f （x）在点 p（ x 0 ，f（ x 0 ））处的切线的斜率是 f ’（ x 0 ）。相应地，切线方
程为 y－ y 0 =f / （ x 0 ）（ x－ x 0 ）。
3．常有函数的导出公式． （１） (C ) （３） (sin x) （ 5） (ln x) '
0（C 为常数）
cos x 1 x
（２） ( xn ) （４） (cos x) （ 6） (ex )'
n xn 1
sin x
ex
4．两个函数的和、差、积的求导法规
法规 1：两个函数的和 (或差 )的导数 ,等于这两个函数的导数的和 即： ( u v) ' u '
v' .
(或差 )，
法规 2：两个函数的积的导数
,等于第一个函数的导数乘以第二个函数 ,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：
(uv )' u ' v uv' .
Cu ' .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的
若 C 为常数 ,则 (Cu )'
C 'u Cu ' 0 Cu '
导数： (Cu )'
Cu ' .
法规 3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以
分母的平方：
u ‘ = u' v uv' （ v 0）。
v2 v
5．导数的应用
（ 1 ）一般地，设函数
y f (x) 在某个区间可导，假如
f ' (x)
0 ，则 f ( x) 为增函数；假如
f ' ( x) 0 ，则 f (x) 为减函数；假如在某区间内恒有
f ' ( x) 0 ，则 f (x) 为常数；
（ 2）曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左边切线的斜率为正，右
边为负；曲线在极小值点左边切线的斜率为负，右边为正；
（ 3）一般地，在区间 [a， b]上连续的函数 f (x) 在 [a， b]上必有最大值与最小值。①求函数? (x) 在
(a， b)内的极值； ②求函数? ( x) 在区间端点的值? (a)、?(b)； ③将函数? 较，此中最大的是最大值，此中最小的是最小值。
( x) 的各极值与? (a) 、?(b) 比
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二、 导数题型总结
题型一：利用导函数解析式求原函数解析式 例 1：已知多项式函数 f (x) 的导数 f / ( x)
3x2 4x ，且 f (1)
4 ，求 f ( x)
例 2：已知函数 f ( x) ax 4 bx 3 cx 2 dx e 为偶函数，它的图象过点 A(0,
的切线方程为 2 x
11) ，且在 x 处
y 1
0 ，求 f ( x)
题型二：求切线问题
例 1：已知曲线方程为 y= x
1
2
2 ，则在点 P(1,
3
2
2
) 处切线的斜率为
，切线的倾斜角
为
1
例 2：求曲线 y
x3 在原点处的切线方程
例 3：已知函数 f (x) 在 R 上满足 f ( x) 3 f ( x)
x
3
8 ，则曲线
y
f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程是
题型三：求倾斜角
例 1：P 在曲线 y x x
______
3
2
3
上挪动，在点P处的切线的倾斜 角为α，则α的取值范围是
例 2：．曲线 y x3 4x 在点 (1, 3) 处的切线倾斜角为 __________；
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题型四：导数与函数图像问题
例 1：若函数 y
f (x) 的导函数 在区间 [ a,b] 上是增函数，则函数
．．．
（
y f (x) 在 [ a, b] 上的图象可能是
）
y y
y
y
o
a
b
x
o
a
b
x
o
a
C
．
≠ ，
b
x
o
a
b x
例 2
函数 y=ax
A．B．
2 + bx 与 y=
log b
| | a
x (ab 0 | a |
D ≠
| b |)
．.
在同向来角坐标系中的图像可
能是（
）
例 3 函数 y
2x x2 的图像大体是（
）
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例 4 设 f (x) 是函数 f ( x) 的导函数，将 y
f ( x) 和 y f (x) 的图象画在同一个直角坐标系
中，不可以能正确的选项是（ ）
y y y y
O A．
x O B．
x O
C．
x O D．
x
例 5． 设函数 f(x) 在定义域内可导， y=f(x) 的图象如图 1 所示，则导函数
y=f (x) 可能为
（ ）
y y y y y
O
x O
x O
x O
x
O
x
图 1
D
A B C
题型五：联合单调性求参数的取值范围
例 1：已知函数 f (x)
x3 ax2 x 1 在 R 是单调函数，则实数 a 的取值范围是
例 2：已知函数 f (x)
3x3 2x2 1在区间 ( m,o) 上是减函数，则 m 的取值范围是
r
2，
例 3：已知向量 a (x
求 t 的取值范围
x 1) ，
r
b (1 x,t)
r r
f ( x) a b
，若函数 g 在区间 ( 1,1) 上是增函数，
例 4：已知函数 f ( x) x3 3ax 2 3(a 2) x 1既有极大值又有极小值， 则实数 a 的取值范围
是
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例 5：设函数 f ( x) x3 6x 5
（1）求 f ( x) 的单调区间和极值
（2）若关于 x 的方程 f ( x)
a 有三个不一样样实根，求 a 的取值范围
（3）已知当 x
(1, ) 时， f (x) k( x 1) 恒成立，务实数 k 的取值范围
例 6：已知 f ( x)
x3 ax 2 bx c 在 x
2
3
与 x 1 时获得极值
（1）求 a, b 的值 （2）若对 x
[ 1,2] ， f ( x)
c2 恒成立，求 c 的取值范围
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例 7：已知函数 f (x) 的图象与函数 g( x) x
1 x
2 的图象关于点 A(0,1) 对称
（1）求函数 f ( x) 的解析式 （2）若 h(x)
f ( x)
a
，且 h(x) 在区间 (0, 2] 上是减函数务实数 a 的取值范围
x
题型六：求单调区间
例 1. 设函数 f x
sin x cosx x 1 , 0 x 2 ，求 f ( x) 的单调区间。
例 2.设函数 f x
( )
1 ax3 1 ax2 3
2
x求
,
f (x)
的单调区间。
题型七：求极值问题
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例 1．设函数 f ( x)
6x3 3(a 2) x2 2ax . （1）若 f ( x) 的两个极值点为 x1, x2 ，且 x1x2 1 ，
) 上的单调函数？若存在 , 求出
务实数 a 的值；（2）能否存在实数 a ，使得 f ( x) 是 ( ,
a 的值；若不存在，说明原由 .
例 2 已知函数 f ( x)
（I ）当 a
3ax 4 2(3a 1)x2
4x
1
6
时，求 f ( x) 的极值 ;
（II ）若 f ( x) 在
1,1 上是增函数，求 a 的取值范围
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例 3 设定函数 f (x)
a
3
x bx cx d ( a 0) ，且方程 f (x) 9x 0 的两个根分别为 1，4。
3
2
'
（Ⅰ）当 a=3 且曲线 y （Ⅱ）若 f ( x) 在 (
f ( x) 过原点时，求 f ( x) 的解析式； ) 无极值点，求 a 的取值范围。
,
题型八：最值与参数问题
例 1：求抛物线 y x2 上的点到直线 x y 2 0 的最短距离 .
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例 2；已知函数 f (x) g (x) x3
x3
ax2 图象上一点 P(1,b) 处的切线斜率为 3 ，
t 6 x2 2
(t 1)x 3 (t
0)
（Ⅰ）求 a,b 的值； （Ⅱ）当 x （Ⅲ）当 x
[ 1,4]
时，求 f ( x) 的值域；
[1,4] 时，不等式 f ( x) g(x) 恒成立，务实数 t 的取值范围。
例 3、已知函数 f ( x)
1 x3 3
( k 1) x 2 ， g(x)
2
1 kx ，且 f ( x) 在区间 (2, 3
) 上为增函数．
（1） 务实数 k 的取值范围； （ ） 若函数 f ( x) g (x) 的图象有三个不一样样的交点，务
与 实数 2
k 的取值范围．
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例 4. 已知函数 f ( x)
x 3 ax 2 bx c,过曲线 y
f ( x)上的点 P(1, f (1)) 的切线方程为 y=3x+1
（Ⅰ）若函数 f (x)在 x
2 处有极值，求 f ( x) 的表达式；
y
f (x) 在 [ － 3， 1] 上的最大值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数
（Ⅲ）若函数 y f (x) 在区间 [ － 2，1] 上单调递加，务实数
b 的取值范围
例 5：已知三次函数
f ( x) x3 ax2 bx c 在 x 1和 x 1 时取极值，且 f ( 2) 4 ．
(1) 求函数 y f ( x) 的表达式；
(2) 求函数 y f ( x) 的单调区间和极值；
(3) 若函数 g ( x) f ( x m) 4m (m 0) 在区间 [ m 3, n] 上的值域为 [ 4,16] ，试求 m 、 n 应 满足的条件．
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例 6：已知 f (x ) 2 x 3 2ax2 3x (a R).
3
(1) 当 | a | 1 时, 求证 f (x) 在 ( 1, 1) 内是减函数 ;
4
(2) 若 y f (x ) 在 ( 1, 1) 内有且只有一个极值点 , 求 a 的取值范围 .
例 7：设函数 f ( x)
1 x 3 2ax 2 3a 2 x b,0 3
a 1.
（ 1）求函数 f ( x) 的单调区间、极值 . （2）若当 x [a
1, a 2] 时，恒有 | f (x) | a ，试确立 a 的取值范围 .
例 8． 已知函数 f x
x2 2ln x, h x x2 x a.
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（Ⅰ）求函数 f x 的极值；
（Ⅱ）设函数 k x
不一样样零点， 务实数
f x
h x ,若函数 k x 在 1,3 上恰有两个
a 的取值
范围 .
1：求曲线 y
x3 在点 (1,1)出的切线与 X 轴，直线 x 2 所围成的三角形的面积
三角形面积 S
切线方程为 3x y 2 0
8
3
课后作业
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2：求曲线 y x2 分别满足以下条件的切线方程 （1）平行于直线 y （3）与 X 轴成
0
4x 5
（ 2）垂直于直线 2x 6 y 5 0
的倾斜角
135
（ ）过点 ，且与曲线相切的直线
4 P(1, 3)
3：若函数 f (x)
4 x3 bx 有三个单调区间，则 b 的取值范围是 3
4：求以下函数的单调区间 (1)
f ( x) 3x4 8x3 6x2 1
(2)
f ( x) x3 ax (3)
f (x)
x2 e x
5：已知函数 f ( x) ax3 bx2 cx d 的两个极值点是
1和 3 ，且 f (0)
7 ， f / (0)
18 ，
求函数 f ( x) 的解析式
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6：已知函数 f ( x)
x3 3ax 1,a
0
求 f ( x) 的单调区间；
若 f ( x) 在 x
1 处获得极值，求 f (x) 的最值。
7、已知函数 f ( x)
1
x (2 a)x (1 a) x( a 0).
3
2
1
3 2
（ I ）求 f ( x) 的单调区间；
（ II ）若 f ( x) 在[0 ，1] 上单调递加 ，求 a 的取值范围。
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9、已知函数
f (x)
a 3
x
3
1 2
2 x
，( a R,a
0)
（ ）求
1
f ( x)
的单调区间；（ ）令
2
g ( x)
＝ x4
1
4
＋f （x）（ x∈R）有且仅有 3 个极值点，求 a 的取值范围．
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10：已知函数 f (x)
1 x3 bx2 3
3a2 x(a 0) 在 x
a 处获得极值，
（ 1）用 x,a 表示 f ( x) ；
（2）设函数 g (x) 2x3 3af '(x) 6a3 , 假如 g( x) 在区间 (0,1) 上存在极小值，务实数 a
的
取值范围 .
11：（2006 全国卷）设 a 为实数，函数 f x
x3 ax2 a2 1 x 在
,0 和 1, 都是增
函数，求 a 的取值范围。
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3
2
2
12．（2006 年江西卷）已知函数 f （x）＝ x ＋ax ＋bx＋c 在 x＝－
（1）求 a、b 的值与函数 f （ x）的单调区间
与 x＝1 时都获得极值
（2）若对 x 〔－ 1，2〕，不等式 f （x） c2 恒成立，求 c 的取值范围。
13. 已知函数 f(x)=kx 3－ 3x2+1(k ≥0).
( Ⅰ ) 求函数 f(x) 的单调区间 ;
( Ⅱ ) 若函数 f(x) 的极小值大于 0, 求 k 的取值范围 .
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本节课讲课计划完成状况：照常完成□ _____________________________ 学生的接受程度：完满能接受□
________________________________ 学生的课堂表现：很踊跃□
课后记
提早完成□
延后完成□
部分能接受□
不可以接受□
比较踊跃□
一 般 □
不踊跃□
________________________________ 学生前一次作业完成状况：数目
____% 完成质量 ____分 存在问题 ______________________________
配合需求：家长 ___________________________________________________________________________
学管师 _________________________________________________________________________
注 备
提交时间
教研组长审批 家长署名
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