圆锥曲线学案

§2.1.1 曲线与方程（1）

学习目标

1．理解曲线的方程、方程的曲线；

2．求曲线的方程．

学习过程 一、课前准备 复习1：画出函数y2x2 (1x2)的图象．

复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．

学习探究

探究任务一：

到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．

问题：能否写成yx，为什么？

新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C与一个二元方程F(x,y)0之间， 如果具有以下两个关系：

1．曲线C上的点的坐标，都是 的解；

2．以方程F(x,y)0的解为坐标的点，都是 的点， 那么，方程F(x,y)0叫做这条曲线C的方程；

曲线C叫做这个方程F(x,y)0的曲线．

注意：1 如果„„，那么„„；

2 “点”与“解”的两个关系，缺一不可；

3 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法； 4 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的． 试试：

1．点P(1,a)在曲线x22xy5y0上，则a=___ ．

2．曲线x22xyby0上有点Q(1,2)，则b= ．

新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程．

1

典型例题

例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程式是xyk．

变式：到x轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是y50吗？

例2设A,B两点的坐标分别是(1,1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程．

变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是A(0,3)，B(2,0)，C(2,0)．中线AO（O为原点）所在直线的方程是x0吗？为什么？

反思：BC边的中线的方程是x0吗？

小结：求曲线的方程的步骤：

①建立适当的坐标系，用M(x,y)表示曲线上的任意一点的坐标； ②写出适合条件P的点M的集合P{M|p(M)}； ③用坐标表示条件P，列出方程f(x,y)0； ④将方程f(x,y)0化为最简形式；

⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

2

动手试试

练1．下列方程的曲线分别是什么？

x2x2(1) y (2) y2 (3) yalogax

xx2x

练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 与曲线yx相同的曲线方程是（ ）． x2A．y B．yx2 x2．直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(1,3)，若点C满足OC=OA+OB，其中，R， +=1，则点C的轨迹为 ( ) ．

A．射线 B．直线 C．圆 D．线段 3．A(1,0)，B(0,1)，线段AB的方程是（ ）． A．xy10 B．xy10(0x1) C．xy10 D．xy10(0x1)

54．已知方程ax2by22的曲线经过点A(0,)和点B(1,1)，则a= ，b= ．

3PA15．已知两定点A(1,0)，B(2,0)，动点p满足，则点p的轨迹方程是 ．

PB2

课后作业

1． 点A(1,2)，B(2,3)，C(3,10)是否在方程

C．y3x3 D．y2log2x

x2xy2y10表示的曲线上？为什么？

2 求和点O(0,0)，A(c,0)距离的平方差为常数c的点的轨迹方程．

3

§2.1.2 曲线与方程（2）

学习目标

1. 求曲线的方程；

2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．

学习过程 一、课前准备 复习1：已知曲线C的方程为 y2x2 ，曲线C上有点A(1,2)，A的坐标是不是y2x2 的解？点(0.5,t)在曲线C上,则t=___ ．

复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程f(x,y)0之间有哪些关系?

二、新课导学 学习探究 引入：

圆心C的坐标为(6,0)，半径为r4，求此圆的方程．

问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．

探究：若AB4，如何建立坐标系求AB的垂直平分线的方程．

典型例题

例1 有一曲线,曲线上的每一点到x轴的距离等于这点到A(0,3)的距离的2倍，试求曲线的方程．

4

变式：现有一曲线在x轴的下方，曲线上的每一点到x轴的距离减去这点到点A(0,2)，的距离的差是2，求曲线的方程．

小结：点P(a,b)到x轴的距离是 ；

点P(a,b)到y轴的距离是 ； 点P(1,b)到直线xy10的距离是 ．

例2已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2，一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．

动手试试

练1． 有一曲线,曲线上的每一点到x轴的距离等于这点到直线xy10的距离的2倍，试求曲线的方程．

5

练2. 曲线上的任意一点到A(3,0),B(3,0)两点距离的平方和为常数26,求曲线的方程．

三、总结提升 学习小结

1. 求曲线的方程；

2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

571．方程(3x4y12)log2(x2y)30的曲线经过点A(0,3)，B(0,4)，C(4,0)，D(,)中的（ ）.

34A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．已知A(1,0)，B(1,0)，动点满足

MAMB2,则点M的轨迹方程是（ ）.

A．y0(1x1) B．y0(x1) C．y0(x1) D．y0(x1)

3．曲线y1x2与曲线yx0的交点个数一定是（ ）．

A．0个 B．2个 C．4个 D．3个

4．若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OPOA4,则点P的轨迹方程是 ．

5．由方程x1y11确定的曲线所围成的图形的面积是 ．

课后作业

1．以O为圆心，2为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？

2．已知点C的坐标是(2,2)，过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B．设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程．

6

§2.2.1椭圆及其标准方程(1)

学习目标

1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；

2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程．

学习过程 一、课前准备 复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ．

复习2：方程(x3)2(y1)24 表示以 为圆心, 为半径的 ．

二、新课导学 学习探究

取一条定长的细绳，

把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．

如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ P

思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ F1F2

经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．

新知１： 我们把平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．

反思：若将常数记为2a，为什么2aF1F2？ 当2aF1F2时，其轨迹为 ；

当2aF1F2时，其轨迹为 ．

试试：

已知F1(4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．

小结：应用椭圆的定义注意两点：

①分清动点和定点；

②看是否满足常数2aF1F2． 新知２：焦点在x轴上的椭圆的标准方程 x2y221ab0 其中b2a2c2 2ab

若焦点在y轴上，两个焦点坐标 ，

则椭圆的标准方程是 ．

7

典型例题

例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴a4,b1，焦点在x轴上；

⑵a4,c15，焦点在y轴上；

⑶ab10,c25．

x2y变式：方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的范围 ．

4m

53例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是2,0，(2,0)，并且经过点,，求它的标准方程 ．

22

变式：椭圆过点 2,0，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．

小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．

8

动手试试

x2练1. 已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点

3在BC边上，则ABC的周长是（ ）．

A．23 B．6 C．43 D．12

x2y练2 ．方程1表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的范围．

9m

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1．平面内一动点M到两定点F1、F2距离之和为常数2a，则点M的轨迹为（ ）． A．椭圆 B．圆

C．无轨迹 D．椭圆或线段或无轨迹

2．如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）． A．(0,) B．(0,2) C．(1,) D．(0,1)

x2y23．如果椭圆． 1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是（ ）

10036A．4 B．14 C．12 D．8

4．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程 是 ．

5．如果点M(x,y)在运动过程中，总满足关系式是 ，它的方程是 ．

课后作业

1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

x2(y3)2x2(y3)210，点M的轨迹

⑴焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点P3,26； ⑵焦点坐标分别为0,4,0,4，a5； ⑶ac10,ac4．

x2y22. 椭圆1的焦距为2，求n的值．

4n

9



§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)

学习目标

1．掌握点的轨迹的求法；

2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．

学习过程 一、课前准备 x2y2复习1：椭圆上1一点P到椭圆的左焦点F1的距离为3，则P到椭圆右焦点F2的距离

259是 ．

复习2：在椭圆的标准方程中,a6,b35,则椭

圆的标准方程是 ．

二、新课导学 学习探究

问题：圆x2y26x50的圆心和半径分别是什么?

问题：圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ；

反之,到点(3,0)的距离等于2的所有点都在 圆 上．

典型例题

例1在圆x2y24上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，线段PDD为垂足.当点P在圆上运动时，的中点M的轨迹是什么？

DM3，则点M的轨迹又是什么？ 变式： 若点M在DP的延长线上，且DP2

10

小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．

4例2设点A,B的坐标分别为5,0,5,0，.直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M9的轨迹方程 ．

变式：点A,B的坐标是1,0,1,0，直线AM,BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？

动手试试

练1．求到定点A2,0与到定直线x8的距离之比为

11

2的动点的轨迹方程． 2

练2．一动圆与圆x2y26x50外切，同时与圆x2y26x910内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．

三、总结提升 学习小结

1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；

②相关点法：寻求点M的坐标x,y与中间x0,y0的关系，然后消去x0,y0，得到点M的轨迹方程．

知识拓展

椭圆的第二定义：

到定点F与到定直线l的距离的比是常数e(0e1)的点的轨迹． 定点F是椭圆的焦点； 定直线l是椭圆的准线； 常数e是椭圆的离心率．

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1．若关于x,y的方程x2siny2cos1所表示的曲线是椭圆，则在（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．若ABC的个顶点坐标A(4,0)、B(4,0)，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（ ）．

x2y2y2x2x2y2x2y2A．1 B．1 (y0) C．1(y0) D．1(y0)

25925916925943．设定点F1(0,2) ，F2(0,2)，动点P满足条件PF1PF2m． (m0)，则点P的轨迹是（ ）

mA．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段

4．与y轴相切且和半圆x2y24(0x2)内切的动圆圆心的轨迹方程是 ． 5. 设F1,F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1||MF2|6，则动点M的轨迹是 ．

课后作业

1．已知三角形ABC的一边长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程．

2．点M与定点F(0,2)的距离和它到定直线y8的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．

12

§2.2.2 椭圆及其简单几何性质（1）

学习目标

1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；

2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．

学习过程 一、课前准备 x2y2复习1： 椭圆1上一点P到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是 ．

1612

x2y2复习2：方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 ．

5m

二、新课导学 学习探究

x2y2问题1：椭圆的标准方程221(ab0)，它有哪些几何性质呢？

ab

图形：

范围：x： y：

对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；

顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；

长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；

离心率：刻画椭圆 程度．

c 椭圆的焦距与长轴长的比称为离心率，

ac记e，且0e1．

a

y2x2试试：椭圆1的几何性质呢？

169图形：

13

范围：x： y：

对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；

顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；

长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；

c离心率： e= ．

a

bc反思：或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？

ab

典型例题

例1 求椭圆16x225y2400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．

变式：若椭圆是9x2y281呢？

小结：①先化为标准方程，找出a,b ，求出c； ②注意焦点所在坐标轴．

254例2 点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l:x的距离的比是常数，求点M的轨迹．

54

14

小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆 ．

动手试试

练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

1⑴焦点在x轴上，a6，e；

33⑵焦点在y轴上，c3，e；

5⑶经过点P(3,0)，Q(0,2)；

3⑷长轴长等到于20，离心率等于．

5 ．

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

10x2y21．若椭圆，则m的值是（ ）． 1的离心率e55m51525A．3 B．3或 C．15 D．15或 332．若椭圆经过原点，且焦点分别为F1(1,0)，F2(3,0)，则其离心率为（ ）．

3211A． B． C． D．

432423．短轴长为5，离心率e的椭圆两焦点为F1,F2，过F1作直线交椭圆于A,B两点，则ABF2的周长

3为（ ）．

A．3 B．6 C．12 D．24

x2y24．已知点P是椭圆1上的一点，且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的

54坐标是 ．

5．某椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ．

课后作业

1．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？

x2y222⑴9xy36与1 ；

1612x2y222 ⑵x9y36与1 ．

610

15

2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴经过点P(22,0)，Q(0,5)；

⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3,0)； ⑶焦距是8，离心率等于0.8．

§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)

学习目标

1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质；

2．椭圆与直线的关系．

学习过程 一、课前准备 （预习教材理P46~ P48，文P40~ P41找出疑惑之处）

x2y2复习1： 椭圆1的

1612焦点坐标是（ ）（ ） ；

长轴长 、短轴长 ；

离心率 ．

复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？

二、新课导学 学习探究

问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？

问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？

反思：点与椭圆的位置如何判定？

典型例题

例1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2，已知BCF1F2，F1B2.8cm，F1F24.5cm，试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．

16

变式：若图形的开口向上，则方程是什么？

小结：①先化为标准方程，找出a,b ，求出c； ②注意焦点所在坐标轴．

x2y2（理）例2 已知椭圆1，直线l：

2594x5y400。椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？

变式：最大距离是多少？

17

动手试试

练1已知地球运行的轨道是长半轴长

a1.50108km，离心率e0.0192的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．

x2练2．经过椭圆y21的左焦点F1作倾斜角为60的直线l，直线l与椭圆相交于A,B两点，求AB的

2长．

直线与椭圆相交，得到弦，

弦长l1k2x1x2

2 (1k2)x1x24x1x2



其中k为直线的斜率，(x1,y1),(x2,y2)是两交点坐标．

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

x2y21．设P是椭圆 ． 1，P到两焦点的距离之差为，则PF1F2是（ ）

1612A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 2．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）．

221A. B. C. 22 D. 21

22x2y23．已知椭圆1的左、右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的

169三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ）．

9799A. B. 3 C. D.

745 18

4．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列，则其离心率为 ．

x2y25．椭圆过原点O作直线与椭圆相交于A,B两点，若ABF2的面积是20，1的焦点分别是F1和F2，

4520则直线AB的方程式是 ．

课后作业

x2y21． 求下列直线3x10y250与椭圆1的交点坐标．

254

x2y232．若椭圆1，一组平行直线的斜率是

492⑴这组直线何时与椭圆相交？

⑵当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上？

§2.3.1 双曲线及其标准方程

学习目标

1．掌握双曲线的定义； 2．掌握双曲线的标准方程．

学习过程 一、课前准备 （预习教材理P52~ P55，文P45~ P48找出疑惑之处） 复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？

x2y2复习2：在椭圆的标准方程221中，a,b,c有何关系？若a5,b3，则c?写出符合条件的椭圆

ab方程．

二、新课导学 学习探究

问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？

如图2-23，定点F1,F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，

19

MF1MF2是常数，这样就画出一条曲线；

由MF2MF1是同一常数，可以画出另一支．

新知1：双曲线的定义：

平面内与两定点F1,F2的距离的差的 等于常数(小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线。 两定点F1,F2叫做双曲线的 ，

两焦点间的距离F1F2叫做双曲线的 ．

反思：设常数为2a ，为什么2aF1F2？ 2aF1F2时，轨迹是 ； 2aF1F2时，轨迹 ．

试试：点A(1,0)，B(1,0)，若ACBC1，则点C的轨迹是 ．

新知2：双曲线的标准方程：

x2y221,(a0,b0,c2a2b2)（焦点在x轴） 2ab其焦点坐标为F1(c,0)，F2(c,0)．

思考：若焦点在y轴，标准方程又如何？

典型例题

例1已知双曲线的两焦点为F1(5,0)，F2(5,0)，双曲线上任意点到F1,F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．

x2y2变式：已知双曲线1的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为 ．

169

例2 已知A,B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．

20

变式：如果A,B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？

小结：采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置．

动手试试

练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式： （1）焦点在x轴上，a4，b3；

（2）焦点为(0,6),(0,6)，且经过点(2,5)．

练2．点A,B的坐标分别是(5,0)，(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们斜率之积是

4，试求点9M的轨迹方程式，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状．

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是（ ）． A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线

2．双曲线5x2ky25的一个焦点是(6,0)，那么实数k的值为（ ）． A．25 B．25 C．1 D．1

3．双曲线的两焦点分别为F1(3,0),F2(3,0)，若a2，则b（ ）． A. 5 B. 13 C.

5 D. 13

21

4．已知点M(2,0),N(2,0)，动点P满足条件|PM||PN|22. 则动点P的轨迹方程为 ．

x2y25．已知方程1表示双曲线，则m的取值范围 ．

2mm1

课后作业

1． 求适合下列条件的双曲线的标准方程式： （1）焦点在x轴上，a25，经过点A(5,2)；

（2）经过两点A(7,62)，B(27,3)．

2．相距1400mA,B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？

§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)

学习目标

1．理解并掌握双曲线的几何性质．

学习过程 一、课前准备：

（预习教材理P56~ P58，文P49~ P51找出疑惑之处） 复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程： ①a3,b4，焦点在x轴上；

②焦点在y轴上，焦距为8，a2．

复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？

22

二、新课导学： 学习探究

x2y2问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线221的几何性质?

ab

范围：x： y：

对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．

顶点：（ ），（ ）．

实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．

c离心率：e1．

a渐近线：

x2y2xy双曲线221的渐近线方程为：0．

abab

y2x2问题2：双曲线221的几何性质?

ab图形：

范围：x： y：

对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．

顶点：（ ），（ ）

实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．

c离心率：e1．

a渐近线：

y2x2双曲线221的渐近线方程为： ．

ab新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．

※ 典型例题

x2y2例1求双曲线1的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．

4925

23

变式：求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

例2求双曲线的标准方程：

⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；

⑵离心率e2，经过点M(5,3)；

29⑶渐近线方程为yx，经过点M(,1)．

32

动手试试

x2y2练1．求以椭圆1的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．

85

24

练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是F1(6,0)，求它的标准方程和渐近线方程．

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

x2y21． 双曲线． 1实轴和虚轴长分别是（ ）

168A．8、42 B．8、22 C．4、42 D．4、22 2．双曲线x2y24的顶点坐标是（ ）． A．(0,1) B．(0,2) C．(1,0) D．（02,）

x2y23． 双曲线． 1的离心率为（ ）

48A．1 B．2 C．3 D．2

4．双曲线x24y21的渐近线方程是 ．

5．经过点A(3,1)，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是 ．

课后作业

41．求焦点在y轴上，焦距是16，e的双曲线的标准方程．

3

x2y252．求与椭圆1有公共焦点，且离心率e的双曲线的方程．

49244

25

§2.3.2双曲线的简单几何性质(2)

学习目标

1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；

2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程．

学习过程 一、课前准备 （预习教材理P58~ P60，文P51~ P53找出疑惑之处） 复习1：说出双曲线的几何性质?

x2y2复习2：双曲线的方程为1，

914其顶点坐标是( )，( )；

渐近线方程 ．

二、新课导学 学习探究

探究1：椭圆x24y264的焦点是？

探究2：双曲线的一条渐近线方程是x3y0，则可设双曲线方程为？

问题：若双曲线与x24y264有相同的焦点，它的一条渐近线方程是x3y0，则双曲线的方程是？

典型例题

例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．

26

例2点M(x,y)到定点F(5,0)的距离和它到定直线l:x

165的距离的比是常数，求点M的轨迹．

45x2y2（理）例3过双曲线倾斜角为30的直线交双曲线于A,B两点，求A,B两点的坐标． 1的右焦点，

36

变式：求AB ？

思考：AF1B的周长？

※ 动手试试

27

x2y2x2y2练1．若椭圆21与双曲线1的焦点相同，则a=____.

4aa2

x2y23练2 ．若双曲线x，求双曲线的焦点坐标． 1的渐近线方程为y24m

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

x2y2x2y21．若椭圆1和双曲线1的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则PF1PF2的

251645值为（ ）．

21A． B．84 C．3 D．21

2x2y22．以椭圆． 1的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ）

2516x2y2x2y2A. 1 B. 1

1648927x2y2x2y2C. 1或1 D. 以上都不对

16489273．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的直线，交双曲线于P、Q，F1是另一焦点，若∠PFQ1则双曲线的离心率e等于（ ）．

A.21 B. 2 C. 21 D. 22

4．双曲线的渐近线方程为x2y0，焦距为10，这双曲线的方程为_______________.

2，

x2y25．方程1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围 ．

4k1k

课后作业

x2y21．已知双曲线的焦点在x轴上，方程为221，两顶点的距离为8，一渐近线上有点A(8,6)，试求

ab此双曲线的方程．

28

§2.4.1抛物线及其标准方程

学习目标

掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形．

学习过程 一、课前准备 （预习教材理P64~ P67，文P56~ P59找出疑惑之处）

复习1：函数y2x26x1 的图象是 ，它的顶点坐标是（ ），对称轴是 ．

复习2：点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x8的距离的比是1:2，则点M的轨迹是什么图形？

二、新课导学 学习探究

探究1：若一个动点p(x,y)到一个定点F和一条定直线l的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？

新知1：抛物线

平面内与一个定点F和一条定直线l的 距离 的点的轨迹叫做抛物线．

点F叫做抛物线的 ； 直线l叫做抛物线的 ．

新知2：抛物线的标准方程

定点F到定直线l的距离为p （p0）．

建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 pp x,0 2y2px 22 试试：

29

抛物线y220x的焦点坐标是（ ），

准线方程是 ； 1抛物线x2y的焦点坐标是（ ），

2准线方程是 ．

典型例题

例1 （1）已知抛物线的标准方程是y26x，求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的焦点是F(0,2)，求它的标准方程．

变式：根据下列条件写出抛物线的标准方程： ⑴焦点坐标是(0,4)；

1⑵准线方程是x；

4⑶焦点到准线的距离是2．

例2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径为4.8m，深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．

30

※ 动手试试

练1．求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1) 焦点坐标是F(5,0 )；

(2) 焦点在直线x2y40上．

练2 ．抛物线y22px (p0)上一点M到焦点距离是a(a横坐标是 ．

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1．对抛物线y4x2，下列描述正确的是（ ）． A．开口向上，焦点为(0,1)

1B．开口向上，焦点为(0,)

16C．开口向右，焦点为(1,0)

1D．开口向右，焦点为(0,)

162．抛物线x28y0的准线方程式是（ ）． A．x2 B．x2 C．y2 D．y2

3．抛物线y210x的焦点到准线的距离是（ ）．

515A. B. 5 C. D. 10

224．抛物线y212x上与焦点的距离等于9的点的坐标是 ．

5．抛物线x24y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为 ．

课后作业

1．点M到F(0,8)的距离比它到直线y7的距离大1，求M点的轨迹方程．

31

p)，则点M到准线的距离是 ，点M的2

2．抛物线y22px (p0)上一点M到焦点F的距离MF2p，求点M的坐标．

§2.4.2 抛物线的简单几何性质（1）

学习目标

1．掌握抛物线的几何性质；

2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．

学习过程 一、课前准备 （预习教材理P68~ P70，文P60~ P61找出疑惑之处） 复习1：

准线方程为x=2的抛物线的标准方程是 ．

x2y2复习2：双曲线1有哪些几何性质？

169

二、新课导学 学习探究

探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？

新知：抛物线的几何性质 图形 标 准 方程

32

焦点 p准y 线 2 (0,0)(0,0) 顶 点 对 称x轴 轴 离 心率

试试：画出抛物线y8x2的图形， 顶点坐标（ ）、焦点坐标（ ）、 准线方程 、对称轴 、 离心率 ．

※ 典型例题

p(0,) 2 例1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2,22)，求它的标准方程．

变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2,22)的抛物线有几条？求出它们的标准方程．

小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解．

33

例2斜率为1的直线l经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长 ．

变式：过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线y24x于A，B两点，求AB ．

小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解．

※ 动手试试

练1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程： ⑴顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点 M(5，4)；

⑵顶点在原点，焦点是F(0,5)； ⑶焦点是F(0,8)，准线是y8．

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1．下列抛物线中，开口最大的是（ ）．

1A．y2x B．y2x

2C．y22x D．y24x

2．顶点在原点，焦点是F(0,5)的抛物线方程（ ） ． A．y220x B．x220y

11C．y2x D．x2y

2020

34

3．过抛物线y24x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则AB等于（ ）．

A．10 B．8 C．6 D．4 4．抛物线yax2(a0)的准线方程是 ．

5．过抛物线y22x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，如果x1x26，则AB= ．

课后作业

1． 根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出 图形：

⑴顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等到于6； ⑵顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P(6,3)．

2 M是抛物线y24x上一点，F是抛物线的焦点，xFM60，求FA．

§2.4.2 抛物线的简单几何性质（2）

学习目标

1．掌握抛物线的几何性质； 2．抛物线与直线的关系．

学习过程 一、课前准备 （预习教材理P70~ P72，文P61~ P63找出疑惑之处）

复习1：以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点P(2,3)的抛物线的方程为（ A．y294x B. y2944x或x23y

C. x243y D. y2942x或x23y

35

．

）

x2y2复习2：已知抛物线y2px(p0)的焦点恰好是椭圆1的左焦点，则p= ．

1612

二、新课导学 学习探究

探究1：抛物线y22px(p0)上一点的横坐标为6，这点到焦点距离为10，则：

① 这点到准线的距离为 ；

② 焦点到准线的距离为 ；

③ 抛物线方程 ；

④ 这点的坐标是 ；

⑤ 此抛物线过焦点的最短的弦长为 ．

典型例题

例1过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．

（理）例2已知抛物线的方程y24x，直线l过定点P(2,1)，斜率为k k为何值时，直线l与抛物线

2 36

y24x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

小结：

① 直线与抛物线的位置关系：相离、相交、相切 ；

②直线与抛物线只有一个公共点时， 它们可能相切，也可能相交． ※ 动手试试

练1. 直线yx2与抛物线y22x相交于A，B两点，求证：OAOB．

2．垂直于x轴的直线交抛物线y24x于A，B两点，且AB43，求直线AB的方程．

37

学习评价

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1．过抛物线y22px(p0)焦点的直线交抛物线于A，B两点，则AB的最小值为（ ）．

pA. B. p C. 2p D. 无法确定

22．抛物线y210x的焦点到准线的距离是（ ）．

515A. B. 5 C. D. 10

223．过点(0,1)且与抛物线y24x只有一个公共点的直线有（ ）． A．1条 B．2条 C．3条 D．0条

4．若直线xy2与抛物线y24x交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是______．

5．抛物线上一点(5,25)到焦点F(x,0)的距离是6，则抛物线的标准方程是 ．

课后作业

1．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线与直线y2x1交于P，Q两点，PQ=15，求抛物线的方程．

2． 从抛物线y22px(p0)上各点向x轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线．

第二章 圆锥曲线与方程（复习）

学习目标

1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程； 2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质； 3．能解决直线与圆锥曲线的一些问题．

学习过程

38

一、课前准备

（预习教材理P78~ P81，文P66~ P69找出疑惑之处） 复习1：完成下列表格： 椭圆 双曲线 抛物线 定义 图形 标准方程 顶点坐标 对称轴 焦点坐标 离心率 （以上每类选取一种情形填写）

复习2：

3① 若椭圆x2my21的离心率为，则它的长半轴长为__________；

2

②双曲线的渐近线方程为x2y0，焦距为10，则双曲线的方程为 ；

x2y2③以椭圆1的右焦点为焦点的抛物线方程为 ．

2516

二、新课导学 ※ 典型例题

例1 当从0到180变化时，方程

x2y2cos1表示的曲线的形状怎样变化？

x2y2变式：若曲线1表示椭圆，则k的取值范围是 ．

k1k

小结：掌握好每类标准方程的形式．

x2y2例2设F1，F2分别为椭圆C：22 =1

ab

39

(ab0)的左、右两个焦点．

3⑴若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；

2⑵设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程．

x2y2变式：双曲线与椭圆1有相同焦点，且经过点(15,4)，求双曲线的方程．

2736

动手试试

练1．已知ABC的两个顶点A，B坐标分别是(5,0)，(5,0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m (m0)，试探求顶点C的轨迹．

x2y2练2．斜率为2的直线l与双曲线1交于A，B两点，且AB4，求直线l的方程．

32

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

40

x2y2x2y21．曲线1与曲线1

25925k9k． (k9)的（ ）

A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等

2．与圆x2y21及圆x2y28x120都外切的圆的圆心在（ ） ． A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上 C．一条抛物线上 D．一个圆上

3．过抛物线y28x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则AB等

于（ ）．

A．10 B．8 C．6 D．4

4．直线ykx1与双曲线x2y24没有公共点，则k的取值范围 ．

5．到直线yx3的距离最短的抛物线y24x上的点的坐标是 ．

课后作业 1．就m的不同取值，指出方程(m1)x2(3m)y2(m1)(3m)所表示的曲线的形状．

x22． 抛物线y与过点M(0,1)的直线l相交于A，B两点，O为原点，若OA和OB的斜率之和为1，

2求直线l的方程．

41